確率の基本｜数A 場合の数と確率

STEP 1

確率の定義

起こりうる場合が全部で \(n(U)\) 通りあり、そのうち事柄Aが起こる場合が \(n(A)\) 通りあるとき、Aの起こる確率は次の式で求める。

\[ P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)} \]

ここで \(U\) は「起こりうるすべての場合」を集めたもので全事象という。この式が使えるのは、\(U\) に含まれるどの一つの場合も同じ程度に起こりやすいとき、つまり同様に確からしいときに限られる。

注意　「同様に確からしい」は当たり前ではない。たとえば重心が偏ったいびつなサイコロは、1の目と6の目が同じ確率で出るとは限らない。この単元のサイコロ・玉・カード・くじは、特に断りがなければすべて「同様に確からしい」ものとして扱う。

具体例として、さいころ2個を同時に投げる場合を考えよう。1個目・2個目それぞれ6通りなので、全事象は \(6 \times 6 = 36\) 通り。この36通りはすべて同様に確からしい。次の表は、1個目の目（縦）と2個目の目（横）から、目の和を一覧にしたもの。

1つ目\2つ目	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

例題1　さいころ2個を同時に投げるとき、目の和が9になる確率を求めよ。

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表（または柱状図）より、目の和が9になるのは \((3,6),\ (4,5),\ (5,4),\ (6,3)\) の4通り。全事象は \(36\) 通りだから \(P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\)

STEP 2

順列・組合せを使う確率

玉・くじ・カードなど、場合の数が多くて樹形図や表では数えきれないときは、前ページまでの順列 \(nP_r\)・組合せ \(nC_r\) を使って \(n(U)\) と \(n(A)\) を求める。求め方は「確率」だからといって特別なことはなく、いつも通り場合の数を数えて割るだけ。

例題2　赤玉3個、白玉2個が入った袋から同時に2個を取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

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玉は合計5個。この中から2個を選ぶ組合せは順序を区別しないので \(nC_r\) を使う。全事象　\(n(U) = {}_5C_2 = \dfrac{5\times4}{2\times1} = 10\) 2個とも赤玉になる場合　\(n(A) = {}_3C_2 = 3\) \(P(A) = \dfrac{3}{10}\)

例題3　男子2人、女子5人の合計7人から2人を選ぶとき、男女が1人ずつ選ばれる確率を求めよ。

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全事象　\(n(U) = {}_7C_2 = \dfrac{7\times6}{2\times1} = 21\) 男女1人ずつ選ぶ場合の数は、男子の選び方と女子の選び方をかけ合わせる（積の法則）。 \(n(A) = {}_2C_1 \times {}_5C_1 = 2 \times 5 = 10\) \(P(A) = \dfrac{10}{21}\)

コツ　「同時に取り出す」＝組合せ（\(nC_r\)、順序を区別しない）、「1列に並べる」「1本ずつ順番に引く」＝順列（\(nP_r\)、順序を区別する）。ただし多くの場合、同じ確率の問題は組合せ・順列のどちらで数えても同じ答えになる（分母と分子で数え方をそろえればよい）。

STEP 3

余事象を使う確率

「少なくとも1つは○○」という事象は、直接数えようとすると場合分けが多くて大変なことが多い。こういうときは、Aが起こらない場合（余事象）を考えて、全体の1から引くと簡単に求まる。

\[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) \]

余事象が有効な合図　問題文に「少なくとも1つ」「少なくとも1回」「〜でない」が出てきたら、まず余事象（＝「1つも〜でない」「全部〜でない」）を考えられないか疑ってみよう。

例題4　赤玉5個、白玉2個が入った袋から同時に3個を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である確率を求めよ。

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「少なくとも1個は白玉」の余事象は「3個とも赤玉（白玉が1個もない）」。全事象　\(n(U) = {}_7C_3 = 35\) 余事象（3個とも赤玉）　\(n(\overline{A}) = {}_5C_3 = 10\)、よって \(P(\overline{A}) = \dfrac{10}{35} = \dfrac{2}{7}\) \(P(A) = 1 - \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}\)

