軌跡の求め方
「ある条件を満たしながら動く点Pは、どんな図形を描くか」——これが軌跡の問題。解き方はいつも同じ、たったひとつのコツで解ける：動く点を P(x, y) とおいて、条件をそのまま x, y の式に翻訳する。あとは式を整理するだけ。
軌跡を求める3手順
手順1 動く点を \(P(x,\ y)\) とおく
手順2 与えられた条件を、そのまま \(x,\ y\) の式に書き換える
手順3 式を整理して軌跡の方程式を求める。さらに、除外される点がないか（座標が定義できない場合など）を確認する
手順1 動く点を \(P(x,\ y)\) とおく
手順2 与えられた条件を、そのまま \(x,\ y\) の式に書き換える
手順3 式を整理して軌跡の方程式を求める。さらに、除外される点がないか（座標が定義できない場合など）を確認する
例題1 2定点 \(A(-1,\ 3)\)、\(B(5,\ -1)\) から等距離にある点Pの軌跡を求めよ。
解答を見る
動く点を \(P(x,\ y)\) とおく。条件は \(PA = PB\)。両辺とも2乗しても大小関係は変わらないので、\(PA^2 = PB^2\) として計算するとルートが消えて扱いやすい。
\(PA^2 = (x+1)^2+(y-3)^2\)、\(PB^2 = (x-5)^2+(y+1)^2\)
\((x+1)^2+(y-3)^2 = (x-5)^2+(y+1)^2\)
左辺 \(= x^2+2x+1+y^2-6y+9\)、右辺 \(= x^2-10x+25+y^2+2y+1\)
左辺 \(-\) 右辺 \(= 12x-8y-16=0\) 整理して \(3x-2y-4=0\)、すなわち \(y = \dfrac{3}{2}x-2\)
軌跡は直線 \(y=\dfrac{3}{2}x-2\)（線分ABの垂直二等分線）
この結果は図形的にも確認できる：2定点から等距離にある点の集合は、中学で習った「線分の垂直二等分線」そのもの。実際、\(A,\ B\) の中点は \((2,\ 1)\)、直線ABの傾きは \(\dfrac{-1-3}{5-(-1)}=-\dfrac{2}{3}\) だから、垂直二等分線の傾きはその逆数の符号違いで \(\dfrac{3}{2}\)。求めた式とぴったり一致する。P(x,y)とおいて計算する方法は、図形の性質をすでに知っている場合でも、複雑な条件（比が1:1でないときなど）にそのまま通用するのが強みだ。
比が1:1でないとき——アポロニウスの円
2定点からの距離が「等しい」のではなく「比が一定」の場合、軌跡は直線ではなく円になる。これをアポロニウスの円と呼ぶ。手順はまったく同じ、P(x,y)とおいて式にするだけ。
例題2 2定点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(6,\ 0)\) に対し、\(PA:PB=2:1\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。
解答を見る
\(P(x,\ y)\) とおく。条件 \(PA:PB=2:1\) は \(PA=2PB\) と同じ。両辺を2乗して \(PA^2=4PB^2\)。
\(PA^2=x^2+y^2\)、\(PB^2=(x-6)^2+y^2\)
\(x^2+y^2 = 4\left[(x-6)^2+y^2\right]\)
右辺を展開：\(4(x^2-12x+36+y^2)=4x^2-48x+144+4y^2\)
移項して整理：\(x^2+y^2-4x^2+48x-144-4y^2=0\) → \(-3x^2+48x-3y^2-144=0\)
両辺を \(-3\) で割る：\(x^2-16x+y^2+48=0\)
\(x\) について平方完成：\(x^2-16x=(x-8)^2-64\) なので
\((x-8)^2-64+y^2+48=0\) → \((x-8)^2+y^2=16\)
軌跡は中心 \((8,\ 0)\)、半径 \(4\) の円（アポロニウスの円）
注意 比が \(1:1\) のときだけ軌跡は直線（垂直二等分線）になり、比が \(1:1\) でないときは必ず円になる。「2定点＋距離の条件」が出てきたら、まず比が1:1かどうかを確認しよう。
不等式の表す領域
直線や円の方程式を「\(=\)」から「\(>\)」「\(<\)」に変えると、座標平面はその図形を境界線として2つの領域に分かれる。どちら側が不等式を満たすかは、境界線上にない点を1つ代入して確かめるのがいちばん確実。
直線の上下
直線 \(y=ax+b\) に対して、\(y > ax+b\) は直線より上側（\(y\) 座標が同じ \(x\) での直線上の値より大きい側）、\(y < ax+b\) は下側を表す。不等号に等号がつかない（\(>,\ <\)）ときは境界線自身を含まない、等号つき（\(\ge,\ \le\)）のときは境界線を含む。
円の内外
円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) に対して、\((x-a)^2+(y-b)^2 < r^2\) は円の内部、\((x-a)^2+(y-b)^2 > r^2\) は円の外部を表す。判定は「中心からの距離が半径より小さいか大きいか」そのもの。
領域判定のコツ 不等式が表す領域がどちら側か迷ったら、境界線上にない適当な点（原点 \((0,0)\) が計算しやすくて便利。ただし境界線が原点を通るときは別の点を使う）を代入し、不等式が成り立つかどうかを確認する。成り立てば、その点を含む側が答えの領域。
連立不等式の領域
