媒介変数表示ってなに？
直線や円などの曲線上の点 \((x, y)\) を、もう1つの変数（媒介変数、パラメータ）\(t\) や \(\theta\) を使って \(x = f(t),\ y = g(t)\) の形で表す方法。\(t\) を1つ決めるごとに、曲線上の点が1つ決まる。
例1：直線の媒介変数表示
\(x = 1 + 2t,\ y = 2 - t\) は、\(t\) を動かすと点 \((1,2)\) を通り方向 \((2,-1)\) に伸びる直線を表す。\(t=0\) なら \((1,2)\)、\(t=1\) なら \((3,1)\) というように、\(t\) の値ごとに点が決まっていく。
例2：円の媒介変数表示
\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）は、原点中心・半径1の円 \(x^2+y^2=1\) を表す。\(\theta\) は円周上を回る角度そのもの。
例3：楕円の媒介変数表示
円を \(x\) 方向・\(y\) 方向に別々に拡大縮小すると楕円になる。\(x = 3\cos\theta,\ y = 2\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）は楕円 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) を表す（証明はSTEP2）。
\(x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\) は楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の媒介変数表示。
媒介変数の消去（もとの式に戻す）
媒介変数表示から \(t\) や \(\theta\) を消去すると、見慣れた \(x,\ y\) だけの式（曲線の方程式）に戻せる。消去の方法は「\(t=\) の形に直して代入する」か「三角関数の関係式 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) を使う」かの2通りが基本。
例題1 \(x = t + 1,\ y = t^2\) から \(t\) を消去して、\(x,\ y\) だけの式で表せ。
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例題2 \(x = 3\cos\theta,\ y = 2\sin\theta\) から \(\theta\) を消去して、\(x,\ y\) だけの式で表せ。
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1. \(t=\) の式にできる → そのまま代入して \(x,\ y\) の式に直す（直線・放物線タイプ）。
2. \(\cos\theta,\ \sin\theta\) の形が出てくる → \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) を使って \(\theta\) を消す（円・楕円タイプ）。
極座標（\(r,\ \theta\)）
これまでの \((x,y)\) の代わりに、原点 \(O\) からの距離 \(r\)（\(r \ge 0\)）と、\(x\) 軸の正方向となす角 \(\theta\) の組 \((r,\ \theta)\) で点の位置を表す方法を極座標という。原点を極、\(x\) 軸を始線と呼ぶ。
極座標 \((r,\theta)\) → 直交座標：\(x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta\)
直交座標 \((x,y)\) → 極座標：\(r = \sqrt{x^2+y^2},\quad \tan\theta = \dfrac{y}{x}\)（\(\theta\) は \((x,y)\) がどの象限にあるかで決める）
例題1 極座標 \((r,\theta)=\left(4,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) を直交座標に変換せよ。
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例題2 直交座標 \((x,y)=(1,\ \sqrt3)\) を極座標 \((r,\theta)\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）に変換せよ。
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極方程式（\(r\) と \(\theta\) の関係式）
曲線を \(r\) と \(\theta\) の関係式で表したものを極方程式という。基本の2つの形をまず覚えよう。
\(r = k\)（\(k>0\)）→ 原点中心・半径 \(k\) の円
\(\theta = \alpha\)（\(r\) は0以上の実数）→ 原点を通り \(x\) 軸の正方向と角 \(\alpha\) をなす半直線
もっと複雑な極方程式は、両辺に \(r\) をかけて \(r^2,\ r\cos\theta,\ r\sin\theta\) の形をつくり、\(r^2=x^2+y^2,\ r\cos\theta=x,\ r\sin\theta=y\) を代入して直交座標の式に直す、という手順で正体を調べられる。
例題 極方程式 \(r = 2\cos\theta\) はどんな図形を表すか。
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双曲線の媒介変数表示・直線の極方程式
円や楕円だけでなく、双曲線にも媒介変数表示がある。また、極方程式には円・半直線以外に、原点からの距離と角度だけで直線を表す便利な形もある。
双曲線の媒介変数表示
三角関数の関係式 \(1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}\)（すなわち \(\dfrac{1}{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1\)）を使うと、\(\cos\theta\) の逆数と \(\tan\theta\) で双曲線を表せる。
例題1 \(x=\dfrac{3}{\cos\theta},\ y=2\tan\theta\) から \(\theta\) を消去して、\(x,\ y\) だけの式で表せ。
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直線の極方程式 \(r\cos(\theta-\alpha)=d\)
原点 \(O\) から直線に垂線を下ろし、その足までの距離が \(d\)、垂線が始線（\(x\)軸）となす角が \(\alpha\) であるとき、この直線上のすべての点 \((r,\theta)\) は \(r\cos(\theta-\alpha)=d\) を満たす。三角関数の加法定理で直交座標に戻せることを確認しよう。
よって \(r\cos(\theta-\alpha)=d\) は直交座標では \(x\cos\alpha+y\sin\alpha=d\) という直線の式になる。
例題2 極方程式 \(r\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=4\) が表す直線の方程式を、\(x,\ y\) の式で求めよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「√3」または「sqrt3」、円周率は「π」または「pi」で入力できる。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
\(x = 2t+1,\ y = 3t-2\) について、\(t=3\) のときの \((x,y)\) を求めよ。