STEP 4

和事象と排反

2つの事象A、Bの少なくとも一方が起こる事象を和事象 \(A \cup B\) という。一般には次の式（和事象の確率の公式）で求める。

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

もしAとBが同時には起こらないなら、\(A \cap B\) は空（\(n(A\cap B)=0\)）なので、公式は単純な足し算になる。この関係を排反という。

\[ A,\ B\text{が排反のとき}\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

例題5　1から20までの整数から1つ選ぶとき、2の倍数または3の倍数である確率を求めよ。

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\(A\)：2の倍数、\(B\)：3の倍数とする。2の倍数と3の倍数は同時に成り立つ数（6の倍数）があるので、AとBは排反ではない。和事象の公式を使う。 \(n(A) = 10\)（2,4,…,20）、\(n(B) = 6\)（3,6,…,18）、\(n(A\cap B) = 3\)（6の倍数：6,12,18） \(n(A\cup B) = 10 + 6 - 3 = 13\) \(P(A\cup B) = \dfrac{13}{20}\)

例題6　赤玉3個、白玉2個、青玉4個の合計9個が入った袋から1個取り出すとき、赤玉または白玉である確率を求めよ。

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「赤玉が出る」ことと「白玉が出る」ことは同時には起こらない（1個しか取り出さないので、赤であり同時に白ということはない）→ 排反。 \(P(\text{赤}) = \dfrac{3}{9}\)、\(P(\text{白}) = \dfrac{2}{9}\) 排反なので単純に足す。 \(P(\text{赤または白}) = \dfrac{3}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{9}\)

練習問題（全20問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/6」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）

同様に確からしい・基本

さいころを1個投げるとき、3の倍数の目が出る確率を求めよ。

確率

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3の倍数の目は \(3,\ 6\) の2通り。全事象は6通り。 \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)

さいころ2個・和

さいころ2個を同時に投げるとき、目の和が7になる確率を求めよ。

確率

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目の和が7になるのは \((1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)\) の6通り。全事象は36通り。 \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)

さいころ2個・差

さいころ2個を同時に投げるとき、出た目の差の絶対値が2になる確率を求めよ。

確率

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差の絶対値が2になるのは \((1,3)(3,1)(2,4)(4,2)(3,5)(5,3)(4,6)(6,4)\) の8通り。全事象は36通り。 \(P = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\)

玉の取り出し

赤玉4個、白玉1個が入った袋から1個取り出すとき、白玉である確率を求めよ。

確率

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玉は合計5個、白玉は1個。 \(P = \dfrac{1}{5}\)

カードと素数

1から10までの数字が1つずつ書かれた10枚のカードから1枚引くとき、素数が書かれている確率を求めよ。

確率

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1から10の素数は \(2,\ 3,\ 5,\ 7\) の4個。 \(P = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)

トランプ

52枚のトランプから1枚引くとき、ハートである確率を求めよ。

確率

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トランプは4種類（スペード・ハート・ダイヤ・クラブ）が各13枚ずつ。ハートは13枚。 \(P = \dfrac{13}{52} = \dfrac{1}{4}\)

くじ引き

当たりくじ3本、はずれくじ7本の合計10本の中から1本引くとき、当たる確率を求めよ。

確率

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くじは合計10本、当たりは3本。 \(P = \dfrac{3}{10}\)

硬貨2枚

硬貨を2枚同時に投げるとき、表がちょうど1枚だけ出る確率を求めよ。

確率

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起こりうる場合は（表,表）（表,裏）（裏,表）（裏,裏）の4通り。表がちょうど1枚は（表,裏）（裏,表）の2通り。 \(P = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)

標準（9〜16）

赤玉4個、白玉3個が入った袋から同時に2個取り出すとき、2個とも赤玉である確率を求めよ。

確率

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玉は合計7個。全事象 \(n(U) = {}_7C_2 = 21\)、2個とも赤玉 \(n(A) = {}_4C_2 = 6\)。 \(P = \dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}\)

赤玉4個、白玉3個が入った袋から同時に2個取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めよ。

確率

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全事象 \(n(U) = {}_7C_2 = 21\)。赤1個・白1個の選び方は \(n(A) = {}_4C_1 \times {}_3C_1 = 12\)。 \(P = \dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}\)

男子4人、女子3人の合計7人から3人を選ぶとき、女子がちょうど1人選ばれる確率を求めよ。

確率

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全事象 \(n(U) = {}_7C_3 = 35\)。女子1人・男子2人の選び方は \(n(A) = {}_3C_1 \times {}_4C_2 = 3 \times 6 = 18\)。 \(P = \dfrac{18}{35}\)

1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから同時に2枚引くとき、2枚とも偶数である確率を求めよ。

確率

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1〜9の偶数は \(2,4,6,8\) の4枚。全事象 \(n(U) = {}_9C_2 = 36\)、2枚とも偶数 \(n(A) = {}_4C_2 = 6\)。 \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\)

