2点間の距離
座標平面上の2点の座標がわかれば、三平方の定理（\(a^2+b^2=c^2\)）を使って2点間の距離を計算だけで求められる。図をかかなくても公式一発で出せるのがコツ。
2点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\)、\(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\) について、 \(\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
横の差と縦の差をそれぞれ2乗して足し、ルートをつけるだけ。どちらを1点目・2点目にしても2乗するので符号は関係ない。
例題1 2点 \(\mathrm{A}(2,\ -1)\)、\(\mathrm{B}(-3,\ 3)\) の距離を求めよ。
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例題2 原点 \(\mathrm{O}\) と点 \(\mathrm{A}(3,\ 4)\) の距離を求めよ。
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内分点・外分点
線分ABを「\(m:n\)」の比に分ける点の座標を求める公式。分ける点が線分の内側にあれば内分点、線分の延長線上にあれば外分点。まずは1次元の数直線で仕組みを理解してから、座標平面（2次元）に広げよう。
内分点の公式を数直線で導く
数直線上で \(\mathrm{A}(2)\)、\(\mathrm{B}(8)\) を \(1:2\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) を考える。\(\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=1:2\) なので、線分 \(\mathrm{AB}\) の長さ \(8-2=6\) を \(1:2\) に分けると、\(\mathrm{AP}=6\times\dfrac{1}{1+2}=2\)。よって \(\mathrm{P}=2+2=4\)。実際 \(\mathrm{AP}=4-2=2\)、\(\mathrm{PB}=8-4=4\) で比は \(2:4=1:2\) となり確認できる。
この考え方を一般化すると、数直線上の点 \(\mathrm{A}(a)\)、\(\mathrm{B}(b)\) を \(m:n\) に内分する点の座標 \(p\) は
座標平面（2次元）での内分点
数直線の考え方を \(x\) 座標・\(y\) 座標のそれぞれに独立に当てはめれば、平面上の内分点の公式になる。
2点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\)、\(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\) を結ぶ線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\) に内分する点の座標は \(\left(\dfrac{nx_1+mx_2}{m+n},\ \dfrac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\)
\(x\) 座標・\(y\) 座標を別々に「数直線の内分点公式」に当てはめているだけ、と考えれば覚えやすい。
例題1 2点 \(\mathrm{A}(-2,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(4,\ 7)\) を \(2:1\) に内分する点の座標を求めよ。
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外分点の公式
外分点は「線分の延長線上」で比を分ける点。実は内分点の公式の \(n\) を \(-n\) に置きかえるだけで外分点の公式になる（\(m\ne n\) のときに限る。\(m=n\) だと分母が0になり、外分点は存在しない＝平行になってしまうため）。
2点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\)、\(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\) を結ぶ線分 \(\mathrm{AB}\) を \(m:n\)（\(m\ne n\)）に外分する点の座標は \(\left(\dfrac{-nx_1+mx_2}{m-n},\ \dfrac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)\)
例題2 2点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(5,\ 8)\) を \(3:1\) に外分する点の座標を求めよ。
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\(m=n=1\)（\(1:1\) に内分）のときが「中点」。公式に代入すると 中点の座標 \(=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\) となり、見慣れた中点の公式と一致する。
三角形の重心
三角形の3つの頂点の座標がわかれば、重心の座標は3つの座標をそれぞれ平均するだけで求まる。実はこれも「内分点の公式」の応用になっている。
頂点 \(\mathrm{A}\) から対辺 \(\mathrm{BC}\) の中点 \(\mathrm{M}\) に引いた線分を「中線」という。三角形の重心 \(\mathrm{G}\) は、この中線を頂点側から \(\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1\) に内分する点にあたる（3本の中線がこの点で交わることは数Aで学んだ通り）。
3点 \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\)、\(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\)、\(\mathrm{C}(x_3,\ y_3)\) を頂点とする三角形の重心 \(\mathrm{G}\) の座標は \(\left(\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)\)
3つの \(x\) 座標の平均、3つの \(y\) 座標の平均を求めるだけでよい。
例題 3点 \(\mathrm{A}(3,\ 6)\)、\(\mathrm{B}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{C}(6,\ 0)\) を頂点とする三角形の重心 \(\mathrm{G}\) の座標を求めよ。
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対称点
ある点を「軸」や「点」を基準に折り返した（映した）位置にある点を対称点という。折り返す基準によって座標の変わり方にパターンがある。
\(x\) 軸に関して対称：\((a,\ -b)\) ……\(y\) 座標だけ符号が変わる
\(y\) 軸に関して対称：\((-a,\ b)\) ……\(x\) 座標だけ符号が変わる
原点に関して対称：\((-a,\ -b)\) ……両方の符号が変わる
例題1 点 \(\mathrm{A}(4,\ 3)\) について、\(x\) 軸・\(y\) 軸・原点のそれぞれに関する対称点を求めよ。
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点に関する対称点（中点の考え方を逆に使う）
「点 \(\mathrm{C}\) に関して点 \(\mathrm{A}\) と対称な点 \(\mathrm{B}\)」とは、\(\mathrm{C}\) が線分 \(\mathrm{AB}\) の中点になる点のこと。中点の公式を逆向きに使えば \(\mathrm{B}\) の座標を求められる。
