円の方程式

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

円の方程式（標準形と一般形）

中心 \((a, b)\)、半径 \(r\) の円は \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) という式（標準形）で表せる。これは「円周上の点 \((x,y)\) と中心 \((a,b)\) の距離が常に \(r\)」という条件をそのまま式にしたものだ。

標準形　\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) → 中心 \((a, b)\)、半径 \(r\) がそのまま読み取れる。
一般形　\(x^2+y^2+lx+my+n=0\) → \(x\)、\(y\) それぞれを平方完成すると標準形に戻せる。

一般形は展開されて隠れているだけで、中身は標準形と同じ円。平方完成で中心と半径を掘り起こそう。

例題1　円 \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) の中心の座標と半径を求めよ。

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\((x+1)^2=(x-(-1))^2\) なので中心の \(x\) 座標は \(-1\)、\((y-2)^2\) から \(y\) 座標は \(2\)。半径は \(9=3^2\) より \(3\)。 中心 \((-1,\ 2)\)、半径 \(3\)

例題2　円 \(x^2+y^2-4x+6y-3=0\) の中心の座標と半径を求めよ。

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\(x\) の部分と \(y\) の部分をそれぞれ平方完成する。 \(x^2-4x=(x-2)^2-4\) \(y^2+6y=(y+3)^2-9\) もとの式に代入して \((x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0\) \((x-2)^2+(y+3)^2=16\) 中心 \((2,\ -3)\)、半径 \(4\)
STEP 2

円と直線の位置関係

円の中心から直線までの距離を \(d\)、円の半径を \(r\) とすると、\(d\) と \(r\) の大小関係だけで「交わる・接する・交わらない」が判定できる。点と直線の距離の公式（数II既習）をそのまま使うのがコツ。

点 \((x_0, y_0)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離　\(d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)（中心を代入して使う）

\(d < r\) → 2点で交わる（共有点2個）
\(d = r\) → 接する（共有点1個、接線）
\(d > r\) → 共有点なし（0個）

この判定は「直線の式を円の式に代入してできる \(x\)（または \(y\)）の2次方程式の判別式」で行っても同じ結論になる。距離を使う方法の方が計算が軽いので、まずはこちらに慣れよう。

例題1　円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=2x-5\) の共有点の個数を求めよ。

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中心 \((0,0)\)、半径 \(r=\sqrt5\)。直線を \(2x-y-5=0\) の形にして距離を計算する。 \(d = \dfrac{|2\cdot0-0-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \dfrac{5}{\sqrt5} = \sqrt5\) \(d=r\) なので接する。実際に代入して確かめると \(x^2+(2x-5)^2=5 \ \Rightarrow\ 5x^2-20x+20=0 \ \Rightarrow\ (x-2)^2=0\) となり \(x=2\)（重解）、\(y=-1\)。接点は \((2,-1)\)。 共有点は1個（接する）、接点は \((2,\ -1)\)

例題2　円 \(x^2+y^2=25\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の個数を求め、共有点があれば座標を求めよ。

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中心 \((0,0)\)、半径 \(r=5\)。直線を \(x-y+1=0\) にして距離を計算する。 \(d = \dfrac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt2}\) \(\dfrac{1}{\sqrt2}\approx0.71 < 5\) なので2点で交わる。代入して交点を求めると \(x^2+(x+1)^2=25 \ \Rightarrow\ 2x^2+2x-24=0 \ \Rightarrow\ x^2+x-12=0 \ \Rightarrow\ (x+4)(x-3)=0\) \(x=-4\) のとき \(y=-3\)、\(x=3\) のとき \(y=4\)。 共有点は2個、\((-4,\ -3)\) と \((3,\ 4)\)
STEP 3

円の接線

円周上の1点における接線には便利な公式がある。「接線は、その点と中心を結ぶ半径に垂直」という性質から導かれる式で、いちいち傾きを計算しなくても一発で書ける。

円 \(x^2+y^2=r^2\)（中心が原点）上の点 \((x_1, y_1)\) における接線　\(x_1x+y_1y=r^2\)
円 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（中心 \((a,b)\)）上の点 \((x_1, y_1)\) における接線　\((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\)

例題1　円 \(x^2+y^2=25\) 上の点 \((3, 4)\) における接線の方程式を求めよ。

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公式 \(x_1x+y_1y=r^2\) にそのまま代入する。 \(3x+4y=25\) \(y=\) の形に直すと \(y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{25}{4}\)。 接線の方程式　\(3x+4y=25\)（傾き \(-\dfrac{3}{4}\)、\(y\)切片 \(\dfrac{25}{4}\)）