当たりくじ2本、はずれくじ5本の合計7本から同時に2本引くとき、2本とも当たる確率を求めよ。

確率

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全事象 \(n(U) = {}_7C_2 = 21\)。2本とも当たり \(n(A) = {}_2C_2 = 1\)。 \(P = \dfrac{1}{21}\)

余事象を利用

赤玉5個、白玉4個の合計9個が入った袋から同時に3個取り出すとき、少なくとも1個は白玉である確率を求めよ。

確率

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「少なくとも1個は白玉」の余事象は「3個とも赤玉」。全事象 \(n(U) = {}_9C_3 = 84\)、余事象 \(n(\overline{A}) = {}_5C_3 = 10\)、\(P(\overline{A}) = \dfrac{10}{84} = \dfrac{5}{42}\) \(P(A) = 1 - \dfrac{5}{42} = \dfrac{37}{42}\)

余事象を利用

さいころ2個を同時に投げるとき、少なくとも一方が偶数の目である確率を求めよ。

確率

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「少なくとも一方が偶数」の余事象は「両方とも奇数」。奇数の目は \(1,3,5\) の3通りずつなので、余事象は \(3 \times 3 = 9\) 通り。全事象は36通り。 \(P(\overline{A}) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\) \(P(A) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)

余事象を利用

当たりくじ4本、はずれくじ6本の合計10本から同時に3本引くとき、少なくとも1本は当たる確率を求めよ。

確率

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「少なくとも1本当たる」の余事象は「3本ともはずれ」。全事象 \(n(U) = {}_{10}C_3 = 120\)、余事象 \(n(\overline{A}) = {}_6C_3 = 20\)、\(P(\overline{A}) = \dfrac{20}{120} = \dfrac{1}{6}\) \(P(A) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\)

挑戦（17〜20）

和事象の公式

1から20までの整数から1つ選ぶとき、3の倍数または5の倍数である確率を求めよ。

確率

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\(A\)：3の倍数、\(B\)：5の倍数とする。 \(n(A) = 6\)（3,6,…,18）、\(n(B) = 4\)（5,10,15,20）、\(n(A\cap B) = 1\)（15の倍数は15のみ） \(n(A\cup B) = 6 + 4 - 1 = 9\) \(P(A\cup B) = \dfrac{9}{20}\)

絵札とハートの重なり

52枚のトランプから1枚引くとき、絵札（J,Q,K）またはハートである確率を求めよ。

確率

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絵札はJ,Q,Kが4種類ずつあるので \(n(A) = 3 \times 4 = 12\)。ハートは \(n(B) = 13\)。絵札とハートの両方（ハートのJ,Q,K）は \(n(A\cap B) = 3\)。 \(n(A\cup B) = 12 + 13 - 3 = 22\) \(P(A\cup B) = \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26}\)

隣り合う配置

男子4人、女子2人の合計6人が1列に並ぶとき、女子2人が隣り合う確率を求めよ。

確率

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全事象（並び方の総数）\(n(U) = 6! = 720\)。女子2人が隣り合う場合は、女子2人を1つのかたまりとみて、男子4人＋かたまり1つの5つを並べ（\(5!\) 通り）、かたまりの中で女子2人の並び方が \(2!\) 通り。 \(n(A) = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240\) \(P(A) = \dfrac{240}{720} = \dfrac{1}{3}\)

3人でじゃんけん

A,B,Cの3人が1回じゃんけんをするとき、あいこ（引き分け）になる確率を求めよ。

確率

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1人がグー・チョキ・パーの3通りを出すので、全事象は \(n(U) = 3^3 = 27\)。あいこになるのは「3人とも同じ手」または「3人ともバラバラの手」のとき。 3人とも同じ手：\(3\) 通り（全員グー／全員チョキ／全員パー） 3人ともバラバラ：3種類の手を3人に割り当てる並べ方なので \(3! = 6\) 通り合計 \(n(A) = 3 + 6 = 9\) \(P(A) = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。じゃんけん・完全順列・包除原理など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

