直線の方程式

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

直線の方程式（傾きと1点・2点を通る）

直線を1本に決めるには「傾き」と「通る1点」がわかれば十分。あるいは「通る2点」がわかれば、そこから傾きを計算できる。この2つの作り方を身につけよう。

傾き \(m\) と1点 \((x_1,\ y_1)\) を通る直線

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \] これを整理すれば \(y = ax+b\) の形（一般形なら \(ax+by+c=0\)）にできる。

例題1　傾き \(2\)、点 \((1,\ 3)\) を通る直線の方程式を求めよ。

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\(y - y_1 = m(x-x_1)\) に \(m=2,\ x_1=1,\ y_1=3\) を代入する。 \(y - 3 = 2(x - 1)\) \(y = 2x - 2 + 3\) \(y = 2x + 1\)

2点 \((x_1,\ y_1)\)、\((x_2,\ y_2)\) を通る直線

2点がわかっているときは、まず傾き \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) を計算してから、上の「1点を通る」形に戻せばよい。

例題2　2点 \((2,\ -1)\)、\((5,\ 8)\) を通る直線の方程式を求めよ。

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傾き \(m = \dfrac{8-(-1)}{5-2} = \dfrac{9}{3} = 3\) 点 \((2,\ -1)\) を使って \(y - (-1) = 3(x - 2)\) \(y + 1 = 3x - 6\) \(y = 3x - 7\)
注意　2点の \(x\) 座標が等しいとき（例：\((3,\ 1)\)、\((3,\ 5)\)）、傾きの分母が \(0\) になり傾きは定義できない。このときの直線は \(y\) 軸に平行な縦の直線 \(x = 3\) になる（\(y=ax+b\) の形では書けないので注意）。同様に、\(y\) 座標が等しい2点を通る直線は \(x\) 軸に平行な横の直線 \(y = k\) になる。
STEP 2

2直線の平行と垂直

2直線 \(y=m_1x+n_1\)、\(y=m_2x+n_2\) の位置関係は、傾き \(m_1,\ m_2\) だけで判定できる。

平行　\(l_1 \parallel l_2 \iff m_1 = m_2\)（傾きが等しい）
垂直　\(l_1 \perp l_2 \iff m_1 m_2 = -1\)（傾きの積が \(-1\)）

例題1　直線 \(y=2x+1\) に平行で、点 \((3,\ 5)\) を通る直線の方程式を求めよ。

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平行なので傾きは同じ \(m=2\)。 \(y - 5 = 2(x - 3)\) \(y = 2x - 6 + 5\) \(y = 2x - 1\)

例題2　直線 \(y=2x+1\) に垂直で、点 \((3,\ 5)\) を通る直線の方程式を求めよ。

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垂直なので傾きの積が \(-1\)。\(2 \times m = -1\) より \(m = -\dfrac{1}{2}\)。 \(y - 5 = -\dfrac{1}{2}(x - 3)\) \(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} + 5\) \(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{13}{2}\)
注意　縦の直線 \(x=k\) と横の直線 \(y=k'\) は、傾きが定義できないので \(m_1m_2=-1\) の公式は使えない。この2つは常に垂直、縦の直線どうし・横の直線どうしは常に平行、と別枠で覚えておく。
STEP 3

点と直線の距離

点から直線に垂直に下ろした線分の長さを「点と直線の距離」という。1本ずつ垂線を作図しなくても、次の公式で一発で計算できる。

点 \((x_0,\ y_0)\) と直線 \(ax+by+c=0\) の距離 \(d\) は \[ d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \] 直線が \(y=mx+n\) の形のときは、先に \(mx-y+n=0\) の一般形に直してから使う。

例題1　点 \((2,\ 3)\) と直線 \(3x-4y+1=0\) の距離を求めよ。

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公式に \(a=3,\ b=-4,\ c=1,\ x_0=2,\ y_0=3\) を代入する。 \(d = \dfrac{|3\times2 - 4\times3 + 1|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \dfrac{|6-12+1|}{\sqrt{9+16}} = \dfrac{|-5|}{5} = \dfrac{5}{5}\) 距離は \(1\)

例題2　点 \((0,\ 0)\) と直線 \(y=x+2\) の距離を求めよ。

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まず一般形に直す：\(y=x+2 \to x-y+2=0\)（\(a=1,\ b=-1,\ c=2\)）。 \(d = \dfrac{|1\times0 - 1\times0 + 2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2}\) 距離は \(\sqrt{2}\)
手順のまとめ
手順1　直線が \(y=mx+n\) の形なら \(mx-y+n=0\) の一般形に直す
手順2　\(a,\ b,\ c\) と点の座標 \((x_0,\ y_0)\) を公式に代入する
手順3　絶対値をはずしてから、分母の根号を有理化する
STEP 4