不等式が2つ以上組み合わさった連立不等式の表す領域は、それぞれの不等式が表す領域の共通部分（重なる部分）。1つずつ領域を図示して、全部が重なっているところを探せばよい。
例題 連立不等式 \(y > x-1\)、\(y < -x+5\) の表す領域を図示せよ。
解答を見る
\(y > x-1\) は直線 \(y=x-1\) の上側。\(y < -x+5\) は直線 \(y=-x+5\) の上側ではなく下側。
2直線の交点は \(x-1=-x+5\) より \(2x=6,\ x=3\)、\(y=2\)。交点は \((3,\ 2)\)。
それぞれの領域を重ねると、2直線に挟まれた帯状の部分（交点 \((3,2)\) を頂点とする、上に開いた三角形のような領域）が連立不等式の解。
2つの直線に挟まれた、薄緑が重なる部分（境界線はどちらも含まない）
共通部分の探し方 不等式ごとに薄く塗って重ねる（実際に手で解くときは、それぞれの領域に斜線を引いて、斜線が重なった部分だけ残す）。境界線が「含む／含まない」の扱いを混同しないよう、\(\ge,\ \le\) は実線、\(>,\ <\) は破線で描き分けるのが教科書流の書き方。
領域における最大値・最小値
「連立不等式の表す領域内で、\(x+y\) の最大値・最小値を求めよ」——このタイプの問題は、\(x+y=k\) とおいて、\(k\) の値を変えながら直線 \(y=-x+k\) を平行移動させるとイメージすると解ける。切片 \(k\) が最大・最小になるのは、直線が領域の頂点を通過するとき。
例題 連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+2y \le 8\)、\(3x+y \le 9\) の表す領域において、\(x+y\) の最大値と最小値を求めよ。
解答を見る
まず領域の頂点をすべて求める。座標軸との交点と、2直線の交点を調べる。
\(x+2y=8\) と \(y=0\) の交点：\((8,\ 0)\)……ただしこれは \(3x+y\le9\) を満たすか要確認：\(3\times8+0=24>9\) なのでこの点は領域の頂点ではない。
\(3x+y=9\) と \(y=0\) の交点：\((3,\ 0)\)。\(x+2y=3\le8\) を満たすのでOK。
\(x+2y=8\) と \(3x+y=9\) の交点：\(y=9-3x\) を代入して \(x+2(9-3x)=8\) → \(x+18-6x=8\) → \(-5x=-10\) → \(x=2,\ y=3\)。交点 \((2,\ 3)\)。
\(x+2y=8\) と \(x=0\) の交点：\((0,\ 4)\)。\(3\times0+4=4\le9\) を満たすのでOK。
以上より領域は4つの頂点 \((0,0),\ (3,0),\ (2,3),\ (0,4)\) を持つ四角形。各頂点で \(x+y\) の値を計算する。
\((0,0)\to0\) \((3,0)\to3\) \((2,3)\to5\) \((0,4)\to4\)
直線 \(x+y=k\) を右上に動かしていくと、領域内で最後に触れる頂点が \((2,3)\)（\(k=5\)）、最初に触れる（＝原点を含む最小の \(k\)）のが \((0,0)\)（\(k=0\)）。
\(x=2,\ y=3\) のとき最大値 \(5\)、\(x=0,\ y=0\) のとき最小値 \(0\)
手順1 連立不等式が表す領域を図示し、頂点の座標をすべて求める（2直線の交点を連立方程式で計算）
↓
手順2 目的の式（\(x+y\) など）に、それぞれの頂点の座標を代入して値を計算する
↓
手順3 計算した値のうち、最大のものが最大値、最小のものが最小値（直線を動かして最後に触れる頂点＝最大／最小）
注意 この「頂点を全部調べる」方法が使えるのは、目的の式が \(x,\ y\) について1次式（\(ax+by\) の形）のときだけ。領域が円などの曲線で囲まれている場合は、頂点ではなく直線と曲線が接する点（接点）で最大・最小になることがある——この応用は挑戦問題で扱う。
練習問題（全15問）
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。○×で答える問題は全角のまま入力してよい。記述問題は「解説を見る」で自分の答え合わせをしよう。
基本（1〜7）
1
円の定義そのもの
点 \(A(2,\ 0)\) から距離が \(3\) である点Pの軌跡を求めよ。中心の座標と半径を答えよ。
中心 \((\) , \()\) 半径
解説を見る
「定点からの距離が一定」は円の定義そのもの。中心は \(A(2,0)\)、半径は \(3\)。
中心 \((2,\ 0)\)、半径 \(3\) の円
2
垂直二等分線（軸に平行）
2定点 \(A(-3,\ 0)\)、\(B(5,\ 0)\) から等距離にある点Pの軌跡は、直線 \(x=\) いくつか。
\(x=\)
解説を見る
\(P(x,y)\) とおき \(PA^2=PB^2\)：\((x+3)^2+y^2=(x-5)^2+y^2\)
展開して \(x^2+6x+9=x^2-10x+25\) → \(16x=16\) → \(x=1\)。
（\(A,\ B\) がともに \(x\) 軸上にあるので、答えは2点の中点の \(x\) 座標 \(\dfrac{-3+5}{2}=1\) と一致する。）
軌跡は直線 \(x=1\)
3
垂直二等分線（軸に平行）
2定点 \(A(0,\ -2)\)、\(B(0,\ 4)\) から等距離にある点Pの軌跡は、直線 \(y=\) いくつか。
