独立な試行・反復試行｜数A 場合の数と確率

STEP 1

独立な試行ってなに？

2つ以上の試行を行うとき、一方の結果がもう一方の結果に何の影響も与えないなら、これらの試行は独立であるという。独立な試行がどちらも起こる確率は、それぞれの確率をかけ算するだけで求められる。

独立な試行の確率（積の法則）
試行S・試行Tが互いに影響を及ぼさない（独立な）とき、Sで事象Aが起こり、かつTで事象Bが起こる確率は \[ P(A \text{ かつ } B) = P(A) \times P(B) \]

ここで気をつけたいのは、これは前ページで学んだ「排反」（同じ試行の中で2つの事象が同時には起こらないこと。\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)）とはまったく別の話だということ。独立は足し算ではなくかけ算、しかも別々の試行どうしの関係を表す言葉。「同じ試行の中の2つの事象」の話（排反）と「別々の試行どうし」の話（独立）を混同しないようにしよう。

例題1　コインを1回投げて表が出て、かつさいころを1回投げて3以上の目が出る確率を求めよ。

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コインを投げる試行とさいころを投げる試行は、互いに結果に影響しないので独立。 \(P(\text{表}) = \dfrac{1}{2}\)、\(P(\text{3以上の目}) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\) \(P = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\)

例題2　袋Aから玉を1個取り出すとき赤玉である確率が \(\dfrac{3}{5}\)、袋Bから玉を1個取り出すとき白玉である確率が \(\dfrac{2}{7}\) であるという。Aから赤玉、かつBから白玉が同時に起こる確率を求めよ（2つの袋から取り出す試行は独立とする）。

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2つの袋から玉を取り出す試行は互いに独立なので、確率はかけ算でよい。 \(P = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{35}\)

STEP 2

反復試行の公式 —なぜ \(\ {}_n\mathrm{C}_r\) が付くのか

同じ試行を独立に \(n\) 回くり返すことを反復試行という。1回の試行で事象Aが起こる確率を \(p\) とするとき、\(n\) 回中ちょうど \(r\) 回Aが起こる確率は次の公式で求める。

反復試行の確率
\[ P(X=r) = {}_n\mathrm{C}_r\, p^{r} (1-p)^{n-r} \]

この公式で \({}_n\mathrm{C}_r\) が付く理由を、コインを4回投げて表がちょうど3回出る場合で考えてみよう。「表表表裏」の順で出る確率は \(p \times p \times p \times (1-p) = p^3(1-p)\)。しかし表が3回出るパターンは「表表表裏」だけではなく、「表表裏表」「表裏表表」「裏表表表」もあり、どのパターンも確率は同じ \(p^3(1-p)\)。この「4回のうちどの3回が表になるか」の選び方が \({}_4\mathrm{C}_3\) 通りあるので、それらをすべて足し合わせた（同じ値を \({}_4\mathrm{C}_3\) 回足した）ものが答えになる。つまり \({}_n\mathrm{C}_r\) は「\(n\) 回のうちどの \(r\) 回が成功するか」の場合の数を表している。

例題1　コインを4回投げるとき、ちょうど3回表が出る確率を求めよ。

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\(n=4,\ r=3,\ p=\dfrac{1}{2}\) \(P = {}_4\mathrm{C}_3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 4 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{4}{16}\) \(P = \dfrac{1}{4}\)

例題2　さいころを5回投げるとき、ちょうど2回「1の目」が出る確率を求めよ。

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\(n=5,\ r=2,\ p=\dfrac{1}{6}\) \(P = {}_5\mathrm{C}_2 \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} = \dfrac{1250}{7776}\) \(P = \dfrac{625}{3888}\)

STEP 3

反復試行の応用 —「少なくとも1回」

「少なくとも1回は起こる」確率を求めるときは、反復試行の公式で \(r=1,2,\dots,n\) を全部計算して足すより、余事象（1回も起こらない）を使う方がずっと早い。

少なくとも1回起こる確率
\[ P(\text{少なくとも1回起こる}) = 1 - P(\text{1回も起こらない}) = 1 - (1-p)^n \]

