放物線 \(y^2=4px\) ― 焦点と準線
放物線には「焦点」と呼ばれる特別な点と、「準線」と呼ばれる直線が1本ずつある。放物線上のどの点をとっても、焦点までの距離と準線までの距離がぴったり等しい。これが放物線の正体で、これから学ぶ楕円・双曲線もすべて焦点を使って定義される。
焦点：\((p,\ 0)\) 準線：\(x=-p\)
上の図は \(y^2=8x\)（\(4p=8\) より \(p=2\)）。焦点 \((2,0)\)、準線 \(x=-2\)。
例題1 \(y^2=-16x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
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頂点で \(x\) と \(y\) の役割を入れ替えれば、上下に開く放物線 \(x^2=4py\) も同じしくみで扱える（焦点 \((0,\ p)\)、準線 \(y=-p\)）。
例題2 \(x^2=-4y\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
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楕円 ― 焦点までの距離の和が一定
楕円は「2つの焦点までの距離の和がどこでも一定」という性質を持つ点の集まり。標準形は \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,\ b>0\)）で、長い方の軸（長軸）の半分が \(a\)、短い方（短軸）の半分が \(b\) になるように \(a,\ b\) を決める。
焦点の座標を \((\pm c,\ 0)\) とすると \(c^2=a^2-b^2\)（大きい方から小さい方を引く）。この式では \(c^2=25-9=16\) より \(c=4\)。
\(b>a\) の場合（縦長の楕円）は焦点が \(y\)軸上 \((0,\ \pm c)\) になる。長軸の長さは、\(a,\ b\) のうち大きい方を2倍した値。
例題3 \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。
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双曲線 ― 焦点までの距離の差が一定
双曲線は「2つの焦点までの距離の差（の絶対値）がどこでも一定」という性質を持つ点の集まり。標準形は \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) で、グラフは2つに分かれた枝（2枝）になり、原点から伸びる2本の直線（漸近線）に限りなく近づいていく。
漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{b}{a}\)（\(x^2\) の分母が \(a^2\)、\(y^2\) の分母が \(b^2\)）。ここでは \(\pm\dfrac{4}{3}\)。
上下に開く双曲線 \(\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\) では、焦点が \(y\)軸上 \((0,\ \pm c)\)、漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{a}{b}\) になる（\(x\)軸・\(y\)軸のどちらに開いても、正の項の分母が \(a^2\)、負の項の分母が \(b^2\) というルールは共通）。
例題4 \(\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{12}=1\) の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ。
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3つの曲線を比べる（まとめ）
放物線・楕円・双曲線は、どれも「焦点」という共通のキーワードで定義されている。違いは、距離の条件が「等しい」「和が一定」「差が一定」のどれになっているかだけ。ここを対比しておくと、式を丸暗記せずに済む。
焦点までの距離＝準線までの距離
\(y^2=4px\)
焦点 \((p,0)\)、準線 \(x=-p\)
2焦点までの距離の和が一定（\(=2a\)）
\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
\(c^2=a^2-b^2\)
2焦点までの距離の差の絶対値が一定（\(=2a\)）
\(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
\(c^2=a^2+b^2\)
直線との共有点の個数・接線の公式
2次曲線と直線の位置関係（交わる・接する・交わらない）は、直線の式を曲線の式に代入して得られる2次方程式の判別式で分類できる。さらに、曲線上の1点があらかじめ分かっている接点なら、公式を使えば接線の方程式を一瞬で求められる。
共有点の個数と判別式
直線の式を曲線の式に代入すると、\(x\)（または\(y\)）についての2次方程式が得られる（ただし2次の項が消えて1次方程式になる場合は別扱いで、共有点はちょうど1個になる）。その判別式を \(D\) とすると
\(D=0\) → 共有点1個（接する。このときの直線を接線という）
\(D<0\) → 共有点0個（交わらない）
例題1 放物線 \(y^2=4x\) と直線 \(y=x+k\) の共有点の個数を、定数 \(k\) の値によって分類せよ。
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接線の公式
2次曲線上の点 \((x_0,\ y_0)\) における接線は、次のようにもとの式の \(x^2\) を \(x_0x\) に、\(y^2\) を \(y_0y\) に、1次の項 \(x\) を \(\dfrac{x+x_0}{2}\) に、\(y\) を \(\dfrac{y+y_0}{2}\) に置き換えると求まる（楕円・双曲線の標準形には1次の項がないので \(x^2\)・\(y^2\) の置き換えだけでよい。証明は数学IIIの微分でも扱うが、ここでは公式として使えるようにしておこう）。
楕円 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点 \((x_0,\ y_0)\)：接線は \(\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1\)
双曲線 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 上の点 \((x_0,\ y_0)\)：接線は \(\dfrac{x_0x}{a^2}-\dfrac{y_0y}{b^2}=1\)
例題2 双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\) 上の点 \(\left(5,\ \dfrac{16}{3}\right)\) における接線の方程式を求めよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
\(y^2=8x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
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\(y^2=-20x\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
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\(x^2=16y\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
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\(x^2=-4y\) の焦点の座標と準線の方程式を求めよ。
