命題と条件（必要・十分）

STEP 1

命題と真偽・反例

「\(x=2\) ならば \(x^2=4\)」のように、正しいか正しくないか（真偽）がはっきり決まる文や式を命題という。命題が真であることを示すには、あてはまる場合すべてで成り立つことを確かめる必要があるが、偽であることを示すのは実は簡単で、成り立たない例（反例）をたった1つ見つければそれで終わり。全部の場合を調べる必要はない。

例題1　命題「\(x=2\) ならば \(x^2=4\)」は真か偽か判定せよ。

解答を見る

\(x=2\) を実際に代入すると \(x^2 = 2^2 = 4\) となり、成り立つ。真

例題2　命題「\(x^2=4\) ならば \(x=2\)」は真か偽か判定せよ。偽の場合は反例を1つ挙げよ。

解答を見る

\(x^2=4\) を満たす \(x\) は \(x=2\) だけでなく \(x=-2\) もある。\(x=-2\) のとき \(x^2=(-2)^2=4\) は成り立つが、\(x=2\) は成り立たない。偽（反例：\(x=-2\)）

命題が真であることを示す → 一般的な議論・計算ですべての場合を確かめる。
命題が偽であることを示す → 成り立たない反例をたった1つ挙げればよい。「\(x^2=4\) ならば \(x=2\)」と「\(x=2\) ならば \(x^2=4\)」は別の命題で、真偽が違うことに注意しよう。

STEP 2

\(p \Rightarrow q\) と集合の包含

条件 \(p\) を満たすもの全体の集合を \(P\)、条件 \(q\) を満たすもの全体の集合を \(Q\) とする。このとき「\(p \Rightarrow q\)」（\(p\) ならば \(q\)）が真であることと、\(P\) が \(Q\) にすっぽり含まれること（\(P \subset Q\)）は、まったく同じことを言っている。

例題　\(p\)：「\(x\) は4の倍数」、\(q\)：「\(x\) は2の倍数」とする。\(P \subset Q\) といえるか。

解答を見る

4の倍数は必ず2の倍数でもある（\(4=2\times2\) なので、\(4\) で割り切れるなら \(2\) でも割り切れる）。つまり \(P\) の要素はすべて \(Q\) の要素。 \(P \subset Q\) が成り立つ（\(p \Rightarrow q\) は真）

\(P \subset Q\) ⇔ 「\(p \Rightarrow q\)」は真。図で確かめるときは「\(p\) だが \(q\) でない」部分（反例が住む場所）が空かどうかをチェックすればよい。

STEP 3

必要条件・十分条件・必要十分条件

「\(p \Rightarrow q\)」が真のとき、\(p\) は \(q\) であるための十分条件、\(q\) は \(p\) であるための必要条件と呼ぶ。「\(p \Rightarrow q\)」と、その逆「\(q \Rightarrow p\)」の両方が真なら、\(p\) と \(q\) は互いの必要十分条件（同値）。判定は覚え方に頼らず、2つの矢印それぞれの真偽を実際に確かめるのが確実。

\(p \Rightarrow q\) が真 → \(p\) は \(q\) であるための十分条件（\(p\) が成り立てば \(q\) が成り立つのに十分）
\(q \Rightarrow p\) が真 → \(p\) は \(q\) であるための必要条件（\(q\) が成り立つには \(p\) が必ず成り立っている必要がある）

