もれなく重複なく数える（樹形図・辞書式順序）
場合の数を求めるときにいちばん怖いのは「数え忘れ」と「同じものを2回数えてしまうこと」。この2つを防ぐ武器が樹形図と辞書式順序。手を動かして全部書き出せば、頭の中だけで数えるより確実に正しく数えられる。
副代表：い → (あ,い)
副代表：う → (あ,う)
副代表：あ → (い,あ)
副代表：う → (い,う)
副代表：あ → (う,あ)
副代表：い → (う,い)
枝分かれの先を全部書き出すと (あ,い) (あ,う) (い,あ) (い,う) (う,あ) (う,い) の6通り。この並べ方のように「最初の文字のアルファベット（五十音）順」に機械的に書き出す方法を辞書式順序という。順番を決めてリストアップすれば、もれも重複も起きない。
例題 大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の和が5になる場合の数を求めよ。
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和の法則（同時に起こらない場合分け）
「事象Aの起こり方が\(m\)通り」「事象Bの起こり方が\(n\)通り」あり、AとBが同時には起こらない（重ならない）とき、「AまたはBが起こる場合の数」は \(m+n\) 通り。これを和の法則という。
例題1 1組52枚のトランプから1枚引くとき、絵柄がハートまたはクラブである場合の数を求めよ。
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例題2 大小2つのさいころを同時に投げるとき、目の和が4以下になる場合の数を求めよ。
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緑の部分（A∩B）が「AとBが同時に起こる場合」。ここが空でない（重なりがある）ときは、和の法則をそのまま使えない。
積の法則（連続する選択）
「まずAの決め方が\(m\)通りあり、Aの決め方に関係なく次にBの決め方が\(n\)通りある」とき、「AとBを続けて決める場合の数」は \(m \times n\) 通り。これを積の法則という。STEP1の樹形図と違い、どの枝からも同じ数だけ枝分かれするのが特徴。
ズボン甲 → (A,甲)
ズボン乙 → (A,乙)
ズボン甲 → (B,甲)
ズボン乙 → (B,乙)
ズボン甲 → (C,甲)
ズボン乙 → (C,乙)
例題1 シャツが4着、ズボンが3本あるとき、組み合わせは何通りあるか。
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例題2 A地点からB地点への道が3通り、B地点からC地点への道が2通りあるとき、AからCへ行く道順は何通りあるか。
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和と積の使い分け＋約数の個数への応用
場合の数の問題は「今、和の法則を使う場面か、積の法則を使う場面か」を見極めるのが最大のコツ。判断基準はシンプル。
それぞれの場合の数を足す
それぞれの場合の数を掛ける
積の法則は、約数の個数を求めるときにも使える。
例題 \(72\) の正の約数の個数を求めよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。個数はそのまま整数で入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
硬貨を3回投げるとき、表裏の出方は何通りあるか。
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大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の和が7になる場合の数を求めよ。
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1個のさいころを1回投げるとき、出る目が1または6である場合の数を求めよ。
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赤玉4個・白玉3個・青玉2個が入った袋から玉を1個取り出すとき、玉の取り出し方は何通りあるか。
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シャツが3着、ズボンが4本あるとき、組み合わせは何通りあるか。
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A地点からB地点へ行く道が2通り、B地点からC地点へ行く道が3通りある。AからCまで行く道順は何通りあるか。
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大中小3個のさいころを同時に投げるとき、目の出方は何通りあるか。
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定食のメニューが、主食3種類・汁物2種類・飲み物4種類から1つずつ選べるとき、組み合わせは何通りあるか。
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1から20までの整数から1つ選ぶとき、5の倍数または7の倍数である数は何個あるか。
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\(60\) の正の約数の個数を求めよ。
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\(96\) の正の約数の個数を求めよ。
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さいころを1回投げ、偶数が出たら赤玉5個から1個、奇数が出たら白玉3個から1個を取り出す。目の出方と玉の取り出し方を合わせた場合の数を求めよ。
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A地点からB地点への道が2通り、B地点からC地点への道が2通り、C地点からD地点への道が3通りある。AからDまで行く道順は何通りあるか。
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大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の和が4以下になる場合の数を求めよ。
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1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから1枚引くとき、3の倍数または偶数である場合の数を求めよ。
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A地点からB地点への道が3通り、B地点からC地点への道が2通りある。AからBを通ってCまで行き、その後、行きに使った道は使わずにC→B→Aと戻るとき、行き帰り全体の道順は何通りあるか。
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\(100\) の正の約数のうち、偶数であるものは何個あるか。
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1,2,3,4,5の数字が1つずつ書かれた5枚のカードから異なる2枚を選んで2桁の整数をつくるとき、偶数は何個できるか。
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ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。
大中小3個のさいころを同時に投げるとき、出た目の積が奇数になる場合の数を求めよ。
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10円硬貨3枚、100円硬貨2枚を持っているとき、これらの硬貨の一部または全部を使って支払うことができる金額は何通りあるか（0円の場合は除く）。
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0,1,2,3,4の数字が1つずつ書かれた5枚のカードから異なる3枚を選んで3桁の整数をつくるとき、何個できるか。
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3試合のサッカーの試合を行い、各試合の結果は「勝ち」「引き分け」「負け」のいずれかであるとする。(1) 3試合の結果の組み合わせは何通りあるか。(2) 3試合の結果がすべて異なる（勝ち・引き分け・負けが1回ずつになる）場合の数を求めよ。
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1から100までの整数のうち、3の倍数でも5の倍数でもない数は何個あるか。