\(y=\)
解説を見る
\(P(x,y)\) とおき \(PA^2=PB^2\)：\(x^2+(y+2)^2=x^2+(y-4)^2\)
展開して \(y^2+4y+4=y^2-8y+16\) → \(12y=12\) → \(y=1\)。
軌跡は直線 \(y=1\)
4
直線の上下判定
不等式 \(y > 2x-1\) の表す領域に、点 \(P(0,\ 3)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
解説を見る
\(x=0\) を直線の式に代入すると \(2\times0-1=-1\)。点Pの \(y\) 座標は \(3\) で、\(3>-1\) は成り立つ。
○（含まれる）
5
円の内部判定・境界に注意
不等式 \((x-1)^2+(y-2)^2 < 9\) の表す領域に、点 \(Q(4,\ 2)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
解説を見る
\((4-1)^2+(2-2)^2=9+0=9\)。不等式は \(<9\)（等号なし）なので、ちょうど \(9\) になる点は境界線上にあり、領域には含まれない。
×（含まれない・円周上の点だから）
6
アポロニウスの円
2定点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(9,\ 0)\) に対し、\(PA:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。中心の座標と半径を答えよ。
中心 \((\) , \()\) 半径
解説を見る
\(P(x,y)\) とおく。\(PA:PB=1:2\) より \(PB=2PA\)、両辺2乗して \(PB^2=4PA^2\)。
\((x-9)^2+y^2=4(x^2+y^2)\)
展開して整理：\(x^2-18x+81+y^2=4x^2+4y^2\) → \(-3x^2-18x+81-3y^2=0\)
\(-3\) で割って \(x^2+6x-27+y^2=0\)、平方完成して \((x+3)^2-9-27+y^2=0\) → \((x+3)^2+y^2=36\)
中心 \((-3,\ 0)\)、半径 \(6\) の円
7
軌跡の求め方（線分の中点の軌跡）
点 \(A(4,\ 2)\) を定点とし、点Pは円 \(x^2+y^2=4\) 上を動く点とする。線分APの中点をMとするとき、Mの軌跡を求めよ。
解説を見る
軌跡を求めるときは、動く点（ここではM）を \((X,\ Y)\) とおき、条件が分かっている点（ここではP）の座標をX、Yで表してから、Pがみたす式に代入するのが基本の手順である。
\(M(X,\ Y)\) とおく。MはAPの中点だから、中点の公式より
\(X=\dfrac{4+p}{2},\ \ Y=\dfrac{2+q}{2}\) （Pの座標を \((p,\ q)\) とした）
これをp、qについて解くと \(p=2X-4,\ \ q=2Y-2\)
Pは円 \(x^2+y^2=4\) 上にあるから、\(p^2+q^2=4\) が成り立つ。上の式を代入すると
\((2X-4)^2+(2Y-2)^2=4\)
両辺を展開して整理する。左辺は \(4(X-2)^2+4(Y-1)^2\) とまとめられるから
\(4(X-2)^2+4(Y-1)^2=4\)
両辺を4で割ると \((X-2)^2+(Y-1)^2=1\)
よってMの軌跡は、中心 \((2,\ 1)\)、半径 \(1\) の円である。
（この結果は、Aと円の中心Oを結ぶ線分の中点 \(\left(\dfrac{4+0}{2},\ \dfrac{2+0}{2}\right)=(2,\ 1)\) が新しい中心になり、半径はもとの円の半径の半分 \(\dfrac{2}{2}=1\) になっていることに対応する。）
Mの軌跡は、中心 \((2,\ 1)\)、半径 \(1\) の円
標準（8〜14）
8
連立不等式の判定
連立不等式 \(y \le -x+5\)、\(y \ge x-1\)、\(x \ge 0\) の表す領域に、点 \((2,\ 2)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
解説を見る
\(y\le-x+5\)：\(2\le-2+5=3\) → 成り立つ。
\(y\ge x-1\)：\(2\ge2-1=1\) → 成り立つ。
\(x\ge0\)：\(2\ge0\) → 成り立つ。すべて成り立つ。
○（3つの不等式すべてを満たす）
9
円の外部判定
不等式 \((x-3)^2+(y+1)^2 > 25\) の表す領域（円の外部）に、点 \(R(9,\ 2)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
解説を見る
\((9-3)^2+(2-(-1))^2=6^2+3^2=36+9=45\)。\(45>25\) なので不等式を満たす。
○（円の外部に含まれる）
10
距離の2乗の和が一定の軌跡
2定点 \(A(-1,\ 0)\)、\(B(3,\ 0)\) に対し、\(PA^2+PB^2=26\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。中心の座標と半径を答えよ。
中心 \((\) , \()\) 半径
解説を見る
\(P(x,y)\) とおく。\(PA^2=(x+1)^2+y^2\)、\(PB^2=(x-3)^2+y^2\)。
