媒介変数表示・極座標

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

媒介変数表示ってなに？

直線や円などの曲線上の点 \((x, y)\) を、もう1つの変数（媒介変数、パラメータ）\(t\) や \(\theta\) を使って \(x = f(t),\ y = g(t)\) の形で表す方法。\(t\) を1つ決めるごとに、曲線上の点が1つ決まる。

例1：直線の媒介変数表示

\(x = 1 + 2t,\ y = 2 - t\) は、\(t\) を動かすと点 \((1,2)\) を通り方向 \((2,-1)\) に伸びる直線を表す。\(t=0\) なら \((1,2)\)、\(t=1\) なら \((3,1)\) というように、\(t\) の値ごとに点が決まっていく。

例2：円の媒介変数表示

\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）は、原点中心・半径1の円 \(x^2+y^2=1\) を表す。\(\theta\) は円周上を回る角度そのもの。

例3：楕円の媒介変数表示

円を \(x\) 方向・\(y\) 方向に別々に拡大縮小すると楕円になる。\(x = 3\cos\theta,\ y = 2\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）は楕円 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) を表す（証明はSTEP2）。

覚え方　円は「半径1倍・1倍」、楕円は「\(x\) 方向 \(a\) 倍・\(y\) 方向 \(b\) 倍」に伸ばした円と考えるとよい。
\(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\) は楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の媒介変数表示。
STEP 2

媒介変数の消去（もとの式に戻す）

媒介変数表示から \(t\) や \(\theta\) を消去すると、見慣れた \(x,\ y\) だけの式（曲線の方程式）に戻せる。消去の方法は「\(t=\) の形に直して代入する」か「三角関数の関係式 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) を使う」かの2通りが基本。

例題1　\(x = t + 1,\ y = t^2\) から \(t\) を消去して、\(x,\ y\) だけの式で表せ。

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\(x=t+1\) を \(t=\) の形に直すと \(t = x - 1\)。 これを \(y=t^2\) に代入する。 \(y = (x-1)^2\) \(y = (x-1)^2\)（頂点 \((1,0)\) の放物線）

例題2　\(x = 3\cos\theta,\ y = 2\sin\theta\) から \(\theta\) を消去して、\(x,\ y\) だけの式で表せ。

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\(\cos\theta,\ \sin\theta\) をそれぞれ \(x,\ y\) の式に直す。 \(\cos\theta = \dfrac{x}{3},\quad \sin\theta = \dfrac{y}{2}\) 三角関数の基本関係式 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) に代入する。 \(\left(\dfrac{x}{3}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1\) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)（楕円）
消去の2大パターン
1. \(t=\) の式にできる → そのまま代入して \(x,\ y\) の式に直す（直線・放物線タイプ）。
2. \(\cos\theta,\ \sin\theta\) の形が出てくる → \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) を使って \(\theta\) を消す（円・楕円タイプ）。
STEP 3

極座標（\(r,\ \theta\)）

これまでの \((x,y)\) の代わりに、原点 \(O\) からの距離 \(r\)（\(r \ge 0\)）と、\(x\) 軸の正方向となす角 \(\theta\) の組 \((r,\ \theta)\) で点の位置を表す方法を極座標という。原点を極、\(x\) 軸を始線と呼ぶ。

極座標 ⇔ 直交座標の変換公式
極座標 \((r,\theta)\) → 直交座標：\(x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta\)
直交座標 \((x,y)\) → 極座標：\(r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)（\(\theta\) は \((x,y)\) がどの象限にあるかで決める）

例題1　極座標 \((r,\theta)=\left(4,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) を直交座標に変換せよ。

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\(x = r\cos\theta = 4\cos\dfrac{\pi}{3} = 4 \times \dfrac{1}{2} = 2\) \(y = r\sin\theta = 4\sin\dfrac{\pi}{3} = 4 \times \dfrac{\sqrt3}{2} = 2\sqrt3\) \((x,y) = (2,\ 2\sqrt3)\)

例題2　直交座標 \((x,y)=(1,\ \sqrt3)\) を極座標 \((r,\theta)\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）に変換せよ。

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\(r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2} = \sqrt{1+3} = 2\) \(\tan\theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{\sqrt3}{1} = \sqrt3\)。\(x>0,\ y>0\) より \(P\) は第1象限にあるので \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)。 \((r,\theta) = \left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\)
STEP 4

極方程式（\(r\) と \(\theta\) の関係式）

曲線を \(r\) と \(\theta\) の関係式で表したものを極方程式という。基本の2つの形をまず覚えよう。

基本の極方程式
\(r = k\)（\(k>0\)）→ 原点中心・半径 \(k\) の円
\(\theta = \alpha\)（\(r\) は0以上の実数）→ 原点を通り \(x\) 軸の正方向と角 \(\alpha\) をなす半直線