例題2　円 \((x-2)^2+(y-1)^2=25\) 上の点 \((5, 5)\) における接線の方程式を求めよ。

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中心は \((2,1)\)。公式 \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\) に \((x_1,y_1)=(5,5)\)、\((a,b)=(2,1)\) を代入する。 \((5-2)(x-2)+(5-1)(y-1)=25\) \(3(x-2)+4(y-1)=25\) \(3x-6+4y-4=25\) \(3x+4y=35\) 接線の方程式　\(3x+4y=35\)（傾き \(-\dfrac{3}{4}\)、\(y\)切片 \(\dfrac{35}{4}\)）

円周上にない点や、傾きだけ分かっている直線が接線になる条件を求めたいときは、「未知数を1つ文字でおいた直線」を用意し、中心からその直線までの距離＝半径 という式を立てて解けばよい。STEP2の距離の公式がそのまま活躍する。

例題3　直線 \(y=x+k\) が円 \(x^2+y^2=18\) に接するとき、\(k\) の値を求めよ。

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直線を \(x-y+k=0\) にする。中心 \((0,0)\) からの距離が半径 \(r=\sqrt{18}=3\sqrt2\) に等しいとき接する。 \(d=\dfrac{|k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt2}\) \(\dfrac{|k|}{\sqrt2}=3\sqrt2\) より \(|k|=3\sqrt2\times\sqrt2=6\) \(k=6,\ -6\)
STEP 4

2円の位置関係

2つの円の中心間の距離を \(d\)、半径を \(r_1\)、\(r_2\)（\(r_1 \ge r_2\) とする）とすると、円と直線のときと同じ発想で「\(d\) と \(r_1+r_2\)、\(|r_1-r_2|\) の大小」だけで位置関係が5パターンに分類できる。共通接線（両方の円に接する直線）の本数もセットで覚えておくと、位置関係を式で確認する検算になる。

\(d > r_1+r_2\)　離れている（共有点なし）→ 共通接線 4本
\(d = r_1+r_2\)　外接（外側で1点に接する）→ 共通接線 3本
\(|r_1-r_2| < d < r_1+r_2\)　2点で交わる → 共通接線 2本
\(d = |r_1-r_2|\)（\(r_1\ne r_2\)）　内接（内側で1点に接する）→ 共通接線 1本
\(d < |r_1-r_2|\)　一方が他方の内部にある（共有点なし）→ 共通接線 0本

例題1　円 \(x^2+y^2=4\)（中心 \((0,0)\)、半径 \(2\)）と円 \((x-5)^2+y^2=9\)（中心 \((5,0)\)、半径 \(3\)）の位置関係を調べよ。

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中心間の距離 \(d=5\)。\(r_1+r_2=2+3=5\) なので \(d=r_1+r_2\)。 2円は外接する（外側で1点に接する）。共通接線は3本。

例題2　円 \(x^2+y^2=25\)（中心 \((0,0)\)、半径 \(5\)）と円 \((x-3)^2+y^2=4\)（中心 \((3,0)\)、半径 \(2\)）の位置関係を調べよ。

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中心間の距離 \(d=3\)。\(|r_1-r_2|=|5-2|=3\) なので \(d=|r_1-r_2|\)。 2円は内接する（小さい円が大きい円の内側から1点で接する）。共通接線は1本。
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」、根号は「2√3」または「2sqrt3」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
標準形をそのまま読む

円 \((x-3)^2+(y+2)^2=16\) の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径 \(r=\)
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\((x-3)^2\) から中心の \(x\) 座標は \(3\)、\((y+2)^2=(y-(-2))^2\) から \(y\) 座標は \(-2\)。\(16=4^2\) より半径は \(4\)。 中心 \((3,\ -2)\)、半径 \(4\)
2
標準形をそのまま読む（符号に注意）

円 \((x+5)^2+(y-1)^2=9\) の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径 \(r=\)
解説を見る
\((x+5)^2=(x-(-5))^2\) から中心の \(x\) 座標は \(-5\)、\(y\) 座標は \(1\)。\(9=3^2\) より半径は \(3\)。 中心 \((-5,\ 1)\)、半径 \(3\)
3
一般形→標準形（1文字だけ完成）