3人でじゃんけん・ちょうど2人勝ち

A,B,Cの3人が1回じゃんけんをするとき、ちょうど2人が勝つ（1人だけが負ける）確率を求めよ。

確率

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全事象は \(n(U) = 3^3 = 27\)（練習問題20と同じ）。 3人の手の出方は次の3パターンに分かれる。 (i) 3人とも同じ手（あいこ）：3通り (ii) 3人ともバラバラの手（あいこ）：\(3!=6\) 通り (iii) 2人が同じ手・1人だけ違う手（勝敗がつく）：残り \(27-3-6=18\) 通り (iii) の18通りをさらに分析する。「2人組の手」を3通り、その2人と違う「1人の手」を2通り選び、さらに「誰が1人組になるか」を3通り選ぶので、\(3(\text{誰が1人})\times3(\text{2人組の手})\times2(\text{1人の手})=18\) 通りと数えられる。このうち、2人組の手と1人の手のじゃんけんの勝敗は、手の組み合わせ（グーとチョキ／チョキとパー／パーとグー）ごとに「2人組が勝つ」か「1人が勝つ」かのどちらか一方に決まり、それぞれのケースが同数ずつ現れる（グーとチョキの組ならグー側が勝ち、パーとグーの組ならパー側が勝つ、というように2人組・1人組のどちらが勝つかは半々に分かれる）。したがって18通りは「2人が勝つ（1人が負ける）」9通りと「1人が勝つ（2人が負ける）」9通りに等分される。ちょうど2人が勝つ確率 \(P = \dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}\)

応2

完全順列（自分の席に戻らない）

4人A,B,C,Dが、飲み会の前と同じ席にはもう一度座らないように、4つの席にランダムに座り直す。このとき、4人全員が自分の元の席とは違う席に座る確率を求めよ。（元の席をそれぞれA,B,C,Dの席とする）

確率

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全事象（席の座り方の総数）は \(n(U) = 4! = 24\)。「全員が自分の元の席以外に座る」並び方（完全順列）を、元の順序をA,B,C,Dとして実際に数え上げる。1文字目から順にA,B,C,Dの席に誰が座るかを並べて書き、すべての24通りのうち、i番目の文字が元の文字（1番目がA、2番目がB、3番目がC、4番目がD）と一致しないものだけを拾うと、次の9通りが見つかる。 BADC　BCDA　BDAC CADB　CDAB　CDBA DABC　DCAB　DCBA （例えばBADCは、A席にB、B席にA、C席にD、D席にCが座る配置で、全員が元の席と違う席になっている。一方ABDCのように1文字目がAのままの並びは、Aが元の席に戻ってしまうので条件を満たさず除外する。）数え上げると完全順列は \(n(A) = 9\) 通り。 \(P(A) = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}\)

応3

余事象＋和事象の公式

1から100までの整数から1つ選ぶとき、3の倍数でも5の倍数でもない確率を求めよ。

確率

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「3の倍数でも5の倍数でもない」の余事象は「3の倍数または5の倍数」。まずこちらを和事象の公式で求める。 \(A\)：3の倍数、\(B\)：5の倍数とすると \(n(A) = 33\)（\(\lfloor 100/3\rfloor=33\)）、\(n(B) = 20\)（\(100/5=20\)）、\(n(A\cap B) = 6\)（15の倍数、\(\lfloor100/15\rfloor=6\)） \(n(A\cup B) = 33+20-6 = 47\)、\(P(A\cup B) = \dfrac{47}{100}\) 求めたいのはこの余事象なので \(P = 1 - \dfrac{47}{100} = \dfrac{53}{100}\)

応4

組合せの数え上げ

1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから同時に2枚を取り出すとき、2枚の数字の和が5の倍数になる確率を求めよ。

確率

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全事象 \(n(U) = {}_9C_2 = 36\)。 2枚の数字の和は最小 \(1+2=3\)、最大 \(8+9=17\) なので、5の倍数になりうるのは和が5、10、15のとき。それぞれ全部書き出す。和が5：\((1,4)(2,3)\) の2通り和が10：\((1,9)(2,8)(3,7)(4,6)\) の4通り（\((5,5)\)は同じカードを2枚使うことになるので不可）和が15：\((6,9)(7,8)\) の2通り合計 \(n(A) = 2+4+2 = 8\) \(P(A) = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}\)

応5

反復試行の余事象

さいころを3回投げるとき、少なくとも1回は6の目が出る確率を求めよ。

確率

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「少なくとも1回は6の目が出る」の余事象は「3回とも6の目が出ない」。 1回の試行で6の目が出ない確率は \(\dfrac{5}{6}\)。3回とも6以外が出る確率は \(P(\overline{A}) = \dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{5}{6} = \dfrac{125}{216}\) \(P(A) = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216}\)