組合せ｜数A 場合の数と確率

STEP 1

組合せってなに？（順列との違い）

前のページの「順列」は並べる場合の数だった。だから同じ人を選んでも並び順が違えば別物として数えていた。今回の「組合せ」は選ぶだけ。並び順は考えない。ここが最大の違いだ。

異なる \(n\) 個から \(r\) 個を順序を考えずに選ぶ場合の数を \({}_n\mathrm{C}_r\) と書く。 \[{}_n\mathrm{C}_r = \dfrac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\] 「\({}_n\mathrm{P}_r\) 通りの並べ方」を、あとから \(r!\) 通りずつ「同じ選び方」としてまとめ直したものが \({}_n\mathrm{C}_r\) というイメージ。

例題1　5人の中から2人を選んでペアを作る方法は何通りか。

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まず順列で考えると、5人から2人を選んで並べる方法は \({}_5\mathrm{P}_2 = 5 \times 4 = 20\) 通り。しかしペアには順序がないので、例えば「A・Bを選ぶ」と「B・Aを選ぶ」は同じペアとして重複して数えている。2人の並べ方は \(2! = 2\) 通りあるので、20通りを2で割ればよい。 \[{}_5\mathrm{C}_2 = \dfrac{{}_5\mathrm{P}_2}{2!} = \dfrac{20}{2} = 10\] ペアの選び方は \(10\) 通り

例題2　8人の中から3人を選んで代表チームを作る方法は何通りか。

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3人には順序がないので、公式にそのまま当てはめる。 \[{}_8\mathrm{C}_3 = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{336}{6} = 56\] 分子は \({}_8\mathrm{P}_3\)（8から3個かけ算）、分母は3人の並べ方 \(3!\) で割って重複を消している。代表チームの選び方は \(56\) 通り

STEP 2

\({}_n\mathrm{C}_r\) の性質

計算をラクにするための性質が2つある。特に1つ目は入試でもよく使う超重要な変形だ。

性質1　\({}_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}\)
「\(n\)個から\(r\)個を選ぶ」ことと「\(n\)個から選ばない \((n-r)\)個を決める」ことは同じ場合の数。だから \(r\) が \(n\) の半分より大きいときは、\(n-r\) の方で計算した方が速い。

性質2　\({}_n\mathrm{C}_r + {}_n\mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}\)
これは「パスカルの三角形」の仕組みそのもの。三角形の各段の数は、ひとつ上の段の左右2つの数の和になっている。

例題3　\({}_{10}\mathrm{C}_8\) の値を求めよ。

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そのまま計算すると分子が8個の掛け算になって大変。性質1を使い、選ばない \(10-8=2\) 個の方で計算する。 \[{}_{10}\mathrm{C}_8 = {}_{10}\mathrm{C}_2 = \dfrac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\] \({}_{10}\mathrm{C}_8 = 45\)

例題4　\({}_6\mathrm{C}_2 + {}_6\mathrm{C}_3\) の値を、性質2を使って求めよ。

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性質2「\({}_n\mathrm{C}_r + {}_n\mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}\)」に \(n=6,\ r=2\) を当てはめる。 \[{}_6\mathrm{C}_2 + {}_6\mathrm{C}_3 = {}_7\mathrm{C}_3\] 実際に計算して確かめると \({}_6\mathrm{C}_2=15,\ {}_6\mathrm{C}_3=20\) で和は \(35\)。一方 \({}_7\mathrm{C}_3 = \dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35\) で一致する。 \({}_6\mathrm{C}_2 + {}_6\mathrm{C}_3 = {}_7\mathrm{C}_3 = 35\)

STEP 3

組分け問題（区別できる組・できない組）

組合せの応用でいちばんミスが出やすいのが「グループ分け」。ポイントはひとつ、グループに区別があるかないかだけを見ればいい。

グループに区別がある（1組・2組、A班・B班など名前や役割で区別できる）
→ そのまま順番に \({}_n\mathrm{C}_{r_1} \times {}_{n-r_1}\mathrm{C}_{r_2} \times \cdots\) をかけるだけ。