例題1　さいころを4回投げるとき、少なくとも1回は6の目が出る確率を求めよ。

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「少なくとも1回6の目が出る」の余事象は「4回とも6の目が出ない」。 1回で6の目が出ない確率は \(\dfrac{5}{6}\) なので、4回とも出ない確率は \(\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{625}{1296}\) \(P = 1 - \dfrac{625}{1296} = \dfrac{671}{1296}\)

ただし「少なくとも2回」のように、境目が2回以上のときは余事象も一手間かかる。「少なくとも2回」の余事象は「0回または1回」なので、0回の確率と1回の確率を両方計算して足す必要がある（あるいは直接 \(r=2\) と \(r=3\dots\) を足してもよい。どちらが手間が少ないか見極めよう）。

例題2　さいころを3回投げるとき、少なくとも2回は偶数の目が出る確率を求めよ。

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偶数（2,4,6）の出る確率は \(p=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)。「少なくとも2回」＝「ちょうど2回」＋「ちょうど3回」。 \(P(2回) = {}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 3\times\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}\) \(P(3回) = {}_3\mathrm{C}_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\) \(P = \dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\)

STEP 4

ちょうどk回目に起こる型（最後の1回を分けて考える）

「\(k\) 回目にちょうど \(r\) 回目の成功が起こる」というタイプの問題は、最後の \(k\) 回目を必ず「成功」に固定し、残りの \(k-1\) 回の中で \(r-1\) 回だけ成功する場合を考える、という2段階に分けるのがコツ。

k回目にちょうどr回目の成功が起こる確率
手順1で残り \(k-1\) 回のうち \(r-1\) 回成功するパターンを \({}_{k-1}\mathrm{C}_{r-1}\) 通り数え、手順2で最後の \(k\) 回目の成功（確率 \(p\)）をかける。 \[ P = {}_{k-1}\mathrm{C}_{r-1}\, p^{r-1}(1-p)^{k-r} \times p = {}_{k-1}\mathrm{C}_{r-1}\, p^{r} (1-p)^{k-r} \]

例題1　さいころを投げて1の目が出たら「成功」とする。5回目にちょうど3回目の成功が起こる確率を求めよ。

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「5回目に3回目の成功」＝「最初の4回のうち2回だけ成功し、5回目が成功する」。 \(k=5,\ r=3,\ p=\dfrac{1}{6}\) より、最初の4回で2回成功する場合の数は \({}_4\mathrm{C}_2\) 通り。 \(P = {}_4\mathrm{C}_2 \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 \times \dfrac{1}{6} = 6\times\dfrac{1}{36}\times\dfrac{25}{36}\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{150}{7776}\) \(P = \dfrac{25}{1296}\)

例題2　コインを投げて表が出たら「成功」とする。4回目にちょうど2回目の表が出る確率を求めよ。

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「4回目に2回目の表」＝「最初の3回のうち1回だけ表が出て、4回目が表になる」。 \(k=4,\ r=2,\ p=\dfrac{1}{2}\) より、最初の3回で1回表が出る場合の数は \({}_3\mathrm{C}_1\) 通り。 \(P = {}_3\mathrm{C}_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)^1\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \times \dfrac{1}{2} = 3\times\dfrac{1}{8}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{16}\) \(P = \dfrac{3}{16}\)

手順1　最後の \(k\) 回目を「成功」に固定する（確率 \(p\)）

↓

手順2　残り \(k-1\) 回の中で \(r-1\) 回だけ成功するパターンを数える → \({}_{k-1}\mathrm{C}_{r-1}\, p^{r-1}(1-p)^{k-r}\)

↓

手順3　手順1と手順2の確率をかけ合わせる → \({}_{k-1}\mathrm{C}_{r-1}\, p^{r}(1-p)^{k-r}\)

注意　「\(n\) 回中ちょうど \(r\) 回」（STEP2）と「\(k\) 回目にちょうど \(r\) 回目」（このSTEP）は似ているが別物。前者は最後の回が成功でも失敗でもよいのに対し、後者は最後の回が必ず成功であることが確定している点が違う。

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/8」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