もっと複雑な極方程式は、両辺に \(r\) をかけて \(r^2,\ r\cos\theta,\ r\sin\theta\) の形をつくり、\(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y\) を代入して直交座標の式に直す、という手順で正体を調べられる。

例題　極方程式 \(r = 2\cos\theta\) はどんな図形を表すか。

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両辺に \(r\) をかける。 \(r^2 = 2r\cos\theta\) \(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x\) を代入する。 \(x^2+y^2 = 2x\) \(x\) について平方完成する。 \(x^2-2x+y^2=0\) \((x-1)^2-1+y^2=0\) \((x-1)^2+y^2=1\)（中心 \((1,0)\)、半径1の円）
注意　一般に \(r = 2a\cos\theta\)（\(a>0\)）は中心 \((a,0)\)・半径 \(a\) の円、\(r = 2a\sin\theta\) は中心 \((0,a)\)・半径 \(a\) の円になる（どちらも原点を通る）。丸暗記でなく、「両辺に \(r\) をかけて代入する」という手順そのものを身につけよう。
練習問題（全16問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「√3」または「sqrt3」、円周率は「π」または「pi」で入力できる。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）
1
媒介変数への代入

\(x = 2t+1,\ y = 3t-2\) について、\(t=3\) のときの \((x,y)\) を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
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\(x = 2\times3+1 = 7\) \(y = 3\times3-2 = 7\) \((x,y)=(7,\ 7)\)
2
円の媒介変数表示

\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\) について、\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) のときの \((x,y)\) を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(x = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) \(y = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}\) \((x,y)=\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)\)
3
消去して1次式へ（係数を答える）

\(x = t,\ y = 2t+3\) から \(t\) を消去すると、\(y = ax+b\) の形になる。\(a,\ b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(x=t\) より \(t=x\)。これを \(y=2t+3\) に代入する。 \(y = 2x+3\) \(a=2,\ b=3\)
4
媒介変数への代入

\(x = t^2,\ y = t+1\) について、\(t=1\) のときの \((x,y)\) を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(x = 1^2 = 1\) \(y = 1+1 = 2\) \((x,y)=(1,\ 2)\)
5
極座標→直交座標

極座標 \((r,\theta)=\left(4,\ \dfrac{\pi}{2}\right)\) を直交座標に変換せよ。

\(x=\) 　\(y=\)
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\(x = r\cos\theta = 4\cos\dfrac{\pi}{2} = 4\times0=0\) \(y = r\sin\theta = 4\sin\dfrac{\pi}{2} = 4\times1=4\) \((x,y)=(0,\ 4)\)
6
直交座標→極座標

直交座標 \((x,y)=(3,\ 3)\) を極座標 \((r,\theta)\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）に変換せよ。

\(r=\) 　\(\theta=\)
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\(r=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt2\) \(\tan\theta=\dfrac{3}{3}=1\)。\(x>0,\ y>0\) の第1象限なので \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\)。 \((r,\theta)=\left(3\sqrt2,\ \dfrac{\pi}{4}\right)\)
標準（7〜12）
7
消去して楕円の式へ（分母を答える）

\(x = 3\cos\theta,\ y = 2\sin\theta\) から \(\theta\) を消去すると \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=1\) の形になる。\(a,\ b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(\cos\theta=\dfrac{x}{3},\ \sin\theta=\dfrac{y}{2}\)。\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) に代入する。 \(\left(\dfrac{x}{3}\right)^2+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1 \ \to\ \dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) \(a=9,\ b=4\)
8
消去して放物線の式へ（係数を答える）

\(x = t+2,\ y = t^2-1\) から \(t\) を消去すると \(y = x^2+bx+c\) の形になる。\(b,\ c\) を求めよ。

\(b=\) 　\(c=\)
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\(x=t+2\) より \(t=x-2\)。これを \(y=t^2-1\) に代入する。 \(y=(x-2)^2-1 = x^2-4x+4-1 = x^2-4x+3\) \(b=-4,\ c=3\)
9
極座標→直交座標

極座標 \((r,\theta)=\left(2,\ \dfrac{\pi}{6}\right)\) を直交座標に変換せよ。

\(x=\) 　\(y=\)
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\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{6} = 2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\) \(y = 2\sin\dfrac{\pi}{6} = 2\times\dfrac{1}{2}=1\) \((x,y)=(\sqrt3,\ 1)\)
10
直交座標→極座標（第2象限）