グループに区別がない（ただの人数だけの塊。名前で呼び分けられない）
→ 区別があるとして計算したあと、同じ人数のグループが \(k\) 個あれば、その部分だけ \(k!\) で割って重複を消す。
注意：グループの人数がそもそも違う場合は、区別がなくても割る必要はない（人数の違いで自然に区別できてしまうから）。

例題5　6人を3人ずつ、1号室・2号室という区別のある2つの部屋に分ける方法は何通りか。

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1号室に入る3人を選べば、残り3人が自動的に2号室になる。 \[{}_6\mathrm{C}_3 \times {}_3\mathrm{C}_3 = 20 \times 1 = 20\] 部屋に区別があるとき \(20\) 通り

例題6　6人を3人ずつ2つのグループに分ける。グループに区別がないとき、何通りか。

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区別があるとして計算した例題5の \(20\) 通りには、実は同じ分け方が2回ずつ数えられている（例えば「Aグループ={甲乙丙}, Bグループ={丁戊己}」と「Aグループ={丁戊己}, Bグループ={甲乙丙}」はグループに区別がなければ同じ分け方）。どちらも人数が3人で同じなので、2つのグループの並べ方 \(2!\) 通り分だけ重複している。 \[\dfrac{{}_6\mathrm{C}_3 \times {}_3\mathrm{C}_3}{2!} = \dfrac{20}{2} = 10\] グループに区別がないとき \(10\) 通り

STEP 4

図形への応用（対角線・最短経路）

組合せは図形の問題にも姿を変えて登場する。ここでは2つの定番パターンを見ておこう。

(a) 多角形の対角線の本数

\(n\) 角形の頂点から2つを選んで結べば、それは「辺」か「対角線」のどちらか。まず頂点2つを選ぶ \({}_n\mathrm{C}_2\) 通りを求め、そこから辺の本数 \(n\) 本を引けば対角線の本数になる。

例題7　六角形の対角線は何本あるか。

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頂点は6個。2点を選んで結ぶ方法は \({}_6\mathrm{C}_2 = 15\) 通り。このうち辺は6本（隣り合う頂点同士）なので、対角線は \[15 - 6 = 9\] 六角形の対角線は \(9\) 本

(b) 格子点の最短経路（〇と↑の並べ替え）

「右にしか進めない・上にしか進めない」道を進むとき、最短経路の数は組合せで求められる。右に進む動きを「→」、上に進む動きを「↑」とすると、最短経路は全部で決まった回数の「→」と「↑」を1列に並べることと同じになる。「どこに↑を置くか」を選ぶ問題として考えよう。

例題8　図のように、点(0,0)から点(3,2)まで、右または上にしか進めないとき、最短経路は何通りあるか。

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右に3回、上に2回、合計5回動けば必ず(3,2)に着く。この5回の動きの並べ方は「→→→↑↑」を並べ替える方法の数と同じで、5個のうち↑を入れる2箇所を選べばよい。 \[{}_5\mathrm{C}_2 = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\] （↑ではなく→を入れる3箇所を選ぶ \({}_5\mathrm{C}_3\) で計算しても同じ10になる。）最短経路は \(10\) 通り

練習問題（全20問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）

nCrの基本計算

\({}_4\mathrm{C}_2\) の値を求めよ。

答え

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\[{}_4\mathrm{C}_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\] \({}_4\mathrm{C}_2 = 6\)

nCrの基本計算

\({}_5\mathrm{C}_3\) の値を求めよ。

答え

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\[{}_5\mathrm{C}_3 = \dfrac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{60}{6} = 10\] \({}_5\mathrm{C}_3 = 10\)

nCrの基本計算

\({}_6\mathrm{C}_2\) の値を求めよ。

答え

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\[{}_6\mathrm{C}_2 = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\] \({}_6\mathrm{C}_2 = 15\)