円 \(x^2+y^2-6x+8=0\) の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径 \(r=\)
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\(x^2-6x=(x-3)^2-9\)　\(y\) はそのまま。 \((x-3)^2-9+y^2+8=0\) \((x-3)^2+y^2=1\) 中心 \((3,\ 0)\)、半径 \(1\)
4
一般形→標準形（両方完成）

円 \(x^2+y^2+2x-4y-4=0\) の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径 \(r=\)
解説を見る
\(x^2+2x=(x+1)^2-1\) \(y^2-4y=(y-2)^2-4\) \((x+1)^2-1+(y-2)^2-4-4=0\) \((x+1)^2+(y-2)^2=9\) 中心 \((-1,\ 2)\)、半径 \(3\)
5
一般形→標準形

円 \(x^2+y^2-8x+2y+13=0\) の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径 \(r=\)
解説を見る
\(x^2-8x=(x-4)^2-16\) \(y^2+2y=(y+1)^2-1\) \((x-4)^2-16+(y+1)^2-1+13=0\) \((x-4)^2+(y+1)^2=4\) 中心 \((4,\ -1)\)、半径 \(2\)
6
点と直線の距離（円の位置判定の基礎）

点 \((2, 1)\) と直線 \(3x-4y+5=0\) の距離 \(d\) を求めよ。

\(d=\)
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\(d=\dfrac{|3\cdot2-4\cdot1+5|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\dfrac{|6-4+5|}{5}=\dfrac{7}{5}\) \(d=\dfrac{7}{5}\)（\(=1.4\)）
7
円と直線の位置関係（共有点なし）

円 \(x^2+y^2=9\) の中心と直線 \(x+y-6=0\) の距離 \(d\) を求めよ。また、この円と直線の共有点はいくつか。

\(d=\) 　共有点の個数
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中心 \((0,0)\)、半径 \(r=3\)。 \(d=\dfrac{|0+0-6|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2\) \(3\sqrt2\approx4.24 > 3=r\) なので共有点はない。 \(d=3\sqrt2\)、共有点は0個
8
円と直線の位置関係（接する）

円 \(x^2+y^2=25\) の中心と直線 \(3x+4y-25=0\) の距離 \(d\) を求めよ。また、この円と直線の共有点はいくつか。

\(d=\) 　共有点の個数
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中心 \((0,0)\)、半径 \(r=5\)。 \(d=\dfrac{|0+0-25|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{25}{5}=5\) \(d=r\) なので接する（共有点1個）。 \(d=5\)、共有点は1個
標準（9〜14）　※判定は自分で行おう
9

円 \(x^2+y^2=20\) と直線 \(y=x+2\) の共有点の個数を求めよ。また共有点があれば、そのx座標をすべて求めよ（コンマ区切り、順不同）。

共有点の個数 　x座標
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中心 \((0,0)\)、半径 \(r=\sqrt{20}\)。直線を \(x-y+2=0\) にすると \(d=\dfrac{|0-0+2|}{\sqrt2}=\sqrt2\) \(\sqrt2\approx1.41 < \sqrt{20}\approx4.47\) なので2点で交わる。代入すると \(x^2+(x+2)^2=20 \ \Rightarrow\ 2x^2+4x-16=0 \ \Rightarrow\ x^2+2x-8=0 \ \Rightarrow\ (x+4)(x-2)=0\) \(x=-4\)（\(y=-2\)）、\(x=2\)（\(y=4\)）。 共有点2個、\(x=-4,\ 2\)
10

円 \(x^2+y^2=8\) と直線 \(y=-x+4\) の共有点の個数を求めよ。また共有点があれば、その座標を求めよ。

共有点の個数 　接点 \(x=\) 　\(y=\)
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中心 \((0,0)\)、半径 \(r=\sqrt8=2\sqrt2\)。直線を \(x+y-4=0\) にすると \(d=\dfrac{|0+0-4|}{\sqrt2}=\dfrac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2\) \(d=r\) なので接する。代入すると \(x^2+(-x+4)^2=8 \ \Rightarrow\ 2x^2-8x+8=0 \ \Rightarrow\ x^2-4x+4=0 \ \Rightarrow\ (x-2)^2=0\) \(x=2\)、\(y=-2+4=2\)。 共有点1個、接点 \((2,\ 2)\)
11