2直線の交点を通る直線

2直線 \(l_1,\ l_2\) の交点を通る直線を作りたいとき、いちいち連立方程式を解いて交点の座標を求めなくても、次の式（直線の束）を使うと近道できることがある。ここでは考え方だけ紹介する。

2直線 \(l_1:\ a_1x+b_1y+c_1=0\)、\(l_2:\ a_2x+b_2y+c_2=0\) の交点を通る直線（\(l_2\) 自身を除く）は、定数 \(k\) を使って \[ (a_1x+b_1y+c_1) + k(a_2x+b_2y+c_2) = 0 \] と表せる。この式は \(k\) の値によらず必ず \(l_1,\ l_2\) の交点を通るので、あと1つ別の条件（通る点など）を代入して \(k\) を決めればよい。

例題　2直線 \(l_1:\ x+y-3=0\)、\(l_2:\ x-y-1=0\) の交点と、点 \((0,\ 5)\) を通る直線の方程式を求めよ。

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交点を通る直線は \((x+y-3) + k(x-y-1) = 0\) と表せる。 点 \((0,\ 5)\) を通るので代入すると \((0+5-3) + k(0-5-1) = 0 \to 2 - 6k = 0 \to k = \dfrac{1}{3}\) これを戻して整理する。両辺を3倍すると \(3(x+y-3) + (x-y-1) = 0\) \(3x+3y-9+x-y-1=0\) \(4x+2y-10=0\) \(2x+y-5=0\) \(y = -2x + 5\)（連立方程式で交点 \((2,\ 1)\) を先に求めてから2点を通る直線として解いても同じ答えになる）
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
傾きと1点

傾き \(3\)、点 \((2,\ 1)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(y - 1 = 3(x - 2)\) \(y = 3x - 6 + 1\) \(y = 3x - 5\)
2
2点を通る

2点 \((1,\ 4)\)、\((3,\ 10)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
傾き \(=\dfrac{10-4}{3-1}=\dfrac{6}{2}=3\) \(y - 4 = 3(x - 1)\) \(y = 3x + 1\)
3
2点を通る（傾き負）

2点 \((0,\ 5)\)、\((2,\ 1)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
傾き \(=\dfrac{1-5}{2-0}=\dfrac{-4}{2}=-2\) \(y\) 切片は \((0,5)\) を通るのでそのまま \(5\)。 \(y = -2x + 5\)
4
特殊な直線（x軸に垂直）

点 \((4,\ -2)\) を通り、\(x\) 軸に垂直な直線の方程式を求めよ。

\(x=\)
解説を見る
\(x\) 軸に垂直（\(y\) 軸に平行）な直線は、\(x\) 座標が常に一定の縦の直線になる。 \(x = 4\)
5
傾きが分数

傾き \(-\dfrac{1}{2}\)、点 \((-2,\ 3)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
\(y - 3 = -\dfrac{1}{2}(x - (-2))\) \(y = -\dfrac{1}{2}x - 1 + 3\) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 2\)
6
2点を通る

2点 \((-1,\ -3)\)、\((3,\ 5)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
傾き \(=\dfrac{5-(-3)}{3-(-1)}=\dfrac{8}{4}=2\) \(y - 5 = 2(x - 3)\) \(y = 2x - 1\)
7
特殊な直線（x軸に平行）

点 \((5,\ -3)\) を通り、\(x\) 軸に平行な直線の方程式を求めよ。

\(y=\)
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\(x\) 軸に平行な直線は、\(y\) 座標が常に一定の横の直線になる。 \(y = -3\)
8
一般形から傾き・切片

直線 \(2x+3y-6=0\) の傾きと \(y\) 切片を求めよ。

傾き 　\(y\)切片
解説を見る
\(3y = -2x+6\) \(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\) 傾き \(-\dfrac{2}{3}\)、\(y\)切片 \(2\)
標準（9〜14）　※パターンは自分で判定
9

直線 \(y=3x-2\) に平行で、点 \((2,\ 5)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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平行なので傾きは同じ \(m=3\)。 \(y - 5 = 3(x - 2)\) \(y = 3x - 1\)
10

直線 \(y=-2x+5\) に垂直で、点 \((4,\ 1)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
垂直なので \(-2\times m=-1\) より \(m=\dfrac{1}{2}\)。 \(y - 1 = \dfrac{1}{2}(x - 4)\) \(y = \dfrac{1}{2}x - 2 + 1\) \(y = \dfrac{1}{2}x - 1\)
11