\((x+1)^2+y^2+(x-3)^2+y^2=26\)
展開：\(x^2+2x+1+x^2-6x+9+2y^2=26\) → \(2x^2-4x+10+2y^2=26\)
両辺を2で割って \(x^2-2x+5+y^2=13\) → \(x^2-2x+y^2=8\)
平方完成：\((x-1)^2-1+y^2=8\) → \((x-1)^2+y^2=9\)
中心 \((1,\ 0)\)、半径 \(3\) の円
11
領域内の最大値・最小値
連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+2y \le 10\)、\(2x+y \le 8\) の表す領域において、\(x+y\) の最大値と最小値を求めよ。
最大値 最小値
解説を見る
頂点を求める。\(x+2y=10\) と \(y=0\)：\((10,0)\)。\(2\times10+0=20>8\) なので不適（頂点でない）。
\(2x+y=8\) と \(y=0\)：\((4,0)\)。\(4+0=4\le10\) を満たすのでOK。
\(x+2y=10\) と \(2x+y=8\) の交点：\(y=8-2x\) を代入して \(x+2(8-2x)=10\) → \(x+16-4x=10\) → \(-3x=-6\) → \(x=2,\ y=4\)。交点 \((2,4)\)。
\(x+2y=10\) と \(x=0\)：\((0,5)\)。\(2\times0+5=5\le8\) を満たすのでOK。
頂点は \((0,0),\ (4,0),\ (2,4),\ (0,5)\)。\(x+y\) の値：\(0,\ 4,\ 6,\ 5\)。
最大値 \(6\)（\(x=2,\ y=4\)）、最小値 \(0\)（\(x=0,\ y=0\)）
12
記述式：パラメータ消去型の軌跡
点 \(A(4,\ 0)\) を通り、傾き \(m\) の直線がある（\(m\) はすべての実数値を取り得る）。この直線と \(y\) 軸との交点を \(Q\) とする。\(m\) の値が変化するとき、線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。
解説を見る
直線の式は \(y=m(x-4)\)。\(y\) 軸との交点 \(Q\) は \(x=0\) を代入して \(y=m(0-4)=-4m\)、つまり \(Q(0,\ -4m)\)。
中点Pの座標は、AとQの座標の平均：
\(P\left(\dfrac{4+0}{2},\ \dfrac{0+(-4m)}{2}\right) = (2,\ -2m)\)
ここで \(x\) 座標はつねに \(2\) で、\(m\) の値に関係なく変わらない。一方 \(y=-2m\) は \(m\) がすべての実数を取れるので、\(y\) もすべての実数値を取り得る。
つまり、点Pの \(x\) 座標は常に \(2\) に固定され、\(y\) 座標に制限はない——これは直線 \(x=2\) 全体が軌跡であることを意味する。
軌跡は直線 \(x=2\)（\(y\) はすべての実数）
13
記述式：点と直線の距離との関係
実数 \(x,\ y\) が \(x+y=6\) を満たすとき、\(x^2+y^2\) の最小値を求めよ。（ヒント：\(x^2+y^2\) は原点からの距離の2乗）
解説を見る
【方法1：1文字消去】\(x+y=6\) より \(y=6-x\)。代入して
\(x^2+y^2=x^2+(6-x)^2=x^2+36-12x+x^2=2x^2-12x+36=2(x-3)^2+18\)
\(x\) は実数全体を動けるので、下に凸の頂点がそのまま最小値。\(x=3\) のとき最小値 \(18\)（このとき \(y=3\)）。
【方法2：点と直線の距離（検算）】\(x^2+y^2\) は点 \((x,y)\) と原点との距離の2乗。条件 \(x+y=6\) は直線 \(x+y-6=0\) 上を動くという意味だから、\(x^2+y^2\) の最小値は「原点から直線 \(x+y-6=0\) までの距離」の2乗に等しい。
点と直線の距離の公式より、原点から \(x+y-6=0\) までの距離は \(\dfrac{|0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\)。
距離の2乗は \((3\sqrt2)^2=9\times2=18\)。方法1の答えと一致する。
\(x=3,\ y=3\) のとき最小値 \(18\)
14
円上の動点と定点を結ぶ線分の中点の軌跡
定点 \(A(6,\ 0)\) があり、点Pは円 \(x^2+y^2=9\) 上を動く。線分APの中点をMとするとき、Mの軌跡を求めよ。
軌跡の中心 \((\) , \()\) 半径
解説を見る
\(M(X,\ Y)\) とおく。MはAPの中点で、Pの座標を \((p,\ q)\) とすると
\(X=\dfrac{6+p}{2},\ \ Y=\dfrac{0+q}{2}\)
これを \(p,\ q\) について解くと \(p=2X-6,\ \ q=2Y\)
Pは円 \(x^2+y^2=9\) 上の点だから \(p^2+q^2=9\)。代入すると
\((2X-6)^2+(2Y)^2=9\)
左辺を整理すると \(4(X-3)^2+4Y^2=9\)
両辺を4で割ると \((X-3)^2+Y^2=\dfrac{9}{4}\)
よってMの軌跡は、中心 \((3,\ 0)\)、半径 \(\dfrac{3}{2}\) の円である。
