2次曲線（放物線・楕円・双曲線）

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

放物線 \(y^2=4px\) ― 焦点と準線

放物線には「焦点」と呼ばれる特別な点と、「準線」と呼ばれる直線が1本ずつある。放物線上のどの点をとっても、焦点までの距離と準線までの距離がぴったり等しい。これが放物線の正体で、これから学ぶ楕円・双曲線もすべて焦点を使って定義される。

\(y^2=4px\)（\(p>0\) なら右に開く、\(p<0\) なら左に開く）
焦点：\((p,\ 0)\)　準線：\(x=-p\)
上の図は \(y^2=8x\)（\(4p=8\) より \(p=2\)）。焦点 \((2,0)\)、準線 \(x=-2\)。

例題1　\(y^2=-16x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

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\(4p=-16\) より \(p=-4\)（\(p<0\) なので左に開く放物線）。 焦点 \((-4,\ 0)\)、準線 \(x=4\)

頂点で \(x\) と \(y\) の役割を入れ替えれば、上下に開く放物線 \(x^2=4py\) も同じしくみで扱える（焦点 \((0,\ p)\)、準線 \(y=-p\)）。

例題2　\(x^2=-4y\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

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\(4p=-4\) より \(p=-1\)（\(p<0\) なので下に開く放物線）。 焦点 \((0,\ -1)\)、準線 \(y=1\)
STEP 2

楕円 ― 焦点までの距離の和が一定

楕円は「2つの焦点までの距離の和がどこでも一定」という性質を持つ点の集まり。標準形は \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,\ b>0\)）で、長い方の軸（長軸）の半分が \(a\)、短い方（短軸）の半分が \(b\) になるように \(a,\ b\) を決める。

\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)：\(a=5,\ b=3\)。\(a>b\) なので焦点は\(x\)軸上。
焦点の座標を \((\pm c,\ 0)\) とすると \(c^2=a^2-b^2\)（大きい方から小さい方を引く）。この式では \(c^2=25-9=16\) より \(c=4\)。
\(b>a\) の場合（縦長の楕円）は焦点が \(y\)軸上 \((0,\ \pm c)\) になる。長軸の長さは、\(a,\ b\) のうち大きい方を2倍した値。

例題3　\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。

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分母は \(y^2\) の方が大きい（\(25>16\)）ので、この楕円は縦長で焦点は \(y\)軸上。 \(a=5\)（\(y\)軸側）、\(b=4\)（\(x\)軸側）とすると \(c^2=a^2-b^2=25-16=9\) より \(c=3\)。 焦点 \((0,\ 3)\)、\((0,\ -3)\)。長軸の長さ \(2a=10\)
STEP 3

双曲線 ― 焦点までの距離の差が一定

双曲線は「2つの焦点までの距離の差（の絶対値）がどこでも一定」という性質を持つ点の集まり。標準形は \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) で、グラフは2つに分かれた枝（2枝）になり、原点から伸びる2本の直線（漸近線）に限りなく近づいていく。

\(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\)：\(a=3,\ b=4\)。焦点は \(c^2=a^2+b^2\) で決まる（楕円と違って足し算）。この式では \(c^2=9+16=25\) より \(c=5\)、焦点 \((\pm5,\ 0)\)。
漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{b}{a}\)（\(x^2\) の分母が \(a^2\)、\(y^2\) の分母が \(b^2\)）。ここでは \(\pm\dfrac{4}{3}\)。
上下に開く双曲線 \(\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\) では、焦点が \(y\)軸上 \((0,\ \pm c)\)、漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{a}{b}\) になる（\(x\)軸・\(y\)軸のどちらに開いても、正の項の分母が \(a^2\)、負の項の分母が \(b^2\) というルールは共通）。

例題4　\(\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{12}=1\) の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ。

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正の項が \(y^2\) なので上下に開く双曲線。\(a^2=4\) より \(a=2\)、\(b^2=12\) より \(b=2\sqrt{3}\)。 \(c^2=a^2+b^2=4+12=16\) より \(c=4\)。 漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{a}{b}=\pm\dfrac{2}{2\sqrt{3}}=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)。 焦点 \((0,\ 4)\)、\((0,\ -4)\)。漸近線 \(y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}x\)
STEP 4

3つの曲線を比べる（まとめ）

放物線・楕円・双曲線は、どれも「焦点」という共通のキーワードで定義されている。違いは、距離の条件が「等しい」「和が一定」「差が一定」のどれになっているかだけ。ここを対比しておくと、式を丸暗記せずに済む。