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\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\) について、\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) のときの \((x,y)\) を求めよ。
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\(x = t,\ y = 2t+3\) から \(t\) を消去すると、\(y = ax+b\) の形になる。\(a,\ b\) を求めよ。
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\(x = t^2,\ y = t+1\) について、\(t=1\) のときの \((x,y)\) を求めよ。
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極座標 \((r,\theta)=\left(4,\ \dfrac{\pi}{2}\right)\) を直交座標に変換せよ。
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直交座標 \((x,y)=(3,\ 3)\) を極座標 \((r,\theta)\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）に変換せよ。
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\(x = 3\cos\theta,\ y = 2\sin\theta\) から \(\theta\) を消去すると \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}=1\) の形になる。\(a,\ b\) を求めよ。
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\(x = t+2,\ y = t^2-1\) から \(t\) を消去すると \(y = x^2+bx+c\) の形になる。\(b,\ c\) を求めよ。
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極座標 \((r,\theta)=\left(2,\ \dfrac{\pi}{6}\right)\) を直交座標に変換せよ。
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直交座標 \((x,y)=(-1,\ \sqrt3)\) を極座標 \((r,\theta)\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）に変換せよ。
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極方程式 \(r=4\cos\theta\) は円 \((x-a)^2+y^2=b^2\) を表す。\(a\)（中心の\(x\)座標）と \(b\)（半径）を求めよ。
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極方程式 \(r=6\sin\theta\) は円 \(x^2+(y-a)^2=b^2\) を表す。\(a\)（中心の\(y\)座標）と \(b\)（半径）を求めよ。
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\(x = 1+2\cos\theta,\ y = -1+2\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）はどんな図形を表すか。中心の座標と半径を求めよ。
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\(x = 2\cos\theta,\ y = 3\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）上の点で \(y=\dfrac{3}{2}\) となるときの \(x\) の値をすべて求めよ。（2つある場合はコンマ区切りで入力）
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極方程式 \(r=\dfrac{2}{1-\cos\theta}\) について、\(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) のときと \(\theta=\pi\) のときの \(r\) の値をそれぞれ求めよ。
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極方程式 \(r\cos\theta=5\) と \(r\sin\theta=-2\) がそれぞれ表す直線の式を \(x=\)、\(y=\) の形で求めよ。
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\(x=\dfrac{4}{\cos\theta},\ y=3\tan\theta\) から \(\theta\) を消去すると \(\dfrac{x^2}{a}-\dfrac{y^2}{b}=1\) の形になる。\(a,\ b\) を求めよ。
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極方程式 \(r\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=3\sqrt2\) が表す直線の方程式は \(x+y=c\) の形になる。\(c\) を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。サイクロイドの座標計算や極方程式から直交座標への変換など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
半径 \(a\) の円が \(x\) 軸上を転がるとき、円周上の1点\(P\)が描く曲線をサイクロイドといい、\(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\) と媒介変数表示できる。\(a=2\) のとき、\(t=\dfrac{\pi}{2}\) における \(P\) の座標を求めよ。
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サイクロイド \(x=a(t-\sin t),\ y=a(1-\cos t)\) について、\(a=1\) のとき \(t=\pi\) における点の座標を求めよ。これはアーチのいちばん高い点にあたる。
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極方程式 \(r=2\cos\theta+2\sin\theta\) はどんな図形を表すか。中心の座標と半径を求めよ。
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極方程式 \(r=\dfrac{3}{2-\cos\theta}\) について、\(\theta=0\) のときと \(\theta=\pi\) のときの \(r\) の値をそれぞれ求めよ。また、直交座標に変換すると楕円の方程式になることを確かめよ。
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楕円の媒介変数表示 \(x=4\cos\theta,\ y=2\sin\theta\)（\(0 \le \theta < 2\pi\)）上の点 \(P\) と原点 \(O\) との距離 \(OP\) が最大になるときの \(\theta\) の値をすべて求め（2つ）、そのときの \(OP\) の長さを求めよ。