nCr=nC(n−r)を利用

\({}_7\mathrm{C}_4\) の値を求めよ。

答え

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そのまま計算すると分子が4個の掛け算で大変なので、性質「\({}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}\)」を使う。 \[{}_7\mathrm{C}_4 = {}_7\mathrm{C}_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{210}{6} = 35\] \({}_7\mathrm{C}_4 = 35\)

nCr=nC(n−r)を利用

\({}_9\mathrm{C}_7\) の値を求めよ。

答え

解説を見る

選ばない \(9-7=2\) 個の方で計算する。 \[{}_9\mathrm{C}_7 = {}_9\mathrm{C}_2 = \dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36\] \({}_9\mathrm{C}_7 = 36\)

委員会を作る＝組合せ

10人の中から3人を選んで委員会を作る方法は何通りあるか。（委員に役割の違いはない）

答え

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役割の違いがない＝順序を考えないので組合せ。 \[{}_{10}\mathrm{C}_3 = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{720}{6} = 120\] 委員会の作り方は \(120\) 通り

点から線分を作る＝2点の組合せ

円周上に8個の点がある。この中から異なる2点を選んで結ぶとき、引ける線分は何本あるか。

答え

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2点を選ぶ順序は関係なく、選んだ2点を結べば線分が1本決まる。 \[{}_8\mathrm{C}_2 = \dfrac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\] 引ける線分は \(28\) 本

点から三角形を作る＝3点の組合せ

円周上に6個の点がある（どの3点も一直線上にはない）。この中から異なる3点を選んでできる三角形は何個あるか。

答え

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3点を選べば、選び方1つにつき三角形がちょうど1個決まる（3点を結ぶ順序は関係ない）。 \[{}_6\mathrm{C}_3 = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{120}{6} = 20\] できる三角形は \(20\) 個

標準（9〜16）

12人を5人・7人の2つの、区別できる班（A班・B班）に分ける方法は何通りあるか。

答え

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A班に入る5人を選べば、残り7人が自動的にB班になる。班の人数が違うので、区別があってもなくても数え方は変わらない。 \[{}_{12}\mathrm{C}_5 = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \dfrac{95040}{120} = 792\] 分け方は \(792\) 通り

8人を4人ずつ2つのグループに分ける。グループに区別がないとき、分け方は何通りあるか。

答え

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まず区別があるとして計算する。 \[{}_8\mathrm{C}_4 \times {}_4\mathrm{C}_4 = 70 \times 1 = 70\] 2つのグループはどちらも4人で人数が同じなので、区別をなくすと \(2!\) 通り分の重複がある。 \[\dfrac{70}{2!} = 35\] 分け方は \(35\) 通り

6人を2人ずつ3つのグループに分ける。グループに区別がないとき、分け方は何通りあるか。

答え

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区別があるとして順に選んでいく。 \[{}_6\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_2 \times {}_2\mathrm{C}_2 = 15 \times 6 \times 1 = 90\] 3つのグループがすべて2人ずつで人数が同じなので、区別をなくすと \(3! = 6\) 通り分の重複がある。 \[\dfrac{90}{3!} = \dfrac{90}{6} = 15\] 分け方は \(15\) 通り

9人を4人・5人の2つの、区別できる班（A班・B班）に分ける方法は何通りあるか。

答え

解説を見る

A班に入る4人を選べば、残り5人が自動的にB班になる。 \[{}_9\mathrm{C}_4 = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \dfrac{3024}{24} = 126\] 分け方は \(126\) 通り

正八角形の対角線は何本あるか。

答え

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頂点は8個。2点を選んで結ぶ方法は \({}_8\mathrm{C}_2 = 28\) 通り。このうち辺は8本なので、対角線は \[28 - 8 = 20\] 正八角形の対角線は \(20\) 本

正十二角形の対角線は何本あるか。

答え

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頂点は12個。2点を選んで結ぶ方法は \({}_{12}\mathrm{C}_2 = \dfrac{12\times11}{2} = 66\) 通り。このうち辺は12本なので、対角線は \[66 - 12 = 54\] 正十二角形の対角線は \(54\) 本