独立な試行の基本

コインを2回投げるとき、2回とも表が出る確率を求めよ。

確率

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1回ごとに表が出る確率は \(\dfrac{1}{2}\)。2回の独立な試行なのでかけ算する。 \(P = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)

独立な試行（異なる種類の試行）

さいころを1回、コインを1回投げるとき、さいころは偶数の目が出て、かつコインは裏が出る確率を求めよ。

確率

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さいころで偶数が出る確率は \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)、コインで裏が出る確率は \(\dfrac{1}{2}\)。さいころとコインは互いに独立。 \(P = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)

反復試行の公式

コインを3回投げるとき、ちょうど2回表が出る確率を求めよ。

確率

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\(n=3,\ r=2,\ p=\dfrac{1}{2}\) \(P = {}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^1 = 3\times\dfrac{1}{8}\) \(P = \dfrac{3}{8}\)

反復試行の公式（p=1/6）

さいころを4回投げるとき、ちょうど1回だけ「1の目」が出る確率を求めよ。

確率

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\(n=4,\ r=1,\ p=\dfrac{1}{6}\) \(P = {}_4\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{6}\right)^1\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = 4\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{125}{216} = \dfrac{500}{1296}\) \(P = \dfrac{125}{324}\)

場合分け（表4連続 or 裏4連続）

コインを4回投げるとき、4回とも同じ面（表4回続けて、または裏4回続けて）が出る確率を求めよ。

確率

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「表4回」と「裏4回」は同時には起こらない（排反）ので、それぞれの確率を足す。 \(P(表4回) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}\)、\(P(裏4回) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{16}\) \(P = \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16} = \dfrac{2}{16} = \dfrac{1}{8}\)

少なくとも1回（余事象）

さいころを2回投げるとき、少なくとも1回は偶数の目が出る確率を求めよ。

確率

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余事象は「2回とも偶数以外（奇数）が出る」。1回で偶数以外が出る確率は \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)。 \(P(2回とも奇数) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\) \(P = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

反復試行の公式（n=5）

コインを5回投げるとき、ちょうど3回表が出る確率を求めよ。

確率

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\(n=5,\ r=3,\ p=\dfrac{1}{2}\) \(P = {}_5\mathrm{C}_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 10\times\dfrac{1}{32}\) \(P = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}\)

標準（8〜14）　※余事象を使うか公式1発で行くか、自分で判断しよう

さいころを3回投げるとき、ちょうど2回「6の目」が出る確率を求めよ。

確率

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\(n=3,\ r=2,\ p=\dfrac{1}{6}\) \(P = {}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{6}\right)^2\left(\dfrac{5}{6}\right)^1 = 3\times\dfrac{1}{36}\times\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{216}\) \(P = \dfrac{5}{72}\)

さいころを6回投げるとき、「1の目」がちょうど1回出る確率を求めよ。

確率

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\(n=6,\ r=1,\ p=\dfrac{1}{6}\) \(P = {}_6\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{6}\right)^1\left(\dfrac{5}{6}\right)^5 = 6\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3125}{7776}\)（\({}_6\mathrm{C}_1\)と\(\dfrac{1}{6}\)が打ち消し合う） \(P = \dfrac{3125}{7776}\)

コインを6回投げるとき、ちょうど4回表が出る確率を求めよ。

確率

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\(n=6,\ r=4,\ p=\dfrac{1}{2}\) \(P = {}_6\mathrm{C}_4\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = 15\times\dfrac{1}{64}\) \(P = \dfrac{15}{64}\)

さいころを3回投げるとき、少なくとも1回は「1の目」が出る確率を求めよ。

確率

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余事象は「3回とも1の目が出ない」。 \(P(3回とも出ない) = \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{125}{216}\) \(P = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216}\)

コインを5回投げるとき、少なくとも2回は表が出る確率を求めよ。

確率

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余事象は「表が0回または1回」。 \(P(0回) = {}_5\mathrm{C}_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32}\)、\(P(1回) = {}_5\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{5}{32}\) \(P(0回または1回) = \dfrac{1}{32}+\dfrac{5}{32} = \dfrac{6}{32} = \dfrac{3}{16}\) \(P = 1 - \dfrac{3}{16} = \dfrac{13}{16}\)