円 \(x^2+y^2=13\) 上の点 \((3, 2)\) における接線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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公式 \(x_1x+y_1y=r^2\) に \((x_1,y_1)=(3,2)\) を代入する。 \(3x+2y=13\) \(y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{13}{2}\) \(a=-\dfrac{3}{2}\)、\(b=\dfrac{13}{2}\)
12

円 \((x-2)^2+(y-1)^2=25\) 上の点 \((5, 5)\) における接線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
中心 \((2,1)\)。公式 \((x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2\) に \((x_1,y_1)=(5,5)\) を代入する。 \(3(x-2)+4(y-1)=25\) \(3x+4y=35\) \(y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{35}{4}\) \(a=-\dfrac{3}{4}\)、\(b=\dfrac{35}{4}\)
13

直線 \(y=x+k\) が円 \(x^2+y^2=18\) に接するとき、\(k\) の値を求めよ（コンマ区切りで両方入力）。

\(k=\)
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直線を \(x-y+k=0\) にする。中心 \((0,0)\) から半径 \(r=\sqrt{18}=3\sqrt2\) の距離になればよい。 \(d=\dfrac{|k|}{\sqrt2}=3\sqrt2 \ \Rightarrow\ |k|=6\) \(k=6,\ -6\)
14

直線 \(y=2x+k\) が円 \(x^2+y^2=5\) に接するとき、\(k\) の値を求めよ（コンマ区切りで両方入力）。

\(k=\)
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直線を \(2x-y+k=0\) にする。中心 \((0,0)\) から半径 \(r=\sqrt5\) の距離になればよい。 \(d=\dfrac{|k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{|k|}{\sqrt5}=\sqrt5 \ \Rightarrow\ |k|=5\) \(k=5,\ -5\)
挑戦（15〜18）
15
2円の位置関係（外接）

円 \(x^2+y^2=9\)（中心 \((0,0)\)、半径 \(3\)）と円 \((x-7)^2+y^2=16\)（中心 \((7,0)\)、半径 \(4\)）について、中心間の距離 \(d\) と、共通接線の本数を求めよ。

\(d=\) 　共通接線の本数
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中心間の距離 \(d=7\)。\(r_1+r_2=3+4=7\) なので \(d=r_1+r_2\) → 外接。 \(d=7\)、共通接線は3本（外接）
16
2円の位置関係（内接）

円 \(x^2+y^2=25\)（中心 \((0,0)\)、半径 \(5\)）と円 \((x-3)^2+y^2=4\)（中心 \((3,0)\)、半径 \(2\)）について、中心間の距離 \(d\) と、共通接線の本数を求めよ。

\(d=\) 　共通接線の本数
解説を見る
中心間の距離 \(d=3\)。\(|r_1-r_2|=|5-2|=3\) なので \(d=|r_1-r_2|\) → 内接。 \(d=3\)、共通接線は1本（内接）
17
円外の点から引いた2本の接線

点 \((0, 5)\) から円 \(x^2+y^2=9\) に引いた2本の接線の傾きを求めよ（コンマ区切りで両方入力）。

傾き
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点 \((0,5)\) を通る直線は \(y=mx+5\)（\(y\)切片が5）とおける。これを \(mx-y+5=0\) の形にして、中心 \((0,0)\) からの距離が半径 \(r=3\) に等しいとおく。 \(d=\dfrac{|5|}{\sqrt{m^2+1}}=3\) \(\sqrt{m^2+1}=\dfrac{5}{3} \ \Rightarrow\ m^2+1=\dfrac{25}{9} \ \Rightarrow\ m^2=\dfrac{16}{9} \ \Rightarrow\ m=\pm\dfrac{4}{3}\) 傾きは \(\dfrac{4}{3},\ -\dfrac{4}{3}\)
18
総合：一般形の円と直線の交点

円 \(x^2+y^2-2x-4y-20=0\) と直線 \(7x+y-34=0\) の共有点の個数を求めよ。また共有点があれば、そのx座標をすべて求めよ（コンマ区切り、順不同）。