放物線
焦点までの距離＝準線までの距離
\(y^2=4px\)
焦点 \((p,0)\)、準線 \(x=-p\)
楕円
2焦点までの距離の和が一定（\(=2a\)）
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
\(c^2=a^2-b^2\)
双曲線
2焦点までの距離の差の絶対値が一定（\(=2a\)）
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
\(c^2=a^2+b^2\)
注意　\(c^2\) の計算式は楕円が引き算、双曲線が足し算で符号が逆になる。楕円は「焦点は必ず長軸上（\(a>b\) なら\(x\)軸、\(b>a\) なら\(y\)軸）」、双曲線は「焦点は必ず曲線が開いている方向の軸上」と覚えると混同しにくい。
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
放物線 \(y^2=4px\)（右開き）

\(y^2=8x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

焦点 \(x=\) 　\(y=\) 　　準線 \(x=\)
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\(4p=8\) より \(p=2\)。 焦点 \((2,\ 0)\)、準線 \(x=-2\)
2
放物線 \(y^2=4px\)（左開き）

\(y^2=-20x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

焦点 \(x=\) 　\(y=\) 　　準線 \(x=\)
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\(4p=-20\) より \(p=-5\)。 焦点 \((-5,\ 0)\)、準線 \(x=5\)
3
放物線 \(x^2=4py\)（上開き）

\(x^2=16y\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

焦点 \(x=\) 　\(y=\) 　　準線 \(y=\)
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\(4p=16\) より \(p=4\)。 焦点 \((0,\ 4)\)、準線 \(y=-4\)
4
放物線 \(x^2=4py\)（下開き）

\(x^2=-4y\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。

焦点 \(x=\) 　\(y=\) 　　準線 \(y=\)
解説を見る
\(4p=-4\) より \(p=-1\)。 焦点 \((0,\ -1)\)、準線 \(y=1\)
5
楕円（焦点は\(x\)軸上）

\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。

焦点の\(x\)座標（コンマ区切り） 　\(y=\) 　　長軸の長さ
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\(a=5,\ b=3\)。\(a>b\) なので焦点は\(x\)軸上。\(c^2=25-9=16\) より \(c=4\)。長軸の長さは \(2a=10\)。 焦点 \((4,\ 0)\)、\((-4,\ 0)\)。長軸の長さ \(10\)
6
楕円（焦点は\(y\)軸上）

\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。

焦点 \(x=\) 　　焦点の\(y\)座標（コンマ区切り） 　　長軸の長さ
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分母は \(y^2\) の方が大きい（\(25>9\)）ので焦点は\(y\)軸上。\(a=5,\ b=3\)、\(c^2=25-9=16\) より \(c=4\)。長軸の長さは \(2a=10\)。 焦点 \((0,\ 4)\)、\((0,\ -4)\)。長軸の長さ \(10\)
7
双曲線（焦点は\(x\)軸上）

\(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。

焦点の\(x\)座標（コンマ区切り） 　\(y=\) 　　漸近線の傾き（正の方）
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\(a=4,\ b=3\)。\(c^2=16+9=25\) より \(c=5\)。漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{b}{a}=\pm\dfrac{3}{4}\)。 焦点 \((5,\ 0)\)、\((-5,\ 0)\)。漸近線 \(y=\pm\dfrac{3}{4}x\)
8
双曲線（焦点は\(y\)軸上）

\(\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。

焦点 \(x=\) 　　焦点の\(y\)座標（コンマ区切り） 　　漸近線の傾き（正の方）
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正の項が \(y^2\) なので上下に開く双曲線。\(a=3,\ b=4\)、\(c^2=9+16=25\) より \(c=5\)。漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{a}{b}=\pm\dfrac{3}{4}\)。 焦点 \((0,\ 5)\)、\((0,\ -5)\)。漸近線 \(y=\pm\dfrac{3}{4}x\)
標準（9〜15）　※パターンは自分で判定
9

\(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。

焦点の\(x\)座標（コンマ区切り） 　\(y=\) 　　長軸の長さ
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\(a=13,\ b=5\)。\(c^2=169-25=144\) より \(c=12\)。長軸の長さは \(2a=26\)。 焦点 \((12,\ 0)\)、\((-12,\ 0)\)。長軸の長さ \(26\)
10

\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{13}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。

焦点 \(x=\) 　　焦点の\(y\)座標（コンマ区切り） 　　長軸の長さ
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分母は \(y^2\) の方が大きい（\(13>4\)）ので焦点は\(y\)軸上。\(a=\sqrt{13},\ b=2\)、\(c^2=13-4=9\) より \(c=3\)。長軸の長さは \(2a=2\sqrt{13}\)。 焦点 \((0,\ 3)\)、\((0,\ -3)\)。長軸の長さ \(2\sqrt{13}\)
11