あるバスケットボール選手のシュート成功率は \(\dfrac{3}{4}\) である。この選手が3回シュートを打つとき、ちょうど2回成功する確率を求めよ（各回は独立とする）。

確率

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\(n=3,\ r=2,\ p=\dfrac{3}{4}\) \(P = {}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\left(\dfrac{1}{4}\right)^1 = 3\times\dfrac{9}{16}\times\dfrac{1}{4}\) \(P = \dfrac{27}{64}\)

成功率 \(\dfrac{2}{3}\) の選手が4回シュートを打つとき、少なくとも3回成功する確率を求めよ。

確率

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「少なくとも3回」＝「ちょうど3回」＋「ちょうど4回」。 \(P(3回) = {}_4\mathrm{C}_3\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = 4\times\dfrac{8}{27}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{32}{81}\) \(P(4回) = {}_4\mathrm{C}_4\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 = \dfrac{16}{81}\) \(P = \dfrac{32}{81}+\dfrac{16}{81} = \dfrac{48}{81} = \dfrac{16}{27}\)

挑戦（15〜18）

ちょうどk回目に成功が起こる型

コインを投げて表が出たら「成功」とする。5回目にちょうど3回目の表が出る確率を求めよ。

確率

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「5回目に3回目の表」＝「最初の4回のうち2回だけ表が出て、5回目が表になる」。 \(k=5,\ r=3,\ p=\dfrac{1}{2}\) より、最初の4回で2回表が出る場合の数は \({}_4\mathrm{C}_2\) 通り。 \(P = {}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times\dfrac{1}{2} = 6\times\dfrac{1}{32}\) \(P = \dfrac{6}{32} = \dfrac{3}{16}\)

反復試行の公式（分数の確率）

あるフリースロー選手の成功率は \(\dfrac{3}{5}\) である。3回投げるとき、ちょうど2回成功する確率を求めよ。

確率

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\(n=3,\ r=2,\ p=\dfrac{3}{5}\) \(P = {}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\left(\dfrac{2}{5}\right)^1 = 3\times\dfrac{9}{25}\times\dfrac{2}{5} = \dfrac{54}{125}\) \(P = \dfrac{54}{125}\)

ちょうどk回目に成功が起こる型（p=1/6）

さいころを投げて「6の目」が出たら「成功」とする。5回目にちょうど2回目の成功が起こる確率を求めよ。

確率

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「5回目に2回目の成功」＝「最初の4回のうち1回だけ成功し、5回目が成功する」。 \(k=5,\ r=2,\ p=\dfrac{1}{6}\) より、最初の4回で1回成功する場合の数は \({}_4\mathrm{C}_1\) 通り。 \(P = {}_4\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{6}\right)^1\left(\dfrac{5}{6}\right)^3\times\dfrac{1}{6} = 4\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{125}{216}\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{500}{7776}\) \(P = \dfrac{125}{1944}\)

ちょうどk回目に成功が起こる型（最終問題）

さいころを投げて「6の目」が出たら「成功」とする。6回目にちょうど2回目の成功が起こる確率を求めよ。

確率

解説を見る

「6回目に2回目の成功」＝「最初の5回のうち1回だけ成功し、6回目が成功する」。 \(k=6,\ r=2,\ p=\dfrac{1}{6}\) より、最初の5回で1回成功する場合の数は \({}_5\mathrm{C}_1\) 通り。 \(P = {}_5\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{6}\right)^1\left(\dfrac{5}{6}\right)^4\times\dfrac{1}{6} = 5\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{625}{1296}\times\dfrac{1}{6} = \dfrac{3125}{46656}\) \(P = \dfrac{3125}{46656}\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。3種類の結果がある反復・数直線上の点の移動・勝負の行方など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