2直線 \(3x-y+2=0\) と \(ax+2y-1=0\) が平行になるように、定数 \(a\) の値を求めよ。

\(a=\)
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\(3x-y+2=0 \to y=3x+2\)（傾き \(3\)） \(ax+2y-1=0 \to y=-\dfrac{a}{2}x+\dfrac{1}{2}\)（傾き \(-\dfrac{a}{2}\)） 平行なので傾きが等しい：\(-\dfrac{a}{2}=3\) \(a=-6\)
12

2直線 \(x+2y-4=0\) と \(ax-y+3=0\) が垂直になるように、定数 \(a\) の値を求めよ。

\(a=\)
解説を見る
\(x+2y-4=0 \to y=-\dfrac{1}{2}x+2\)（傾き \(-\dfrac{1}{2}\)） \(ax-y+3=0 \to y=ax+3\)（傾き \(a\)） 垂直なので傾きの積が \(-1\)：\(-\dfrac{1}{2}\times a=-1\) \(a=2\)
13

点 \((1,\ 2)\) と直線 \(y=x+4\) の距離を求めよ。

距離
解説を見る
一般形に直すと \(x-y+4=0\)（\(a=1,\ b=-1,\ c=4\)）。 \(d=\dfrac{|1\times1-1\times2+4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|1-2+4|}{\sqrt{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\) 距離は \(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
14

点 \((-1,\ 3)\) と直線 \(2x-y-5=0\) の距離を求めよ。

距離
解説を見る
\(a=2,\ b=-1,\ c=-5\) を代入する。 \(d=\dfrac{|2\times(-1)-1\times3-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{|-2-3-5|}{\sqrt{5}}=\dfrac{10}{\sqrt{5}}\) 距離は \(2\sqrt{5}\)
挑戦（15〜18）
15
交点を利用する

2直線 \(x+y-5=0\) と \(2x-y-1=0\) の交点と、点 \((0,\ 0)\) を通る直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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まず2直線の交点を連立方程式で求める。 \(x+y-5=0\)、\(2x-y-1=0\) を辺々加えると \(3x-6=0 \to x=2\)、\(y=5-2=3\)。交点は \((2,\ 3)\)。 交点 \((2,\ 3)\) と原点 \((0,\ 0)\) を通る直線の傾きは \(\dfrac{3-0}{2-0}=\dfrac{3}{2}\)。 原点を通るので切片は \(0\)。 \(y = \dfrac{3}{2}x\)
16
距離の条件から係数を求める（答えは2つ）

直線 \(y=ax-2\) と点 \((0,\ 3)\) との距離が \(\sqrt{5}\) であるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。（複数ある場合はコンマ区切りで入力）

\(a=\)
解説を見る
一般形に直すと \(ax-y-2=0\)。点 \((0,\ 3)\) との距離が \(\sqrt{5}\) なので \(\dfrac{|a\times0-1\times3-2|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}\) \(\dfrac{|-5|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{5} \to \dfrac{5}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{5}\) 両辺に \(\sqrt{a^2+1}\) をかけて整理すると \(\sqrt{a^2+1}=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\) 両辺を2乗して \(a^2+1=5 \to a^2=4\) \(a=2,\ -2\)
17
2点を通る直線と原点との距離

2点 \((2,\ 1)\)、\((5,\ 7)\) を通る直線と、点 \((0,\ 0)\) との距離を求めよ。

距離
解説を見る
傾き \(=\dfrac{7-1}{5-2}=\dfrac{6}{3}=2\)。\(y-1=2(x-2) \to y=2x-3\)、一般形は \(2x-y-3=0\)。 \(d=\dfrac{|2\times0-1\times0-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\) 距離は \(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)
18
三角形の面積（底辺×高さ）

三角形の頂点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(4,\ 2)\)、\(C(1,\ 5)\) について、辺ABを底辺としたときの高さ \(h\)（点Cと直線ABの距離）と、三角形の面積 \(S\) を求めよ。

\(h=\) 　\(S=\)
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直線ABは、2点 \(A(0,0),\ B(4,2)\) を通るので傾き \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)、原点を通るので \(y=\dfrac{1}{2}x\)、一般形は \(x-2y=0\)。 \(h=\dfrac{|1\times1-2\times5+0|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{|1-10|}{\sqrt{5}}=\dfrac{9}{\sqrt{5}}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}\) 底辺ABの長さは \(\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)（三平方の定理）。 \(S=\dfrac{1}{2}\times\text{底辺}\times h=\dfrac{1}{2}\times2\sqrt{5}\times\dfrac{9\sqrt{5}}{5}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{18\times5}{5}=\dfrac{1}{2}\times18\) 高さ \(h=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}\)、面積 \(S=9\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。図形と方程式の総合力を試そう。

応1
3直線が三角形を作らない条件

3直線 \(l_1:\ x+y=4\)、\(l_2:\ 2x-y=-1\)、\(l_3:\ ax+y=6\) が三角形を作らないとき、定数 \(a\) の値をすべて求めよ。（小さい順にコンマ区切りで入力）

