等式の証明
「\(A = B\) を証明せよ」という問題では、\(A\) と \(B\) を別々に計算して同じ式にたどり着かせるのが基本方針。実際には左辺 − 右辺 を計算して0になることを示すのがいちばん機械的で失敗しにくい。条件式がついているときは、条件式を使って文字を1つ消去してから比べるのがコツだ。
方針1（差をとる） \(A - B\) を計算して展開・整理し、\(0\) になることを示す。
方針2（文字を消去する） \(a+b=1\) のような条件式があるとき、その条件式で1つの文字を他の文字の式に置き換えてから代入する。
方針2（文字を消去する） \(a+b=1\) のような条件式があるとき、その条件式で1つの文字を他の文字の式に置き換えてから代入する。
例題1 \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) であることを証明せよ。
解答を見る
左辺を展開する。
\((a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab\)
左辺を計算した結果が右辺と一致した。
よって \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\) が成り立つ。
例題2 \(a+b+c=0\) のとき、\(a^3+b^3+c^3 = 3abc\) であることを証明せよ。
解答を見る
条件式 \(a+b+c=0\) から \(c\) を消去する。\(c = -(a+b)\)。
これを左辺に代入する。
\(c^3 = \{-(a+b)\}^3 = -(a+b)^3 = -(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)\)
\(a^3+b^3+c^3 = a^3+b^3 - a^3-3a^2b-3ab^2-b^3 = -3a^2b-3ab^2 = -3ab(a+b)\)
一方、右辺も \(c=-(a+b)\) を代入して計算する。
\(3abc = 3ab \cdot \{-(a+b)\} = -3ab(a+b)\)
左辺・右辺がどちらも \(-3ab(a+b)\) になった。
よって \(a+b+c=0\) のとき \(a^3+b^3+c^3 = 3abc\) が成り立つ。
不等式の証明
「\(A \ge B\) を証明せよ」という問題も、基本は等式のときと同じ発想。差 \(A - B\) を計算して、それが0以上になることを示す。差が平方（2乗）の形に変形できれば、実数を2乗した値は必ず0以上という事実がそのまま使える。
実数の2乗は0以上 実数 \(x\) について \(x^2 \ge 0\)。等号が成り立つのは \(x = 0\) のときだけ。
この事実を使うために、差を平方完成して \((\text{何か})^2 \ge 0\) の形にするのが不等式証明の王道パターン。
この事実を使うために、差を平方完成して \((\text{何か})^2 \ge 0\) の形にするのが不等式証明の王道パターン。
例題1 すべての実数 \(x\) について \(x^2+1 \ge 2x\) であることを証明せよ。
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差をとる。
\((x^2+1) - 2x = x^2-2x+1 = (x-1)^2\)
実数の2乗は必ず0以上なので \((x-1)^2 \ge 0\)。よって \(x^2+1-2x \ge 0\)、すなわち \(x^2+1 \ge 2x\)。
等号は \(x-1=0\)、つまり \(x=1\) のときだけ成り立つ。
\(x^2+1 \ge 2x\)（等号は \(x=1\) のとき）
例題2 実数 \(a,\ b\) について \(a^2+b^2 \ge 2ab\) であることを証明せよ。
解答を見る
差をとる。
\((a^2+b^2) - 2ab = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)
実数の2乗は必ず0以上なので \((a-b)^2 \ge 0\)。よって \(a^2+b^2-2ab \ge 0\)、すなわち \(a^2+b^2 \ge 2ab\)。
等号は \(a-b=0\)、つまり \(a=b\) のときだけ成り立つ。
\(a^2+b^2 \ge 2ab\)（等号は \(a=b\) のとき）
この例題2の不等式 \(a^2+b^2 \ge 2ab\) は、次のSTEP3で学ぶ「相加平均・相乗平均の関係」の土台になる、とても大事な不等式。形をしっかり覚えておこう。
相加平均と相乗平均の関係
2つの正の数 \(a,\ b\) について、足して2で割った「相加平均」\(\dfrac{a+b}{2}\) と、掛けてルートをとった「相乗平均」\(\sqrt{ab}\) の間には、次の関係がいつも成り立つ。