点(0,0)から点(4,3)まで、右または上にしか進めないとき、最短経路は何通りあるか。

答え

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右に4回、上に3回、合計7回の移動のうち、上向きの2箇所…ではなく3箇所を選ぶ。 \[{}_7\mathrm{C}_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\] 最短経路は \(35\) 通り

点(0,0)から点(6,2)まで、右または上にしか進めないとき、最短経路は何通りあるか。

答え

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右に6回、上に2回、合計8回の移動のうち、上向きの2箇所を選ぶ。 \[{}_8\mathrm{C}_2 = \dfrac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\] 最短経路は \(28\) 通り

挑戦（17〜20）

3つの区別できる班

9人を3人ずつ、A班・B班・C班という区別のある3つの班に分ける方法は何通りあるか。

答え

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A班→B班→C班の順に選んでいく。A班を選んだ残り6人からB班を選び、さらに残り3人が自動的にC班。 \[{}_9\mathrm{C}_3 \times {}_6\mathrm{C}_3 \times {}_3\mathrm{C}_3 = 84 \times 20 \times 1 = 1680\] 班に区別があるので、これで割る必要はない。分け方は \(1680\) 通り

3つの区別できない班

9人を3人ずつ3つのグループに分ける。グループに区別がないとき、分け方は何通りあるか。

答え

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問題17と同じく、区別があるとして計算すると \(1680\) 通り。3つのグループはすべて3人ずつで人数が同じなので、区別をなくすと \(3! = 6\) 通り分の重複がある。 \[\dfrac{1680}{3!} = \dfrac{1680}{6} = 280\] 分け方は \(280\) 通り

経由点のある最短経路

点(0,0)から点(6,4)まで、右または上にしか進めない経路のうち、点(2,2)を通るものは何通りあるか。

答え

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経路を「(0,0)から(2,2)まで」と「(2,2)から(6,4)まで」の2つに分けて、それぞれの最短経路数をかけ算する。 (0,0)→(2,2)：右2回・上2回で合計4回移動。\({}_4\mathrm{C}_2 = 6\) 通り。 (2,2)→(6,4)：右4回（\(6-2\)）・上2回（\(4-2\)）で合計6回移動。\({}_6\mathrm{C}_2 = 15\) 通り。積の法則より \[6 \times 15 = 90\] 点(2,2)を通る最短経路は \(90\) 通り

パスカルの三角形の性質

\({}_7\mathrm{C}_2 + {}_7\mathrm{C}_3\) の値を、パスカルの三角形の性質を利用して求めよ。

答え

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性質「\({}_n\mathrm{C}_r + {}_n\mathrm{C}_{r+1} = {}_{n+1}\mathrm{C}_{r+1}\)」に \(n=7,\ r=2\) を当てはめる。 \[{}_7\mathrm{C}_2 + {}_7\mathrm{C}_3 = {}_8\mathrm{C}_3\] 実際に \({}_7\mathrm{C}_2=21,\ {}_7\mathrm{C}_3=35\) で和は \(56\)。一方 \({}_8\mathrm{C}_3 = \dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56\) で一致する。 \({}_7\mathrm{C}_2 + {}_7\mathrm{C}_3 = {}_8\mathrm{C}_3 = 56\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。余事象・図形・本格的な組分けなど、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

少なくとも1人＝余事象

8人の男性と4人の女性、合わせて12人の中から6人を選んで委員会を作る。この委員会に女性が少なくとも1人含まれるような選び方は何通りあるか。

答え

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「女性が少なくとも1人」を直接数えようとすると、女性1人の場合・2人の場合・…と場合分けが多くて大変。こういうときは余事象（反対の場合）を使う。「女性が少なくとも1人」の反対は「女性が0人＝全員男性」。全体の選び方：\({}_{12}\mathrm{C}_6 = 924\) 全員男性（女性0人）の選び方：男性8人から6人を選ぶ \[{}_8\mathrm{C}_6 = {}_8\mathrm{C}_2 = \dfrac{8\times7}{2\times1} = 28\] したがって、女性が少なくとも1人含まれる選び方は \[{}_{12}\mathrm{C}_6 - {}_8\mathrm{C}_6 = 924 - 28 = 896\] 女性が少なくとも1人含まれる選び方は \(896\) 通り