\(a=\)
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3直線が三角形を作らないのは、「どれか2本が平行」または「3本とも1点で交わる」ときのいずれか。全部で3通り考えられる。 \(l_1:\ y=-x+4\)（傾き \(-1\)）、\(l_2:\ y=2x+1\)（傾き \(2\)）、\(l_3:\ y=-ax+6\)（傾き \(-a\)） （i）\(l_3 \parallel l_1\) のとき：\(-a=-1 \to a=1\) （ii）\(l_3 \parallel l_2\) のとき：\(-a=2 \to a=-2\) （iii）3直線が1点で交わるとき：まず \(l_1,\ l_2\) の交点を求める。\(x+y=4\)、\(2x-y=-1\) を辺々加えると \(3x=3 \to x=1,\ y=3\)。交点は \((1,\ 3)\)。 \(l_3\) がこの点を通るには \(a\times1+3=6 \to a=3\) 以上をまとめると、平行になる場合が \(a=1,\ -2\)、1点に集まる場合が \(a=3\) の合計3通り。 \(a=-2,\ 1,\ 3\)
応2
点に関して対称な直線

直線 \(l:\ y=2x-3\) を、点 \(A(1,\ 2)\) に関して対称移動した直線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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対称移動後の直線上の点を \((x',\ y')\) とすると、これは \(l\) 上のある点 \((x,\ y)\) と点Aに関して対称。 点Aは中点なので \(x=2\times1-x'=2-x'\)、\(y=2\times2-y'=4-y'\)。 これを \(l\) の式 \(y=2x-3\) に代入する。 \(4-y' = 2(2-x') - 3\) \(4-y' = 4-2x'-3 = 1-2x'\) \(-y' = -3-2x'\) \(y' = 2x'+3\) つまり対称移動後の直線は \(y=2x+3\)（傾きは変わらず、切片だけが変わる）。 検算：\(l\) 上の点 \((0,\ -3)\) の、Aに関する対称点は \((2\times1-0,\ 2\times2-(-3))=(2,\ 7)\)。これは \(y=2x+3\) に \(x=2\) を代入した \(7\) と一致する。 \(y = 2x + 3\)
応3
直線に関して対称な点

点 \(P(1,\ 4)\) の、直線 \(l:\ x-y-1=0\) に関して対称な点 \(P'\) の座標を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
手順1　Pから \(l\) に下ろした垂線の足Hを求める。\(l:\ y=x-1\)（傾き\(1\)）なので、垂線の傾きは \(-1\)。 Pを通り傾き \(-1\) の直線：\(y-4=-1(x-1) \to y=-x+5\) \(l\) との交点：\(x-1=-x+5 \to 2x=6 \to x=3,\ y=2\)。よってH\((3,\ 2)\)。 手順2　HはPとP'の中点なので、\(P'=2H-P\)。 \(x\)座標：\(2\times3-1=5\) \(y\)座標：\(2\times2-4=0\) 検算：PP'の傾きは \(\dfrac{0-4}{5-1}=-1\) で、\(l\)の傾き\(1\)との積が \(-1\)（垂直）になっている。 \(P'(5,\ 0)\)
応4
垂線の足

点 \(Q(4,\ 5)\) から直線 \(m:\ x+2y-4=0\) に下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
解説を見る
\(m:\ y=-\dfrac{1}{2}x+2\)（傾き \(-\dfrac{1}{2}\)）なので、垂線の傾きは \(2\)。 Qを通り傾き\(2\)の直線：\(y-5=2(x-4) \to y=2x-3\) \(m\) との交点を求めるため、\(y=2x-3\) を \(x+2y-4=0\) に代入する。 \(x+2(2x-3)-4=0\) \(x+4x-6-4=0\) \(5x=10 \to x=2,\ y=2\times2-3=1\) 検算：Hが\(m\)上にあること \(2+2\times1-4=0\) を満たす。 \(H(2,\ 1)\)
応5
線分の垂直二等分線

2点 \(A(2,\ 1)\)、\(B(6,\ 5)\) を結ぶ線分ABの垂直二等分線の方程式を \(y=ax+b\) の形で求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
垂直二等分線は「線分ABの中点を通り、ABに垂直な直線」。 中点M \(=\left(\dfrac{2+6}{2},\ \dfrac{1+5}{2}\right)=(4,\ 3)\) ABの傾き \(=\dfrac{5-1}{6-2}=\dfrac{4}{4}=1\) なので、垂直な傾きは \(-1\)。 Mを通り傾き\(-1\)の直線：\(y-3=-1(x-4) \to y=-x+4+3\) \(y = -x + 7\)