\(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{225}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。

焦点の\(x\)座標（コンマ区切り） 　\(y=\) 　　漸近線の傾き（正の方）
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\(a=8,\ b=15\)。\(c^2=64+225=289\) より \(c=17\)。漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{b}{a}=\pm\dfrac{15}{8}\)。 焦点 \((17,\ 0)\)、\((-17,\ 0)\)。漸近線 \(y=\pm\dfrac{15}{8}x\)
12

\(\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{x^2}{144}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。

焦点 \(x=\) 　　焦点の\(y\)座標（コンマ区切り） 　　漸近線の傾き（正の方）
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正の項が \(y^2\) なので上下に開く双曲線。\(a=5,\ b=12\)、\(c^2=25+144=169\) より \(c=13\)。漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{a}{b}=\pm\dfrac{5}{12}\)。 焦点 \((0,\ 13)\)、\((0,\ -13)\)。漸近線 \(y=\pm\dfrac{5}{12}x\)
13
条件から式を逆算（楕円）

焦点が \((3,\ 0)\)、\((-3,\ 0)\) で、長軸の長さが \(10\) である楕円について、標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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長軸の長さ \(2a=10\) より \(a=5\)。焦点の座標から \(c=3\)。 \(c^2=a^2-b^2\) より \(9=25-b^2\)、よって \(b^2=16,\ b=4\)。 \(a=5,\ b=4\)
14
条件から式を逆算（双曲線）

焦点が \((25,\ 0)\)、\((-25,\ 0)\) で、漸近線の傾きが \(\pm\dfrac{3}{4}\) である双曲線について、標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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漸近線の傾きが \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{4}\) なので、\(a=4k,\ b=3k\)（\(k>0\)）とおける。 \(c^2=a^2+b^2\) より \(25^2=(4k)^2+(3k)^2=16k^2+9k^2=25k^2\)、よって \(k^2=25,\ k=5\)。 \(a=20,\ b=15\)
15
条件から式を逆算（放物線）

頂点が原点、準線が \(x=3\) である放物線の焦点の座標と \(p\) の値を求めよ。

\(p=\) 　　焦点 \(x=\) 　\(y=\)
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準線は \(x=-p\) なので \(-p=3\)、よって \(p=-3\)（\(p<0\) なので左に開く放物線）。焦点は \((p,\ 0)=(-3,\ 0)\)。 \(p=-3\)。焦点 \((-3,\ 0)\)
挑戦（16〜18）
16
条件から式を逆算・2段階

ある双曲線の2つの焦点は \(F(10,\ 0)\)、\(F'(-10,\ 0)\) であり、漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{3}{4}\) である。この双曲線の標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) における \(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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漸近線の傾き \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{4}\) より \(a=4k,\ b=3k\)（\(k>0\)）とおく。 焦点の座標から \(c=10\)。\(c^2=a^2+b^2\) より \(100=16k^2+9k^2=25k^2\)、よって \(k^2=4,\ k=2\)。 \(a=8,\ b=6\)
17
焦点までの距離＝準線までの距離

放物線 \(y^2=4x\) 上の点 \(P\) について、焦点 \(F\) までの距離が \(5\) であるとき、\(P\) の \(x\) 座標を求めよ。

\(x=\)
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\(4p=4\) より \(p=1\)。焦点は \((1,\ 0)\)、準線は \(x=-1\)。 放物線の定義より、点 \(P(x,\ y)\) について「焦点までの距離」＝「準線までの距離」\(=x-(-1)=x+1\)。 これが \(5\) に等しいので \(x+1=5\)、よって \(x=4\)。 \(x=4\)
18
距離の差の定義に戻る

双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\) 上の点 \(P\) について、2つの焦点 \(F,\ F'\) までの距離の差 \(|PF-PF'|\) を求めよ。

\(|PF-PF'|=\)
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双曲線の定義そのもの：2焦点までの距離の差の絶対値は、曲線上のどの点でも \(2a\) で一定。 \(a^2=9\) より \(a=3\)、よって \(2a=6\)。 \(|PF-PF'|=6\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。平行移動した曲線・離心率・軌跡の導出に挑戦しよう。

