順列

順列 \({}_{n}P_{r}\) と階乗

異なる \(n\) 個のものから \(r\) 個を選んで1列に並べる方法の数を \({}_{n}P_{r}\) と書く。「選ぶ」だけでなく「並べる順番」まで区別するのがポイント。

特に \(r=n\)（全部並べる）のときは \({}_{n}P_{n}=n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1\) となる。この「1からnまですべてかけた数」を 階乗 といい \(n!\) と書く。

条件つき順列

「特定の人が端にくる」「隣り合う」「隣り合わない」といった条件がつくと、そのまま \({}_{n}P_{r}\) を使うだけでは解けない。条件ごとに専用のコツがあるので、型として覚えておこう。

(1) 特定の人が両端にくる

まず両端の並べ方を先に決めてから、残りの人を真ん中に並べる、という順序で考える。

(2) 隣り合う（ひとまとめ法）

隣り合わせたい人たちを1つの塊（ひとまとめ）とみなして、他の人たちと一緒に並べる。最後に塊の中の並び方をかけ算するのを忘れないこと。

(3) 隣り合わない（すき間法）

隣り合わせたくない人たち以外を先に並べ、そのすき間に入れる。\(k\) 人を1列に並べると、両端とすき間を合わせて \(k+1\) 個の「入れる場所」ができる。

円順列とじゅず順列

今までは「1列に並べる」問題だったが、ここからは輪の形に並べる問題を考える。輪になると、全体を回転させただけの並びは「同じ並び」とみなす、というのが円順列のポイント。

円順列

\(n\) 人を1列に並べる方法は \(n!\) 通りだが、円形に並べる場合、回転させると同じ並びになるものが \(n\) 通りずつ重なって数えられてしまう。そこで \(n!\) を \(n\) で割ればよい。

隣り合う（円順列でもひとまとめ法が使える）

円順列でも、STEP 2で学んだ「ひとまとめ法」がそのまま使える。隣り合わせたい人たちを1つの塊とみなして、残りの人＋塊を円形に並べたあと、塊の中の並び方をかけ算する。違うのは、塊を含めた全体の並べ方に円順列の公式 \((\text{個数}-1)!\) を使う点だけ。

向かい合う（位置の固定を使う）

「向かい合う（真正面に座る）」条件には、円順列の公式を導いたときの「誰か1人の位置を固定する」考え方がそのまま使える。1人の席を固定してしまえば回転による重複がなくなり、残りの席はすべて区別できるようになる。あとは向かい合う相手の席が1か所に決まり、残りの人を残りの席に並べるだけでよい（真正面の席が1か所に決まるのは人数が偶数のときだけ。奇数人では真正面の席自体が存在しないため「向かい合う」は起こらない）。

隣り合わない（円順列でも引き算法）

「隣り合わない」は円順列でも同じ発想でよい。全体の並べ方から、隣り合う並べ方を引き算すればよい（すき間法を流用する場合は、1列のときの「すき間 = 並べた人数＋1個」とは違い、円形では「すき間 = 並べた人数と同じ個数」になる点に注意）。

じゅず順列（数珠順列）

ネックレスや腕輪のように、裏返しても同じものとみなせる並べ方を「じゅず順列（数珠順列）」という。円順列に加えて、裏返して重なる2つの並びも同じ1通りと数えるので、円順列の答えをさらに2で割る。

位置の固定と「席に区別がある」場合の違い

円順列の公式 \((n-1)!\) が使えるのは、回転させて一致する並びを同じ1通りとみなせるときだけ。もし席そのものに「入口に近い席」「1番の札がついた席」のような区別があれば、回転させると別の並びになってしまうので円順列の公式は使えず、ふつうの順列（階乗）で数える。問題文に「席に区別がある」ことが書いてあるかどうかを必ず確認しよう。

重複順列

「同じものを何度選んでもよい」場合の並べ方を重複順列という。異なる \(n\) 個の中から重複を許して \(r\) 個を選んで並べる方法の数は \(n^r\) 通り。

「異なる \(r\) 個の箱にものを入れる」問題も同じ考え方で解ける。それぞれの箱（またはそれぞれの人）が独立に \(n\) 通りの選択肢を持つ、と考えれば重複順列の公式がそのまま使える。