（定点Aと円の中心O、半径rから、新しい中心は線分AOの中点 \(\left(\dfrac{6+0}{2},\ 0\right)=(3,\ 0)\)、半径は \(\dfrac{r}{2}=\dfrac{3}{2}\) となる。）
Mの軌跡は、中心 \((3,\ 0)\)、半径 \(\dfrac{3}{2}\) の円
挑戦（15〜19）
15
円の領域と1次式の最大最小
実数 \(x,\ y\) が \((x-2)^2+(y-1)^2 \le 4\) を満たすとき、\(x+2y\) の最大値と最小値を求めよ。
解説を見る
\(x+2y=k\) とおくと、これは傾き \(-\dfrac12\) の直線 \(y=-\dfrac12x+\dfrac{k}{2}\) の集合。この直線が、中心 \((2,1)\)、半径 \(2\) の円の内部（境界を含む）と共有点を持つような \(k\) の範囲を考える。
直線 \(x+2y-k=0\) が円と共有点を持つのは、円の中心からこの直線までの距離が半径以下のとき。中心 \((2,1)\) から直線 \(x+2y-k=0\) までの距離は
\(\dfrac{|2+2\times1-k|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\dfrac{|4-k|}{\sqrt5}\)
これが半径 \(2\) 以下：\(\dfrac{|4-k|}{\sqrt5}\le2\) → \(|4-k|\le2\sqrt5\) → \(4-2\sqrt5\le k\le4+2\sqrt5\)
\(k=x+2y\) がとり得る範囲がちょうどこの区間になるので、最大値は \(k\) の上限、最小値は \(k\) の下限。
最大値 \(4+2\sqrt5\)、最小値 \(4-2\sqrt5\)
16
アポロニウスの円（一般の2点）
2定点 \(A(1,\ 2)\)、\(B(4,\ -1)\) に対し、\(PA:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。
解説を見る
\(P(x,y)\) とおく。\(PA:PB=1:2\) より \(PB=2PA\)、両辺2乗して \(PB^2=4PA^2\)。
\(PA^2=(x-1)^2+(y-2)^2\)、\(PB^2=(x-4)^2+(y+1)^2\)
\((x-4)^2+(y+1)^2=4\left[(x-1)^2+(y-2)^2\right]\)
左辺を展開：\(x^2-8x+16+y^2+2y+1=x^2+y^2-8x+2y+17\)
右辺を展開：\(4(x^2-2x+1+y^2-4y+4)=4x^2+4y^2-8x-16y+20\)
左辺 \(-\) 右辺 \(=0\)：\((x^2+y^2-8x+2y+17)-(4x^2+4y^2-8x-16y+20)=0\)
\(-3x^2-3y^2+18y-3=0\)、\(-3\) で割って \(x^2+y^2-6y+1=0\)
\(y\) について平方完成：\(x^2+(y-3)^2-9+1=0\) → \(x^2+(y-3)^2=8\)
半径は \(\sqrt8=2\sqrt2\)。
軌跡は中心 \((0,\ 3)\)、半径 \(2\sqrt2\) の円
17
軌跡上の点と定点との距離
点Pが円 \(x^2+y^2=1\) 上を動くとき、点 \(A(3,\ 4)\) とPの距離の最大値と最小値を求めよ。
解説を見る
円 \(x^2+y^2=1\) は原点 \(O\) を中心とする半径 \(1\) の円。原点とAの距離は
\(OA=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
PはOを中心とする半径1の円周上を動くので、AP の距離は「OAの距離」から「半径1」だけ変動する。最大になるのは、O、円周上の点P、Aが一直線上に並び、PがAと反対側（Oから見てAと逆方向）にあるとき：\(AP=OA+1=5+1=6\)。
最小になるのは、O・P・Aが一直線上に並び、PがAに近い側にあるとき：\(AP=OA-1=5-1=4\)。
（三角形の成立条件から、\(|OA-1|\le AP\le OA+1\) が常に成り立ち、両端は一直線上に並ぶときに実現される。）
最大値 \(6\)、最小値 \(4\)
18
頂点が動くときの三角形の重心の軌跡
2点 \(A(-3,\ 0)\)、\(B(3,\ 0)\) を固定し、点Cが円 \(x^2+y^2=9\) 上を動く（ただし3点A、B、Cが一直線上に並ぶ場合を除く）とき、三角形ABCの重心Gの軌跡を求めよ。
軌跡の中心 \((\) , \()\) 半径
解説を見る
重心の座標は3頂点の座標の平均だから、\(G(X,\ Y)\) とおき、\(C(p,\ q)\) とすると
\(X=\dfrac{-3+3+p}{3}=\dfrac{p}{3},\ \ \ Y=\dfrac{0+0+q}{3}=\dfrac{q}{3}\)
これを \(p,\ q\) について解くと \(p=3X,\ \ q=3Y\)
Cは円 \(x^2+y^2=9\) 上の点だから \(p^2+q^2=9\)。代入すると
\((3X)^2+(3Y)^2=9\)
\(9X^2+9Y^2=9\)、両辺を9で割ると \(X^2+Y^2=1\)
ここまでで軌跡は原点中心・半径1の円と分かるが、除外点がないか必ず確認する。3点A、B、Cが一直線上に並ぶと三角形が作れず「重心」を考えられないので、そのようなCに対応するGは軌跡から除かなければならない。