判定の手順

手順1　命題「\(p \Rightarrow q\)」が真か偽かを調べる（反例が1つでもあれば偽）

↓

手順2　その逆の命題「\(q \Rightarrow p\)」が真か偽かを調べる

↓

\(p \Rightarrow q\) 真・\(q \Rightarrow p\) 真
\(p\) は \(q\) であるための必要十分条件

\(p \Rightarrow q\) 真・\(q \Rightarrow p\) 偽
\(p\) は \(q\) であるための十分条件（必要条件ではない）

\(p \Rightarrow q\) 偽・\(q \Rightarrow p\) 真
\(p\) は \(q\) であるための必要条件（十分条件ではない）

\(p \Rightarrow q\) 偽・\(q \Rightarrow p\) 偽
\(p\) と \(q\) はどちらでもない（無関係）

例題　\(p\)：「\(x=3\)」、\(q\)：「\(x^2-5x+6=0\)」とする。\(p\) は \(q\) であるためのどんな条件か。

解答を見る

手順1：\(p \Rightarrow q\) を確かめる。\(x=3\) のとき \(x^2-5x+6 = 9-15+6=0\) となり成り立つ。よって真。手順2：\(q \Rightarrow p\) を確かめる。\(x^2-5x+6=0\) を解くと \((x-2)(x-3)=0\) より \(x=2,\ 3\)。\(x=2\) は \(q\) を満たすが \(p\)（\(x=3\)）は満たさない。よって反例があり偽。 \(p \Rightarrow q\) 真・\(q \Rightarrow p\) 偽なので、手順の表の該当欄にあてはめる。 \(p\) は \(q\) であるための十分条件（必要条件ではない）

STEP 4

条件の否定と「かつ」「または」（ド・モルガンの法則）

条件 \(p\) の否定は「\(p\) でない」で、これを \(\overline{p}\) と書く。2つの条件を組み合わせるときの否定には次の規則があり、これをド・モルガンの法則という。

「\(p\) かつ \(q\)」の否定 → 「\(p\) でない、または \(q\) でない」
「\(p\) または \(q\)」の否定 → 「\(p\) でない、かつ \(q\) でない」

「かつ」の否定は「または」に、「または」の否定は「かつ」に入れ替わる。ベン図で見ると、それぞれの範囲がぴったり反転していることが分かる。

不等式の範囲でも同じ考え方が使える。「\(x<1\) または \(x>5\)」の否定は、それぞれを否定して「かつ」でつなぎ、「\(x \ge 1\) かつ \(x \le 5\)」、つまり「\(1 \le x \le 5\)」になる。

例題　条件「\(x\) は2の倍数である、かつ、\(x\) は3の倍数である」の否定をド・モルガンの法則を使って作れ。

解答を見る

「\(p\) かつ \(q\)」の否定は「\(p\) でない、または \(q\) でない」なので、それぞれの条件を否定して「または」でつなぐ。「\(x\) は2の倍数でない、または、\(x\) は3の倍数でない」

練習問題（全18問）

「十分」「必要」「必要十分」「どちらでもない」のいずれかで答える問題が中心。答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）

真偽判定

命題「\(x=5\) ならば \(x^2=25\)」の真偽を答えよ（真/偽を入力）。

答え

解説を見る

\(x=5\) を代入すると \(x^2=5^2=25\) となり成り立つ。真

真偽判定＋反例

命題「\(x^2=25\) ならば \(x=5\)」の真偽を答え、偽ならば反例となる \(x\) の値を求めよ。

真偽　反例 \(x=\)

解説を見る

\(x^2=25\) を満たすのは \(x=5\) と \(x=-5\)。\(x=-5\) のとき \(x^2=25\) は成り立つが \(x=5\) は成り立たない。偽（反例：\(x=-5\)）

十分・必要の判定

\(p\)：「\(n\) は9の倍数」、\(q\)：「\(n\) は3の倍数」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か（十分/必要/必要十分/どちらでもないを入力）。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：9の倍数は \(9=3\times3\) なので必ず3の倍数でもある。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(n=3\) は3の倍数だが9の倍数ではない。反例があるので偽。十分条件（必要条件ではない）

十分・必要の判定（3の逆）

\(p\)：「\(n\) は3の倍数」、\(q\)：「\(n\) は9の倍数」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(n=3\) は3の倍数だが9の倍数ではない。反例があるので偽。 \(q \Rightarrow p\)：9の倍数は必ず3の倍数でもある。真。必要条件（十分条件ではない）

十分・必要の判定（不等式）

\(p\)：「\(x>4\)」、\(q\)：「\(x>1\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x>4\) ならば当然 \(x>1\)。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(x=2\) は \(x>1\) を満たすが \(x>4\) は満たさない。反例があるので偽。十分条件（必要条件ではない）