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\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。
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\(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{25}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。
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\(\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。
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\(\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。
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\(\dfrac{x^2}{169}+\dfrac{y^2}{25}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。
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\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{13}=1\) の焦点の座標と長軸の長さを求めよ。
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\(\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{y^2}{225}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。
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\(\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{x^2}{144}=1\) の焦点の座標と漸近線の傾きを求めよ。
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焦点が \((3,\ 0)\)、\((-3,\ 0)\) で、長軸の長さが \(10\) である楕円について、標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の \(a,\ b\) の値を求めよ。
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焦点が \((25,\ 0)\)、\((-25,\ 0)\) で、漸近線の傾きが \(\pm\dfrac{3}{4}\) である双曲線について、標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の \(a,\ b\) の値を求めよ。
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頂点が原点、準線が \(x=3\) である放物線の焦点の座標と \(p\) の値を求めよ。
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ある双曲線の2つの焦点は \(F(10,\ 0)\)、\(F'(-10,\ 0)\) であり、漸近線の傾きは \(\pm\dfrac{3}{4}\) である。この双曲線の標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) における \(a,\ b\) の値を求めよ。
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放物線 \(y^2=4x\) 上の点 \(P\) について、焦点 \(F\) までの距離が \(5\) であるとき、\(P\) の \(x\) 座標を求めよ。
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双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\) 上の点 \(P\) について、2つの焦点 \(F,\ F'\) までの距離の差 \(|PF-PF'|\) を求めよ。
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放物線 \(y^2=8x\) と直線 \(y=x+2\) の共有点の個数を求めよ。
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楕円 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\) と直線 \(y=x+3\) の共有点の個数を求めよ。
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放物線 \(y^2=8x\) 上の点 \((2,\ 4)\) における接線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。
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楕円 \(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1\) 上の点 \((2,\ 1)\) における接線の方程式を \(x+by=c\) の形で求めよ。
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2次曲線の方程式 \(x^2+4y^2-2x+16y+1=0\) を平方完成して標準形に直し、中心の座標と \(a^2,\ b^2\) の値を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。平行移動した曲線・離心率・軌跡の導出に挑戦しよう。
放物線 \((y-2)^2=8(x-1)\) の頂点・焦点の座標と、準線の方程式を求めよ。
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楕円 \(\dfrac{(x-2)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{9}=1\) の中心と、2つの焦点の座標を求めよ。
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双曲線 \(\dfrac{(x+3)^2}{16}-\dfrac{(y-2)^2}{9}=1\) の中心・2つの焦点の座標と、漸近線の傾きを求めよ。
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曲線の「丸さ・とがり具合」は離心率 \(e=\dfrac{c}{a}\) という数値でも表せる（\(0<e<1\) なら楕円、\(e=1\) なら放物線、\(e>1\) なら双曲線になることが知られている）。次の2つの曲線の離心率を求めよ。
(1) 楕円 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\) (2) 双曲線 \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\)
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2定点 \(F(3,\ 0)\)、\(F'(-3,\ 0)\) からの距離の和が \(10\) であるような点 \(P\) の軌跡は、標準形 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) の楕円になる。この \(a^2,\ b^2\) の値を求めよ。