軌跡の求め方
「ある条件を満たしながら動く点Pは、どんな図形を描くか」——これが軌跡の問題。解き方はいつも同じ、たったひとつのコツで解ける：動く点を P(x, y) とおいて、条件をそのまま x, y の式に翻訳する。あとは式を整理するだけ。
手順1 動く点を \(P(x,\ y)\) とおく
手順2 与えられた条件を、そのまま \(x,\ y\) の式に書き換える
手順3 式を整理して軌跡の方程式を求める。さらに、除外される点がないか（座標が定義できない場合など）を確認する
例題1 2定点 \(A(-1,\ 3)\)、\(B(5,\ -1)\) から等距離にある点Pの軌跡を求めよ。
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この結果は図形的にも確認できる：2定点から等距離にある点の集合は、中学で習った「線分の垂直二等分線」そのもの。実際、\(A,\ B\) の中点は \((2,\ 1)\)、直線ABの傾きは \(\dfrac{-1-3}{5-(-1)}=-\dfrac{2}{3}\) だから、垂直二等分線の傾きはその逆数の符号違いで \(\dfrac{3}{2}\)。求めた式とぴったり一致する。P(x,y)とおいて計算する方法は、図形の性質をすでに知っている場合でも、複雑な条件（比が1:1でないときなど）にそのまま通用するのが強みだ。
比が1:1でないとき——アポロニウスの円
2定点からの距離が「等しい」のではなく「比が一定」の場合、軌跡は直線ではなく円になる。これをアポロニウスの円と呼ぶ。手順はまったく同じ、P(x,y)とおいて式にするだけ。
例題2 2定点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(6,\ 0)\) に対し、\(PA:PB=2:1\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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不等式の表す領域
直線や円の方程式を「\(=\)」から「\(>\)」「\(<\)」に変えると、座標平面はその図形を境界線として2つの領域に分かれる。どちら側が不等式を満たすかは、境界線上にない点を1つ代入して確かめるのがいちばん確実。
直線の上下
直線 \(y=ax+b\) に対して、\(y > ax+b\) は直線より上側（\(y\) 座標が同じ \(x\) での直線上の値より大きい側）、\(y < ax+b\) は下側を表す。不等号に等号がつかない（\(>,\ <\)）ときは境界線自身を含まない、等号つき（\(\ge,\ \le\)）のときは境界線を含む。
円の内外
円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) に対して、\((x-a)^2+(y-b)^2 < r^2\) は円の内部、\((x-a)^2+(y-b)^2 > r^2\) は円の外部を表す。判定は「中心からの距離が半径より小さいか大きいか」そのもの。
連立不等式の領域
不等式が2つ以上組み合わさった連立不等式の表す領域は、それぞれの不等式が表す領域の共通部分（重なる部分）。1つずつ領域を図示して、全部が重なっているところを探せばよい。
例題 連立不等式 \(y > x-1\)、\(y < -x+5\) の表す領域を図示せよ。
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領域における最大値・最小値
「連立不等式の表す領域内で、\(x+y\) の最大値・最小値を求めよ」——このタイプの問題は、\(x+y=k\) とおいて、\(k\) の値を変えながら直線 \(y=-x+k\) を平行移動させるとイメージすると解ける。切片 \(k\) が最大・最小になるのは、直線が領域の頂点を通過するとき。
例題 連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+2y \le 8\)、\(3x+y \le 9\) の表す領域において、\(x+y\) の最大値と最小値を求めよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。○×で答える問題は全角のまま入力してよい。記述問題は「解説を見る」で自分の答え合わせをしよう。
点 \(A(2,\ 0)\) から距離が \(3\) である点Pの軌跡を求めよ。中心の座標と半径を答えよ。
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2定点 \(A(-3,\ 0)\)、\(B(5,\ 0)\) から等距離にある点Pの軌跡は、直線 \(x=\) いくつか。
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2定点 \(A(0,\ -2)\)、\(B(0,\ 4)\) から等距離にある点Pの軌跡は、直線 \(y=\) いくつか。
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不等式 \(y > 2x-1\) の表す領域に、点 \(P(0,\ 3)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
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不等式 \((x-1)^2+(y-2)^2 < 9\) の表す領域に、点 \(Q(4,\ 2)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
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2定点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(9,\ 0)\) に対し、\(PA:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。中心の座標と半径を答えよ。
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連立不等式 \(y \le -x+5\)、\(y \ge x-1\)、\(x \ge 0\) の表す領域に、点 \((2,\ 2)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
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不等式 \((x-3)^2+(y+1)^2 > 25\) の表す領域（円の外部）に、点 \(R(9,\ 2)\) は含まれるか。含まれるなら「○」、含まれないなら「×」を入力せよ。
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2定点 \(A(-1,\ 0)\)、\(B(3,\ 0)\) に対し、\(PA^2+PB^2=26\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。中心の座標と半径を答えよ。
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連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+2y \le 10\)、\(2x+y \le 8\) の表す領域において、\(x+y\) の最大値と最小値を求めよ。
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点 \(A(4,\ 0)\) を通り、傾き \(m\) の直線がある（\(m\) はすべての実数値を取り得る）。この直線と \(y\) 軸との交点を \(Q\) とする。\(m\) の値が変化するとき、線分AQの中点Pの軌跡を求めよ。
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実数 \(x,\ y\) が \(x+y=6\) を満たすとき、\(x^2+y^2\) の最小値を求めよ。（ヒント：\(x^2+y^2\) は原点からの距離の2乗）
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実数 \(x,\ y\) が \((x-2)^2+(y-1)^2 \le 4\) を満たすとき、\(x+2y\) の最大値と最小値を求めよ。
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2定点 \(A(1,\ 2)\)、\(B(4,\ -1)\) に対し、\(PA:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。
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点Pが円 \(x^2+y^2=1\) 上を動くとき、点 \(A(3,\ 4)\) とPの距離の最大値と最小値を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。軌跡と領域を組み合わせた、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
実数 \(x,\ y\) が \((x-3)^2+(y-4)^2 \le 25\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値と最小値を求めよ。
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2定点 \(A(-2,\ 0)\)、\(B(4,\ 0)\) に対し、\(PA:PB=1:2\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。さらに、この軌跡上の点のうち、原点Oからの距離が最大となる点の座標と、そのときの距離を求めよ。
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連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+y \le 6\) の表す領域において、\(x^2+y^2\) の最大値と最小値を求めよ。
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2定点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(8,\ 0)\) に対し、\(PA^2-PB^2=32\) を満たす点Pの軌跡を求めよ。直線 \(x=\) いくつになるか答えよ。
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連立不等式 \(x \ge 0\)、\(y \ge 0\)、\(x+y \le 5\)、\(2x+y \le 8\) の表す領域において、\(3x+4y\) の最大値と最小値を求めよ。