A、Bはともにx軸上の点だから、A、B、Cが一直線上に並ぶのはCがx軸上にあるとき、すなわち \(q=0\) のときである。円 \(x^2+y^2=9\) と直線 \(y=0\) の交点を求めると \(p^2=9\) より \(p=\pm3\)、つまり \(C=(3,\ 0)\) または \(C=(-3,\ 0)\)（それぞれB、Aと重なる点である）。
このときのGの座標は、\(p=3X\) より \(X=\dfrac{p}{3}\) だから、\(p=3\) のとき \(X=1\)、\(p=-3\) のとき \(X=-1\)。\(q=0\) だから \(Y=0\)。
よって円 \(X^2+Y^2=1\) 上の点 \((1,\ 0)\)、\((-1,\ 0)\) の2点は軌跡から除かれる。
Gの軌跡は、中心 \((0,\ 0)\)、半径 \(1\) の円。ただし、点 \((1,\ 0)\)、\((-1,\ 0)\) を除く
19
連立不等式が表す領域の面積
連立不等式 \(x\ge0,\ \ y\ge0,\ \ x+y\le6,\ \ x+2y\le8\) の表す領域を図示し、その面積を求めよ。
領域の面積
解説を見る
まず、4つの不等式がそれぞれ表す境界線を確認する。\(x\ge0\) は\(y\)軸より右側、\(y\ge0\) は\(x\)軸より上側、\(x+y\le6\) は直線\(x+y=6\)の左下側、\(x+2y\le8\) は直線\(x+2y=8\)の左下側を表す。4つすべてを満たす領域は、これら半平面の共通部分だから、境界線どうしが交わる点を頂点とする多角形になる。
頂点の座標は、境界線どうしの交点を連立方程式で求めればよい。
\(x=0\) と \(y=0\) の交点：そのまま \((0,\ 0)\)
\(y=0\) と \(x+y=6\) の交点：\(y=0\) を代入して \(x=6\)、よって \((6,\ 0)\)（このとき \(x+2y=6\le8\) も成り立つので、確かに領域の頂点になっている）
\(x=0\) と \(x+2y=8\) の交点：\(x=0\) を代入して \(2y=8,\ y=4\)、よって \((0,\ 4)\)（このとき \(x+y=4\le6\) も成り立つ）
\(x+y=6\) と \(x+2y=8\) の交点：2式の差をとると \((x+2y)-(x+y)=8-6\) より \(y=2\)。これを \(x+y=6\) に代入して \(x=4\)、よって \((4,\ 2)\)
以上より、領域は4点 \((0,\ 0),\ (6,\ 0),\ (4,\ 2),\ (0,\ 4)\) を頂点とする四角形である。
面積を求めるには、原点 \((0,\ 0)\) と \((4,\ 2)\) を結ぶ線分でこの四角形を2つの三角形に分けるとよい。座標軸上の辺を底辺にとれば、高さがもう一方の座標の値でそのまま求まるので計算が楽になる。
三角形1：\((0,\ 0),\ (6,\ 0),\ (4,\ 2)\)。\(x\)軸上の線分 \((0,0)\)〜\((6,0)\)（長さ\(6\)）を底辺にとると、頂点 \((4,\ 2)\) の高さは\(y\)座標の\(2\)。面積は \(\dfrac{1}{2}\times6\times2=6\)
三角形2：\((0,\ 0),\ (4,\ 2),\ (0,\ 4)\)。\(y\)軸上の線分 \((0,0)\)〜\((0,4)\)（長さ\(4\)）を底辺にとると、頂点 \((4,\ 2)\) の高さは\(x\)座標の\(4\)。面積は \(\dfrac{1}{2}\times4\times4=8\)
この2つの三角形は重なりなく四角形をちょうど埋め尽くすから、四角形全体の面積は2つの和になる。
\(6+8=14\)
領域は4点(0, 0)、(6, 0)、(4, 2)、(0, 4)を頂点とする四角形で、面積は14
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。軌跡と領域を組み合わせた、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
応1
円の領域でx+yの最大最小
実数 \(x,\ y\) が \((x-3)^2+(y-4)^2 \le 25\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値と最小値を求めよ。
最大値 最小値
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\(x+y=k\) とおくと、直線 \(x+y-k=0\) がこの円（中心 \((3,4)\)、半径 \(5\)）と共有点を持つ \(k\) の範囲を求めればよい。
中心 \((3,4)\) から直線 \(x+y-k=0\) までの距離は \(\dfrac{|3+4-k|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{|7-k|}{\sqrt2}\)。
これが半径 \(5\) 以下：\(\dfrac{|7-k|}{\sqrt2}\le5\) → \(|7-k|\le5\sqrt2\) → \(7-5\sqrt2\le k\le7+5\sqrt2\)
最大値 \(7+5\sqrt2\)、最小値 \(7-5\sqrt2\)
応2
2定点からの距離の比＋軌跡上の最大距離
2定点 \(A(-2,\ 0)\)、\(B(4,\ 0)\) に対し、\(PA:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。さらに、この軌跡上の点のうち、原点Oからの距離が最大となる点の座標と、そのときの距離を求めよ。