共有点の個数 　x座標
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まず円を標準形にする。 \(x^2-2x=(x-1)^2-1\)、\(y^2-4y=(y-2)^2-4\) \((x-1)^2-1+(y-2)^2-4-20=0 \ \Rightarrow\ (x-1)^2+(y-2)^2=25\)　中心 \((1,2)\)、半径 \(5\)。 直線を \(y=-7x+34\) にして距離を確認する。 \(d=\dfrac{|7\cdot1+2-34|}{\sqrt{7^2+1^2}}=\dfrac{25}{\sqrt{50}}=\dfrac{25}{5\sqrt2}=\dfrac{5}{\sqrt2}\approx3.54 < 5\) よって2点で交わる。円の式に代入して確かめると \((x-1)^2+(-7x+32)^2=25\) \(x^2-2x+1+49x^2-448x+1024=25\) \(50x^2-450x+1000=0 \ \Rightarrow\ x^2-9x+20=0 \ \Rightarrow\ (x-4)(x-5)=0\) \(x=4\)（\(y=6\)）、\(x=5\)（\(y=-1\)）。 共有点2個、\(x=4,\ 5\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。弦・接線の長さや3点を通る円など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
弦の長さ

円 \(x^2+y^2=25\) と直線 \(x-2y+5=0\) が交わってできる弦の長さを求めよ。

弦の長さ
解説を見る
中心 \((0,0)\)、半径 \(r=5\)。中心から直線までの距離を求める。 \(d=\dfrac{|0-0+5|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{5}{\sqrt5}=\sqrt5\) 弦の長さは、中心・弦の中点・弦の端点で直角三角形ができることから \(L=2\sqrt{r^2-d^2}\) で求められる（三平方の定理）。 \(L=2\sqrt{25-5}=2\sqrt{20}=2\times2\sqrt5=4\sqrt5\) 弦の長さ \(4\sqrt5\)
応2
接線の長さ

点 \((7, 1)\) から円 \(x^2+y^2=9\) に引いた接線の長さを求めよ。

接線の長さ
解説を見る
中心 \((0,0)\)、半径 \(r=3\)。外部の点と中心の距離を求める。 \(d=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\) 接点・中心・外部の点を結ぶと、接線は半径に垂直なので直角三角形ができる。三平方の定理より接線の長さ \(L\) は \(L=\sqrt{d^2-r^2}=\sqrt{50-9}=\sqrt{41}\) 接線の長さ \(\sqrt{41}\)
応3
3点を通る円

3点 \(A(0, 0)\)、\(B(6, 0)\)、\(C(0, 8)\) を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

中心 \(x=\) 　\(y=\) 　半径 \(r=\)
解説を見る
円の一般形 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) に3点を代入する。 \(A(0,0)\)：\(F=0\) \(B(6,0)\)：\(36+6D+F=0 \ \Rightarrow\ D=-6\) \(C(0,8)\)：\(64+8E+F=0 \ \Rightarrow\ E=-8\) よって \(x^2+y^2-6x-8y=0\)。平方完成すると \((x-3)^2+(y-4)^2=9+16=25\) 中心 \((3,\ 4)\)、半径 \(5\)
応4
2円の共通接線の長さ

円A（中心 \((0,0)\)、半径 \(2\)）と円B（中心 \((9,0)\)、半径 \(5\)）の共通外接線（2円の外側に接する直線）の長さを求めよ。

共通外接線の長さ
解説を見る
中心間の距離 \(d=9\)。共通外接線の長さ \(L\) は、半径の差 \(|r_1-r_2|\) を使って \(L=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}\) （円Bの半径を \(r_1-r_2=3\) だけ縮めて円Aと同じ半径 \(2\) にそろえ、中心Aから縮めた中心Bまでの距離を斜辺とする直角三角形を考えるとこの式になる。） \(L=\sqrt{9^2-(5-2)^2}=\sqrt{81-9}=\sqrt{72}=6\sqrt2\) 共通外接線の長さ \(6\sqrt2\)
応5
円上の点と定点の距離の最大最小

円 \((x-2)^2+(y-3)^2=16\) 上を点Pが動くとき、定点 \(A(2, -7)\) と点Pの距離の最大値・最小値を求めよ。

最大値 　最小値
解説を見る
円の中心を \(C(2,3)\)、半径 \(r=4\) とする。まず中心Cと定点Aの距離を求める。 \(x\) 座標が同じ \(2\) なので \(AC=|3-(-7)|=10\) 定点Aは円の外部にある（\(AC=10>r=4\)）。点PはCを中心とする半径4の円周上を動くので、APが最大になるのはAとCを結ぶ直線が円と交わる遠い方の点、最小になるのは近い方の点。 最大値 \(=AC+r=10+4=14\) 最小値 \(=AC-r=10-4=6\) 最大値 \(14\)、最小値 \(6\)