直交座標 \((x,y)=(-1,\ \sqrt3)\) を極座標 \((r,\theta)\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）に変換せよ。

\(r=\) 　\(\theta=\)
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\(r=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt{1+3}=2\) \(\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{-1}=-\sqrt3\)。\(x<0,\ y>0\) の第2象限なので、基準角 \(\dfrac{\pi}{3}\) を使って \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}\)。 \((r,\theta)=\left(2,\ \dfrac{2\pi}{3}\right)\)
11
極方程式→円の式（中心・半径を答える）

極方程式 \(r=4\cos\theta\) は円 \((x-a)^2+y^2=b^2\) を表す。\(a\)（中心の\(x\)座標）と \(b\)（半径）を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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両辺に \(r\) をかける。\(r^2=4r\cos\theta\) \(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x\) を代入する。\(x^2+y^2=4x\) 平方完成する。\(x^2-4x+y^2=0 \to (x-2)^2-4+y^2=0 \to (x-2)^2+y^2=4\) 中心 \((2,0)\)、半径 \(2\) の円（\(a=2,\ b=2\)）
12
極方程式→円の式（中心・半径を答える）

極方程式 \(r=6\sin\theta\) は円 \(x^2+(y-a)^2=b^2\) を表す。\(a\)（中心の\(y\)座標）と \(b\)（半径）を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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両辺に \(r\) をかける。\(r^2=6r\sin\theta\) \(r^2=x^2+y^2,\ r\sin\theta=y\) を代入する。\(x^2+y^2=6y\) 平方完成する。\(x^2+y^2-6y=0 \to x^2+(y-3)^2-9=0 \to x^2+(y-3)^2=9\) 中心 \((0,3)\)、半径 \(3\) の円（\(a=3,\ b=3\)）
挑戦（13〜16）
13
中心のずれた円の媒介変数表示

\(x = 1+2\cos\theta,\ y = -1+2\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）はどんな図形を表すか。中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径
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\(\cos\theta=\dfrac{x-1}{2},\ \sin\theta=\dfrac{y+1}{2}\)。\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) に代入する。 \(\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{y+1}{2}\right)^2=1 \ \to\ (x-1)^2+(y+1)^2=4\) 中心 \((1,\ -1)\)、半径 \(2\) の円
14
楕円上の点（xが2つ）

\(x = 2\cos\theta,\ y = 3\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）上の点で \(y=\dfrac{3}{2}\) となるときの \(x\) の値をすべて求めよ。（2つある場合はコンマ区切りで入力）

\(x=\)
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\(y=3\sin\theta=\dfrac{3}{2}\) より \(\sin\theta=\dfrac{1}{2}\)。\(0\le\theta<2\pi\) では \(\theta=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\)。 \(\theta=\dfrac{\pi}{6}\) のとき \(x=2\cos\dfrac{\pi}{6}=2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\) \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\) のとき \(x=2\cos\dfrac{5\pi}{6}=2\times\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=-\sqrt3\) \(x=\sqrt3,\ -\sqrt3\)
15
極方程式に代入

極方程式 \(r=\dfrac{2}{1-\cos\theta}\) について、\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) のときと \(\theta=\pi\) のときの \(r\) の値をそれぞれ求めよ。

\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) のとき \(r=\) 　\(\theta=\pi\) のとき \(r=\)
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\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) のとき　\(\cos\dfrac{\pi}{2}=0\) より \(r=\dfrac{2}{1-0}=2\) \(\theta=\pi\) のとき　\(\cos\pi=-1\) より \(r=\dfrac{2}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1\) \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) で \(r=2\)、\(\theta=\pi\) で \(r=1\)
16
rcosθ・rsinθの正体

極方程式 \(r\cos\theta=5\) と \(r\sin\theta=-2\) がそれぞれ表す直線の式を \(x=\)、\(y=\) の形で求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
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変換公式 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\) より、\(r\cos\theta\) はそのまま \(x\)、\(r\sin\theta\) はそのまま \(y\) に等しい。 \(r\cos\theta=5 \ \to\ x=5\)（\(y\) 軸に平行な直線） \(r\sin\theta=-2 \ \to\ y=-2\)（\(x\) 軸に平行な直線） \(x=5\)、\(y=-2\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。サイクロイドの座標計算や極方程式から直交座標への変換など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
サイクロイド（座標値計算）