軌跡の中心 \((\) , \()\) 半径 最大となる点 \((\) , \()\) 距離
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【軌跡】\(P(x,y)\) とおく。\(PA:PB=1:2\) より \(PB=2PA\)、両辺2乗して \(PB^2=4PA^2\)。
\((x-4)^2+y^2=4\left[(x+2)^2+y^2\right]\)
左辺展開：\(x^2-8x+16+y^2\)、右辺展開：\(4x^2+16x+16+4y^2\)
左辺 \(-\) 右辺 \(=0\)：\(-3x^2-24x-3y^2=0\)、\(-3\) で割って \(x^2+8x+y^2=0\)
平方完成：\((x+4)^2-16+y^2=0\) → \((x+4)^2+y^2=16\)
軌跡は中心 \((-4,\ 0)\)、半径 \(4\) の円。
【原点からの最大距離】原点Oから円の中心 \((-4,0)\) までの距離は \(4\)。円周上の点でOから最も遠いのは、O・中心・その点が一直線上に並び、中心よりさらに遠い側にある点。中心から見てOと反対方向（\(x\) 軸負の方向）に半径分だけ進んだ点だから、
その点は \((-4-4,\ 0)=(-8,\ 0)\)。距離は \(OA_{中心}+r=4+4=8\)。
（検算：\((-8+4)^2+0^2=16\) で確かに円上の点になっている。）
軌跡は中心 \((-4,0)\)、半径 \(4\) の円。原点から最も遠い点は \((-8,\ 0)\)、そのときの距離は \(8\)
応3
領域で2次式（距離の2乗）の最大最小
連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+y \le 6\) の表す領域において、\(x^2+y^2\) の最大値と最小値を求めよ。
最大値 最小値
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領域は3つの頂点 \((0,0),\ (6,0),\ (0,6)\) を持つ直角三角形（原点からの距離の2乗 \(x^2+y^2\) は原点に近いほど小さく、遠いほど大きい）。
\(x^2+y^2\) は \(x,\ y\) の1次式ではないので、STEP4のように「頂点だけ調べれば必ず答え」という保証はない。ただし \(x^2+y^2\) は原点からの距離の2乗＝原点を中心とする円の半径の2乗なので、原点を中心とする円を領域の中で広げていくイメージで考える。
領域は原点 \((0,0)\) 自身を含むので、最小値は原点でとる \(0\)。
領域を含む最小の円（原点中心）は、領域内で原点から最も遠い点を半径にする円になる。三角形の頂点 \((6,0),\ (0,6)\) のうち原点から最も遠いのはどちらも距離 \(6\)（\(x^2+y^2=36\)）で、辺上や内部の点はこれより原点に近い。
最大値 \(36\)（\(x=6,y=0\) または \(x=0,y=6\)）、最小値 \(0\)（\(x=0,y=0\)）
応4
距離の2乗の差が一定の軌跡（直線になる）
2定点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(8,\ 0)\) に対し、\(PA^2-PB^2=32\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。直線 \(x=\) いくつになるか答えよ。
\(x=\)
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\(P(x,y)\) とおく。\(PA^2=x^2+y^2\)、\(PB^2=(x-8)^2+y^2\)。
\(PA^2-PB^2=x^2+y^2-\left[(x-8)^2+y^2\right]=x^2-(x^2-16x+64)=16x-64\)
これが \(32\) に等しいので \(16x-64=32\) → \(16x=96\) → \(x=6\)。
（\(y\) は式に現れないので、\(y\) はすべての実数を取り得る。「距離の2乗の和が一定」なら円、「距離の2乗の差が一定」なら直線になることに注目。）
軌跡は直線 \(x=6\)
応5
四角形の領域で1次式の最大最小
連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+y \le 5\)、\(2x+y \le 8\) の表す領域において、\(3x+4y\) の最大値と最小値を求めよ。
最大値 最小値
解説を見る
頂点を求める。\(2x+y=8\) と \(y=0\)：\((4,0)\)。\(4+0=4\le5\) を満たすのでOK。
\(x+y=5\) と \(2x+y=8\) の交点：2式を引くと \(x=3\)、\(y=5-3=2\)。交点 \((3,2)\)。検算：\(2\times3+2=8\) ✓
\(x+y=5\) と \(x=0\)：\((0,5)\)。\(2\times0+5=5\le8\) を満たすのでOK。
頂点は \((0,0),\ (4,0),\ (3,2),\ (0,5)\)。\(3x+4y\) の値：
\((0,0)\to0\) \((4,0)\to12\) \((3,2)\to9+8=17\) \((0,5)\to20\)
最大値 \(20\)（\(x=0,\ y=5\)）、最小値 \(0\)（\(x=0,\ y=0\)）
記述チャレンジ