3種類の結果がある反復（組合せの考え方で数える）

さいころを4回投げるとき、「1の目」がちょうど1回、「2の目」がちょうど1回、それ以外の目がちょうど2回出る確率を求めよ。

確率

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結果が3種類（1の目・2の目・それ以外）あるときも、組合せの考え方で「どの回が何になるか」を段階的に選べばよい。手順1　4回のうち、どの1回が「1の目」になるかを選ぶ → \({}_4\mathrm{C}_1 = 4\) 通り手順2　残り3回のうち、どの1回が「2の目」になるかを選ぶ → \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\) 通り手順3　残った2回は自動的に「それ以外」になるこれで場合の数は \(4\times3=12\) 通り。そのどれもが確率 \(\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}\times\dfrac{4}{6}\times\dfrac{4}{6} = \left(\dfrac{1}{6}\right)\times\left(\dfrac{1}{6}\right)\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{36}\times\dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{324} = \dfrac{1}{81}\) で同じなので、まとめて \(P = 12\times\dfrac{1}{81} = \dfrac{12}{81} = \dfrac{4}{27}\)

応2

点の移動（数直線）

数直線上の原点0に点Pがある。コインを1回投げるごとに、表が出れば+1、裏が出れば−1だけPを動かす。コインを4回投げるとき、Pが最初の位置（原点）に戻る確率を求めよ。

確率

解説を見る

Pが原点に戻るには、+1（表）の回数と−1（裏）の回数が同じでなければならない。4回のうち表が2回・裏が2回のときだけ、位置は \(2\times(+1)+2\times(-1)=0\) になる。これは「4回中ちょうど2回表が出る」反復試行の確率と同じ。 \(P = {}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 6\times\dfrac{1}{16}\) \(P = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\)

応3

先に3勝する確率（最後の1回を分けて考える）

AとBが対戦を繰り返すゲームがあり、1回の対戦でAが勝つ確率は \(\dfrac{3}{5}\)、Bが勝つ確率は \(\dfrac{2}{5}\) である（引き分けはない）。先に3勝した方を優勝とするとき、ちょうど4試合目でAが優勝を決める確率を求めよ。

確率

解説を見る

「4試合目でAが優勝を決める」＝「最初の3試合でAがちょうど2勝し、4試合目もAが勝つ」（4試合目より前に3勝してしまうと、そこで勝負が終わってしまうため）。最初の3試合でAが2勝する場合の数は \({}_3\mathrm{C}_2 = 3\) 通り。 \(P = {}_3\mathrm{C}_2\left(\dfrac{3}{5}\right)^2\left(\dfrac{2}{5}\right)^1\times\dfrac{3}{5} = 3\times\dfrac{9}{25}\times\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{162}{625}\) \(P = \dfrac{162}{625}\)

応4

3種類の結果がある反復（じゃんけん）

1人でじゃんけんの手をランダムに出す機械を相手に3回対戦する。1回ごとに「勝ち」「あいこ」「負け」がそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で起こるとき、3回のうちちょうど1回勝ち・ちょうど1回あいこ・ちょうど1回負けとなる確率を求めよ。

確率

解説を見る

応1と同じ考え方で、段階的に選んでいく。手順1　3回のうち、どの1回が「勝ち」かを選ぶ → \({}_3\mathrm{C}_1 = 3\) 通り手順2　残り2回のうち、どちらが「あいこ」かを選ぶ → \({}_2\mathrm{C}_1 = 2\) 通り手順3　残った1回は自動的に「負け」になる場合の数は \(3\times2=6\) 通り。どのパターンも確率は \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\) で同じなので、 \(P = 6\times\dfrac{1}{27} = \dfrac{6}{27} = \dfrac{2}{9}\)

応5

点の移動（数直線・応用）

数直線上の原点0に点Pがある。コインを1回投げるごとに、表が出れば+1、裏が出れば−1だけPを動かす。コインを5回投げるとき、5回終了時点でPの位置が \(+1\) である確率を求めよ。

確率

解説を見る

表がa回、裏が5−a回出たとすると、位置は \(a\times(+1)+(5-a)\times(-1)=2a-5\)。これが\(+1\)になるのは \(2a-5=1\)、つまり \(a=3\) のとき。つまり「5回中ちょうど3回表が出る」確率を求めればよい。 \(P = {}_5\mathrm{C}_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 10\times\dfrac{1}{32}\) \(P = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}\)