十分・必要の判定（図形）

\(p\)：「四角形ABCDは正方形である」、\(q\)：「四角形ABCDは長方形である」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：正方形は4つの角がすべて直角なので、必ず長方形でもある。真。 \(q \Rightarrow p\)：縦横の長さが違う長方形は正方形ではない。反例があるので偽。十分条件（必要条件ではない）

標準（7〜14）

\(p\)：「\(x=3\)」、\(q\)：「\(x^2-5x+6=0\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x=3\) のとき \(9-15+6=0\)。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(x^2-5x+6=0\) を解くと \((x-2)(x-3)=0\) より \(x=2,\ 3\)。\(x=2\) は反例。偽。十分条件（必要条件ではない）

\(p\)：「\(x^2-5x+6=0\)」、\(q\)：「\(x=3\)」とする（7の \(p,q\) を入れ替えたもの）。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x^2-5x+6=0\) の解は \(x=2,\ 3\)。\(x=2\) は \(p\) を満たすが \(q\)（\(x=3\)）を満たさない。反例があり偽。 \(q \Rightarrow p\)：\(x=3\) ならば \(9-15+6=0\) が成り立つ。真。必要条件（十分条件ではない）

\(p\)：「\(x=4\)」、\(q\)：「\(2x-8=0\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x=4\) のとき \(2\times4-8=0\)。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(2x-8=0\) を解くと \(x=4\)。真。両方の矢印が真なので同値。必要十分条件

\(p\)：「\(x>1\)」、\(q\)：「\(x<8\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x=100\) は \(x>1\) を満たすが \(x<8\) は満たさない。反例があり偽。 \(q \Rightarrow p\)：\(x=-5\) は \(x<8\) を満たすが \(x>1\) は満たさない。反例があり偽。どちらも偽なので無関係。どちらでもない

集合を使った判定

\(p\)：「\(x \in \{2,\ 4,\ 6\}\)」、\(q\)：「\(x\) は偶数」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(2,\ 4,\ 6\) はすべて偶数。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(x=8\) は偶数だが集合 \(\{2,4,6\}\) の要素ではない。反例があり偽。十分条件（必要条件ではない）

真偽判定＋反例

命題「自然数 \(n\) が素数ならば \(n\) は奇数である」の真偽を答え、偽ならば反例となる \(n\) の値を求めよ。

真偽　反例 \(n=\)

解説を見る

素数は「1とその数自身以外に約数を持たない2以上の整数」。\(n=2\) は素数だが偶数なので、奇数であるという結論が成り立たない。偽（反例：\(n=2\)）

否定を作る（ド・モルガン）

条件「\(x\) は2の倍数である、かつ、\(x\) は3の倍数である」の否定を、ド・モルガンの法則を用いて作れ。

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「\(p\) かつ \(q\)」の否定は「\(p\) でない、または \(q\) でない」。「\(x\) は2の倍数でない、または、\(x\) は3の倍数でない」

「かつ」を含む条件

\(p\)：「\(x>1\) かつ \(x<4\)」、\(q\)：「\(x>0\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

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\(p \Rightarrow q\)：\(1<x<4\) ならば \(x>1>0\) なので \(x>0\)。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(x=100\) は \(x>0\) を満たすが \(1<x<4\) は満たさない。反例があり偽。十分条件（必要条件ではない）

挑戦（15〜18）

2乗と不等式（混同注意）

\(p\)：「\(x>2\)」、\(q\)：「\(x^2>4\)」とする（\(x\) は実数）。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x>2\) ならば \(x\) は正で2より大きいので、2乗すると \(x^2>4\)。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(x=-3\) は \(x^2=9>4\) を満たすが \(x>2\) は満たさない。反例があり偽。十分条件（必要条件ではない）

15の逆・混同しやすい組

\(p\)：「\(x^2>4\)」、\(q\)：「\(x>2\)」とする（\(x\) は実数、15の \(p,q\) を入れ替えたもの）。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x=-3\) は \(x^2=9>4\) を満たすが \(x>2\) は満たさない。反例があり偽（\(x^2>4\) は \(x>2\) だけでなく \(x<-2\) の場合も含むことに注意）。 \(q \Rightarrow p\)：\(x>2\) ならば \(x^2>4\)。真。必要条件（十分条件ではない）