半径 \(a\) の円が \(x\) 軸上を転がるとき、円周上の1点\(P\)が描く曲線をサイクロイドといい、\(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\) と媒介変数表示できる。\(a=2\) のとき、\(t=\dfrac{\pi}{2}\) における \(P\) の座標を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(x=a(t-\sin t)=2\left(\dfrac{\pi}{2}-\sin\dfrac{\pi}{2}\right)=2\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)=\pi-2\) \(y=a(1-\cos t)=2\left(1-\cos\dfrac{\pi}{2}\right)=2(1-0)=2\) \((x,y)=(\pi-2,\ 2)\)
応2
サイクロイド（弧の頂点）

サイクロイド \(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\) について、\(a=1\) のとき \(t=\pi\) における点の座標を求めよ。これはアーチのいちばん高い点にあたる。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(x=1\times(\pi-\sin\pi)=\pi-0=\pi\) \(y=1\times(1-\cos\pi)=1-(-1)=2\) 高さ \(y\) の最大値は \(2a\) で、ちょうど \(t=\pi\) のときに実現する（\(a=1\) なので高さ\(2\)）。 \((x,y)=(\pi,\ 2)\)
応3
極方程式→円の式（中心・半径）

極方程式 \(r=2\cos\theta+2\sin\theta\) はどんな図形を表すか。中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径
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両辺に \(r\) をかける。\(r^2=2r\cos\theta+2r\sin\theta\) \(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y\) を代入する。 \(x^2+y^2=2x+2y\) \(x,\ y\) それぞれ平方完成する。 \(x^2-2x+y^2-2y=0\) \((x-1)^2-1+(y-1)^2-1=0\) \((x-1)^2+(y-1)^2=2\) 中心 \((1,\ 1)\)、半径 \(\sqrt2\) の円
応4
極方程式→楕円の式（2次曲線の分類）

極方程式 \(r=\dfrac{3}{2-\cos\theta}\) について、\(\theta=0\) のときと \(\theta=\pi\) のときの \(r\) の値をそれぞれ求めよ。また、直交座標に変換すると楕円の方程式になることを確かめよ。

\(\theta=0\) のとき \(r=\) 　\(\theta=\pi\) のとき \(r=\)
解説を見る
\(\theta=0\) のとき　\(\cos0=1\) より \(r=\dfrac{3}{2-1}=3\) \(\theta=\pi\) のとき　\(\cos\pi=-1\) より \(r=\dfrac{3}{2-(-1)}=\dfrac{3}{3}=1\) 直交座標への変換：\(r(2-\cos\theta)=3\) の両辺を展開する。 \(2r-r\cos\theta=3\) \(r\cos\theta=x\) を使って \(r\) だけ残す。 \(2r=3+x \ \to\ r=\dfrac{3+x}{2}\) 両辺を2乗して \(r^2=x^2+y^2\) を代入する。 \(r^2=\dfrac{(3+x)^2}{4}=x^2+y^2\) \((3+x)^2=4x^2+4y^2\) \(9+6x+x^2=4x^2+4y^2\) \(3x^2-6x+4y^2=9\) \(x\) について平方完成する。 \(3(x^2-2x)+4y^2=9 \ \to\ 3(x-1)^2-3+4y^2=9 \ \to\ 3(x-1)^2+4y^2=12\) 両辺を12で割る。 \(\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)（中心 \((1,0)\) の楕円）。\(\theta=0\) で \(r=3\)、\(\theta=\pi\) で \(r=1\)
応5
楕円上の最遠点

楕円の媒介変数表示 \(x=4\cos\theta,\ y=2\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）上の点 \(P\) と原点 \(O\) との距離 \(OP\) が最大になるときの \(\theta\) の値をすべて求め（2つ）、そのときの \(OP\) の長さを求めよ。

\(\theta=\) 　\(OP=\)
解説を見る
\(OP^2=x^2+y^2=(4\cos\theta)^2+(2\sin\theta)^2=16\cos^2\theta+4\sin^2\theta\) \(\sin^2\theta=1-\cos^2\theta\) を使って \(\cos\theta\) だけの式にする。 \(OP^2=16\cos^2\theta+4(1-\cos^2\theta)=12\cos^2\theta+4\) \(\cos^2\theta\) は \(0\) 以上 \(1\) 以下なので、\(OP^2\) が最大になるのは \(\cos^2\theta=1\)、つまり \(\cos\theta=\pm1\) のとき。\(0\le\theta<2\pi\) では \(\theta=0\) または \(\theta=\pi\)。 このとき \(OP^2=12\times1+4=16\)、\(OP=4\)（実際 \(\theta=0\) は点 \((4,0)\)、\(\theta=\pi\) は点 \((-4,0)\) で、どちらも原点からの距離は \(4\)）。 \(\theta=0,\ \pi\) のとき最大値 \(OP=4\)