答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
記1
2定点からの距離の比が \(1:1\) のとき軌跡が直線になり、\(1:1\) でないときは円になるのはなぜか。式変形の過程に触れながら説明せよ。
模範解答を見る
動く点をP\((x,\ y)\)、2定点をA、Bとする。距離の比の条件\(\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=m:n\)は\(n\cdot\mathrm{PA}=m\cdot\mathrm{PB}\)と同じであり、両辺を2乗すると\(n^2\mathrm{PA}^2=m^2\mathrm{PB}^2\)になる。
\(\mathrm{PA}^2\)、\(\mathrm{PB}^2\)はどちらも\((x-\text{Aの}x\text{座標})^2+(y-\text{Aの}y\text{座標})^2\)の形なので、展開すると必ず\(x^2+y^2\)という最高次の項が現れる（この項の係数はどちらも\(1\)）。
条件式\(n^2\mathrm{PA}^2=m^2\mathrm{PB}^2\)を整理すると、\(x^2\)（および\(y^2\)）の項の係数は左辺が\(n^2\)、右辺が\(m^2\)になっている。すべて左辺に移項してまとめると、\((n^2-m^2)x^2+(n^2-m^2)y^2+\text{1次以下の項}=0\)という形になる（展開時にA、Bの座標から生じる定数項も1次以下の項に含めている）。
比が\(1:1\)（\(m=n\)）のときは、係数\(n^2-m^2\)がちょうど\(0\)になるため、\(x^2\)と\(y^2\)の項が完全に消えてしまい、残るのは\(x,\ y\)の1次式だけになる。これが軌跡が直線（線分の垂直二等分線）になる理由である。
比が\(1:1\)でない（\(m \ne n\)）ときは、係数\(n^2-m^2\)は\(0\)にならないので\(x^2\)と\(y^2\)の項は消えずに残る。両辺をこの係数で割ると\(x^2+y^2+\text{1次以下の項}=0\)という形になる。これを平方完成すると\((x-p)^2+(y-q)^2=k\)の形になり、\(A\ne B\)かつ\(m\ne n\)のときは\(k>0\)となるので、これは中心\((p,\ q)\)、半径\(\sqrt{k}\)の円（アポロニウスの円）を表す。
比が\(1:1\)のときだけ\(x^2\)と\(y^2\)の項が完全に打ち消し合って1次式（直線）が残り、比が\(1:1\)でないときはこれらの項が消えずに残るため2次式（円）になる。
記2
連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(2x+y \le 10\)、\(x+3y \le 15\) の表す領域において、\(x+y\) の最大値・最小値を、頂点をすべて求める過程を示しながら答えよ。
模範解答を見る
まず領域の頂点の候補をすべて求める。座標軸との交点と、2直線の交点をそれぞれ確認する。
\(2x+y=10\)と\(y=0\)の交点：\((5,\ 0)\)。他の条件を確認すると\(x+3y=5+0=5\le15\)を満たすので、これは領域の頂点である。
\(x+3y=15\)と\(x=0\)の交点：\((0,\ 5)\)。\(2x+y=0+5=5\le10\)を満たすので頂点である。
\(2x+y=10\)と\(x=0\)の交点：\((0,\ 10)\)。他の条件を確認すると\(x+3y=0+30=30\)となり、\(x+3y\le15\)を満たさない（\(30>15\)）。よってこの点は領域の頂点ではない。
\(x+3y=15\)と\(y=0\)の交点：\((15,\ 0)\)。他の条件を確認すると\(2x+y=30+0=30\)となり、\(2x+y\le10\)を満たさない（\(30>10\)）。よってこの点も領域の頂点ではない。
\(2x+y=10\)と\(x+3y=15\)の交点：\(y=10-2x\)を代入して\(x+3(10-2x)=15\)、整理すると\(x+30-6x=15\)、\(-5x=-15\)、よって\(x=3\)。このとき\(y=10-2\times3=4\)。交点は\((3,\ 4)\)（検算：\(x+3y=3+12=15\)で成り立つ）。
また、原点\((0,\ 0)\)も\(2x+y=0\le10\)、\(x+3y=0\le15\)をともに満たすので頂点である。
以上、境界の交点を漏れなく確認したうえで、条件を満たさない\((0,\ 10)\)と\((15,\ 0)\)を除外すると、領域は4つの頂点\((0,\ 0)\)、\((5,\ 0)\)、\((3,\ 4)\)、\((0,\ 5)\)を持つ四角形であるとわかる。
目的の式\(x+y\)は\(y=-x+k\)（傾き\(-1\)の直線）とおけるので、この直線を平行移動させていくと、領域に最後まで触れる頂点で最大値、最初に離れる頂点で最小値が実現する。\(x+y\)は\(x,\ y\)について1次式なので、最大値・最小値は必ずこの頂点のいずれかで実現する。各頂点で\(x+y\)の値を計算すると
\((0,0)\to0\) \((5,0)\to5\) \((3,4)\to7\) \((0,5)\to5\)
よって、値が最も大きいのは\((3,\ 4)\)の\(7\)、最も小さいのは\((0,\ 0)\)の\(0\)である。
\(x=3,\ y=4\) のとき最大値 \(7\)、\(x=0,\ y=0\) のとき最小値 \(0\)