図形の同値な言い換え

\(p\)：「三角形ABCは正三角形である」、\(q\)：「三角形ABCの3つの内角はすべて60°である」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：正三角形は3辺がすべて等しいので、二等辺三角形の性質（底角が等しい）を2回使うと3つの内角もすべて等しく、和が180°であることから各角は60°になる。真。 \(q \Rightarrow p\)：3つの内角がすべて60°ならば、少なくとも2つの角が等しい二等辺三角形が2組できることになり、結局3辺すべてが等しくなる。真。必要十分条件

「または」を含む条件

\(p\)：「\(n\) は4の倍数、または \(n\) は6の倍数」、\(q\)：「\(n\) は2の倍数」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：4の倍数も6の倍数も、どちらも2で割り切れるので必ず2の倍数。真。 \(q \Rightarrow p\)：\(n=2\) は2の倍数だが、4の倍数でも6の倍数でもない。反例があり偽。十分条件（必要条件ではない）

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

絶対値・混同しやすい組

命題「実数 \(x\) について、\(|x|=3\) ならば \(x=3\)」の真偽を答え、偽ならば反例となる \(x\) の値を求めよ。

真偽　反例 \(x=\)

解説を見る

絶対値の定義より \(|x|=3\) を満たす実数は \(x=3\) と \(x=-3\) の2つ。\(x=-3\) のとき \(|x|=3\) は成り立つが \(x=3\) は成り立たない。偽（反例：\(x=-3\)）

応2

2乗の和と必要十分

実数 \(x,\ y\) について、\(p\)：「\(x=0\) かつ \(y=0\)」、\(q\)：「\(x^2+y^2=0\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

\(p \Rightarrow q\)：\(x=0,\ y=0\) ならば \(x^2+y^2=0+0=0\)。真。 \(q \Rightarrow p\)：実数の2乗は必ず0以上（\(x^2 \ge 0,\ y^2 \ge 0\)）。和が0になるのは、2つとも0のときしかない。つまり \(x=0\) かつ \(y=0\)。真。両方の矢印が真なので同値。必要十分条件

応3

集合を使った判定＋反例

\(1\) 以上 \(20\) 以下の自然数全体を全体集合 \(U\) とする。\(A\)：4の倍数の集合、\(B\)：8の倍数の集合とするとき、命題「\(x \in A\) ならば \(x \in B\)」の真偽を答え、偽ならば反例となる \(x\) の値のうち最小のものを求めよ。

真偽　反例（最小） \(x=\)

解説を見る

\(A=\{4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20\}\)、\(B=\{8,\ 16\}\)。\(A\) の要素のうち \(B\) に入っていないものがある（\(4,\ 12,\ 20\)）ので、\(A \subset B\) は成り立たない。反例のうち最小のものは \(x=4\)。偽（反例：\(x=4\)）

応4

絶対値の定義と必要十分

実数 \(x\) について、\(p\)：「\(|x|=3\)」、\(q\)：「\(x=3\) または \(x=-3\)」とする。\(p\) は \(q\) であるための何条件か。

答え

解説を見る

絶対値の定義そのものにより、「\(|x|=3\)」と「\(x=3\) または \(x=-3\)」はまったく同じ実数の集まりを表す。したがって \(p \Rightarrow q\)、\(q \Rightarrow p\) はどちらも真。必要十分条件

応5

ド・モルガン×不等式

命題「\(x<1\) または \(x>5\)」の否定を作り、\(a \le x \le b\) の形で表すときの \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)

解説を見る

「\(p\) または \(q\)」の否定は「\(p\) でない、かつ \(q\) でない」。\(p\)：「\(x<1\)」の否定は「\(x \ge 1\)」、\(q\)：「\(x>5\)」の否定は「\(x \le 5\)」。これを「かつ」でつなぐと \(x \ge 1\) かつ \(x \le 5\)、すなわち \(1 \le x \le 5\)。 \(a=1,\ b=5\)