応1
平行移動した放物線

放物線 \((y-2)^2=8(x-1)\) の頂点・焦点の座標と、準線の方程式を求めよ。

頂点 \(x=\) 　\(y=\) 　　焦点 \(x=\) 　\(y=\) 　　準線 \(x=\)
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\(x'=x-1,\ y'=y-2\) とおくと \(y'^2=8x'\)。原点を頂点とする放物線と同じ形なので、\(4p=8\) より \(p=2\)。 この放物線は「頂点を \((1,\ 2)\) に平行移動しただけ」なので、頂点・焦点・準線もすべて同じだけ平行移動する。 基準形での焦点は \((p,\ 0)=(2,\ 0)\)、準線は \(x'=-p=-2\)。 頂点 \((1,\ 2)\)。焦点 \((3,\ 2)\)（\(=(1+2,\ 2)\)）。準線 \(x=-1\)（\(=1-2\)）
応2
平行移動した楕円

楕円 \(\dfrac{(x-2)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{9}=1\) の中心と、2つの焦点の座標を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　　焦点の\(x\)座標（コンマ区切り） 　焦点の\(y\)座標
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\(x'=x-2,\ y'=y+1\) とおくと \(\dfrac{x'^2}{25}+\dfrac{y'^2}{9}=1\)（中心が原点の楕円と同じ形）。中心は \(x'=0,\ y'=0\) すなわち \((x,\ y)=(2,\ -1)\)。 \(a=5,\ b=3\) で \(a>b\) なので焦点は中心を通り\(x\)軸に平行な直線上。\(c^2=25-9=16\) より \(c=4\)。 基準形での焦点は \((\pm4,\ 0)\)。これを中心 \((2,\ -1)\) だけ平行移動すると \((2+4,\ -1)=(6,\ -1)\)、\((2-4,\ -1)=(-2,\ -1)\)。 中心 \((2,\ -1)\)。焦点 \((6,\ -1)\)、\((-2,\ -1)\)
応3
平行移動した双曲線

双曲線 \(\dfrac{(x+3)^2}{16}-\dfrac{(y-2)^2}{9}=1\) の中心・2つの焦点の座標と、漸近線の傾きを求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　　焦点の\(x\)座標（コンマ区切り） 　焦点の\(y\)座標 　　漸近線の傾き（正の方）
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\(x'=x+3,\ y'=y-2\) とおくと \(\dfrac{x'^2}{16}-\dfrac{y'^2}{9}=1\)。中心は \(x'=0,\ y'=0\) すなわち \((x,\ y)=(-3,\ 2)\)。 \(a=4,\ b=3\)、\(c^2=16+9=25\) より \(c=5\)。基準形での焦点は \((\pm5,\ 0)\)、漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{b}{a}=\pm\dfrac{3}{4}\)（漸近線の傾きは平行移動しても変わらない）。 焦点を中心 \((-3,\ 2)\) だけ平行移動すると \((-3+5,\ 2)=(2,\ 2)\)、\((-3-5,\ 2)=(-8,\ 2)\)。 中心 \((-3,\ 2)\)。焦点 \((2,\ 2)\)、\((-8,\ 2)\)。漸近線の傾き \(\pm\dfrac{3}{4}\)
応4
離心率の入り口

曲線の「丸さ・とがり具合」は離心率 \(e=\dfrac{c}{a}\) という数値でも表せる（\(0<e<1\) なら楕円、\(e=1\) なら放物線、\(e>1\) なら双曲線になることが知られている）。次の2つの曲線の離心率を求めよ。
(1) 楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\)　(2) 双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\)

(1) \(e=\) 　　(2) \(e=\)
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(1) \(a=5,\ b=4\)。\(c^2=25-16=9\) より \(c=3\)。\(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}=0.6\)（\(0<e<1\) で確かに楕円）。 (2) \(a=3,\ b=4\)。\(c^2=9+16=25\) より \(c=5\)。\(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{3}\)（\(e>1\) で確かに双曲線）。 離心率は「円らしさ」の指標で、楕円は\(1\)未満、双曲線は必ず\(1\)より大きくなる。この値をどう使い分けるかは、次のページ（媒介変数表示・極座標）でさらにくわしく扱う。 (1) \(e=\dfrac{3}{5}\)　(2) \(e=\dfrac{5}{3}\)
応5
軌跡としての導出

2定点 \(F(3,\ 0)\)、\(F'(-3,\ 0)\) からの距離の和が \(10\) であるような点 \(P\) の軌跡は、標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の楕円になる。この \(a^2,\ b^2\) の値を求めよ。

\(a^2=\) 　\(b^2=\)
解説を見る
「2定点からの距離の和が一定」は、まさに楕円の定義（STEP2参照）。距離の和が \(2a\) にあたるので \(2a=10\)、よって \(a=5,\ a^2=25\)。 2定点 \(F,\ F'\) は焦点にあたるので \(c=3\)。楕円では \(c^2=a^2-b^2\) なので \(9=25-b^2\)、よって \(b^2=16\)。 \(a^2=25,\ b^2=16\)（軌跡の方程式は \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\)）