応2

平行線が作る図形の個数

平行な5本の直線と、それらすべてに交わる平行な4本の直線がある（同じ向きの直線同士は互いに平行、向きの違う直線同士は必ず1点で交わり、3本以上の直線が1点で重なることはないものとする）。これらの交点を頂点とする平行四辺形は何個できるか。

答え

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平行四辺形が1つ決まるためには、5本の直線から2本、4本の直線から2本を選べばよい（向きの違う2組の平行線をそれぞれ2本ずつ選ぶと、その4本が囲む形はちょうど1つの平行四辺形になる）。 5本から2本選ぶ方法：\({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) 4本から2本選ぶ方法：\({}_4\mathrm{C}_2 = 6\) 積の法則より \[10 \times 6 = 60\] 平行四辺形は \(60\) 個できる

応3

組分けの本格問題（区別あり・なし）

12人を3人ずつ4つの部屋に入れる。(1)部屋に1号室・2号室・3号室・4号室という区別がある場合、(2)部屋の区別がない場合、それぞれ何通りの分け方があるか。

(1)区別あり　(2)区別なし

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(1) 1号室→2号室→3号室→4号室の順に3人ずつ選んでいく。 \[{}_{12}\mathrm{C}_3 \times {}_9\mathrm{C}_3 \times {}_6\mathrm{C}_3 \times {}_3\mathrm{C}_3 = 220 \times 84 \times 20 \times 1 = 369600\] (2) 4つの部屋はすべて3人ずつで人数が同じなので、区別をなくすと4部屋の並べ方 \(4! = 24\) 通り分の重複がある。 \[\dfrac{369600}{4!} = \dfrac{369600}{24} = 15400\] 区別があるとき \(369600\) 通り、区別がないとき \(15400\) 通り

応4

最短経路の余事象（通らない経路）

点(0,0)から点(5,4)まで、右または上にしか進めない経路のうち、点(2,2)を通らないものは何通りあるか。

答え

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「通らない」を直接数えるのは大変なので、余事象「(2,2)を通る」を使う。全体の経路数：右5回・上4回、合計9回移動。 \[{}_9\mathrm{C}_4 = \dfrac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1} = 126\] (2,2)を通る経路数： (0,0)→(2,2)：右2回・上2回、合計4回。\({}_4\mathrm{C}_2 = 6\) (2,2)→(5,4)：右3回（\(5-2\)）・上2回（\(4-2\)）、合計5回。\({}_5\mathrm{C}_2 = 10\) 積の法則で \(6 \times 10 = 60\) したがって、(2,2)を通らない経路数は \[126 - 60 = 66\] 点(2,2)を通らない最短経路は \(66\) 通り

応5

役割の異なる複合選出

10人の中から、リーダー1人・サブリーダー2人・一般部員3人を選ぶ（残りの4人は選ばれない）。選び方は何通りあるか。

答え

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役割ごとに順番に選んでいく。リーダー・サブリーダー・一般部員はそれぞれ役割が違うので区別があるが、同じ役割の中（サブリーダー2人、一般部員3人）では順序を考えないので組合せを使う。リーダーを選ぶ：10人から1人 \({}_{10}\mathrm{C}_1 = 10\) サブリーダーを選ぶ：残り9人から2人 \({}_9\mathrm{C}_2 = 36\) 一般部員を選ぶ：残り7人から3人 \({}_7\mathrm{C}_3 = 35\) 積の法則より \[10 \times 36 \times 35 = 12600\] 選び方は \(12600\) 通り