例題2 点 \(\mathrm{A}(2,\ 5)\) を、点 \(\mathrm{C}(1,\ -3)\) に関して対称移動した点 \(\mathrm{B}\) の座標を求めよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。座標は \(x\) 欄と \(y\) 欄に分けて入力しよう。分数は「-1/2」のように入力。
2点 \(\mathrm{A}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(3,\ 4)\) の距離を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(4,\ 6)\) の距離を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(2,\ 3)\)、\(\mathrm{B}(8,\ 7)\) の中点 \(\mathrm{M}\) の座標を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(6,\ 9)\) を \(1:2\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(1,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 10)\) を \(2:1\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(4,\ 2)\) を \(3:1\) に外分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
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点 \(\mathrm{A}(3,\ -5)\) の原点に関する対称点の座標を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(-2,\ 3)\)、\(\mathrm{B}(2,\ 0)\) の距離を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(-1,\ -1)\)、\(\mathrm{B}(2,\ 3)\) の距離を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(1,\ 4)\)、\(\mathrm{B}(11,\ -1)\) を \(2:3\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(2,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(5,\ 7)\) を \(1:2\) に外分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
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三角形の頂点 \(\mathrm{A}(2,\ 7)\)、\(\mathrm{B}(-4,\ 1)\)、\(\mathrm{C}(8,\ 1)\) の重心 \(\mathrm{G}\) の座標を求めよ。
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点 \(\mathrm{A}(-1,\ 4)\) を、点 \(\mathrm{C}(2,\ -3)\) に関して対称移動した点 \(\mathrm{B}\) の座標を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(3,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(x,\ 4)\) の距離が \(5\) であるとき、\(x\) の値を求めよ。ただし \(x > 3\) とする。
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点 \(\mathrm{P}(x,\ 0)\) が2点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(5,\ 4)\) から等しい距離にあるとき、\(x\) の値を求めよ。
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2点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(9,\ 10)\) について、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(3:1\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) と、\(3:1\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の座標をそれぞれ求めよ。
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点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\) を、点 \(\mathrm{B}\) に関して対称移動した点が \(\mathrm{C}(7,\ 10)\) であるとき、点 \(\mathrm{B}\) の座標を求めよ。
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重心が \(\mathrm{G}(3,\ 4)\) である三角形の2頂点が \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(2,\ 7)\) であるとき、残りの頂点 \(\mathrm{C}\) の座標を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。内分・外分・重心・対称点を組み合わせて考える、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
点 \(\mathrm{P}\) は直線 \(y=2x\) 上にあり、2点 \(\mathrm{A}(0,\ 3)\)、\(\mathrm{B}(6,\ 1)\) から等しい距離にある。\(\mathrm{P}\) の \(x\) 座標を \(t\) として、\(t\) の値と、そのときの \(\mathrm{P}\) の座標を求めよ。
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四角形 \(\mathrm{ABCD}\) が平行四辺形であるとき、頂点 \(\mathrm{D}\) の座標を求めよ。ただし \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(7,\ 2)\)、\(\mathrm{C}(9,\ 6)\) とする。
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3点 \(\mathrm{A}(2,\ 3)\)、\(\mathrm{B}(6,\ a)\)、\(\mathrm{C}(14,\ 15)\) が一直線上にあるとき、\(a\) の値を求めよ。
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点 \(\mathrm{A}(3,\ 1)\) から点 \(\mathrm{C}(9,\ 9)\) までの距離と等しい距離にあり、\(y\) 座標が \(1\) であるような点 \(\mathrm{B}\) の \(x\) 座標をすべて求めよ。
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点 \(\mathrm{A}(2,\ 5)\) を、点 \(\mathrm{B}(6,\ 1)\) に関して対称移動した点を \(\mathrm{C}\) とする。さらに \(\mathrm{C}\) を \(x\) 軸に関して対称移動した点を \(\mathrm{D}\) とするとき、\(\mathrm{D}\) の座標を求めよ。