相加平均・相乗平均の関係
\(a>0,\ b>0\) のとき \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)（同じことだが \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)）
等号が成り立つのは \(a=b\) のときだけ。
\(a>0,\ b>0\) のとき \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)（同じことだが \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)）
等号が成り立つのは \(a=b\) のときだけ。
この不等式は、STEP2の例題2 \(a^2+b^2 \ge 2ab\) から導ける。\(a,\ b\) がどちらも正なので、\(\sqrt{a},\ \sqrt{b}\) が実数として定まる。この \(\sqrt{a},\ \sqrt{b}\) を例題2の \(a,\ b\) の代わりに代入すると、 \((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2 \ge 2\sqrt{a}\sqrt{b}\)、つまり \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) が得られる。
使うときの注意
1. \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) が使えるのは \(a>0,\ b>0\)（両方とも正）のときだけ。
2. 「最小値を求めよ」の問題で使ったら、等号成立の条件（そのときの \(a\) や \(x\) の値）を必ず書く。等号を確認しないと、本当に最小値をとれるかどうかがわからない。
1. \(a+b \ge 2\sqrt{ab}\) が使えるのは \(a>0,\ b>0\)（両方とも正）のときだけ。
2. 「最小値を求めよ」の問題で使ったら、等号成立の条件（そのときの \(a\) や \(x\) の値）を必ず書く。等号を確認しないと、本当に最小値をとれるかどうかがわからない。
例題 \(a>0\) のとき、\(a+\dfrac{9}{a}\) の最小値を求めよ。
解答を見る
\(a>0\) より \(\dfrac{9}{a}>0\) なので、相加平均・相乗平均の関係が使える。
\(a+\dfrac{9}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{9}{a}} = 2\sqrt{9} = 6\)
等号が成り立つのは \(a = \dfrac{9}{a}\) のとき。両辺に \(a\) をかけて \(a^2=9\)、\(a>0\) より \(a=3\)。
実際に \(a=3\) を代入すると \(3+\dfrac{9}{3}=3+3=6\) となり、最小値6が実現できることも確認できる。
\(a=3\) のとき最小値 \(6\)
絶対値の不等式とコーシー・シュワルツの不等式
証明の道具をもう2つ紹介しておこう。どちらも「差をとって2乗の形に持ち込む」STEP2の考え方の応用だ。
例題 実数 \(a,\ b\) について \(|a|+|b| \ge |a+b|\) であることを証明せよ。
解答を見る
両辺とも0以上なので、2乗の差で比べる。
\((|a|+|b|)^2 - |a+b|^2 = (a^2+2|a||b|+b^2) - (a^2+2ab+b^2) = 2(|ab|-ab)\)
絶対値の性質より \(|ab| \ge ab\) は常に成り立つ（負の数より絶対値の方が大きいか等しい）ので、\(2(|ab|-ab) \ge 0\)。
よって \((|a|+|b|)^2 \ge |a+b|^2\)。両辺とも0以上だから、2乗して大小が保たれているなら、もとの大小関係もそのまま成り立つ。
\(|a|+|b| \ge |a+b|\)（等号は \(ab \ge 0\) のとき）
コーシー・シュワルツの不等式（紹介）
実数 \(a,\ b,\ x,\ y\) について \((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\)
等号は \(ay=bx\) のとき成り立つ。2種類の量の積の和を評価するときに使える強力な不等式。証明は本ページ末の応用問題（応5）で実際に確認する。
実数 \(a,\ b,\ x,\ y\) について \((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\)
等号は \(ay=bx\) のとき成り立つ。2種類の量の積の和を評価するときに使える強力な不等式。証明は本ページ末の応用問題（応5）で実際に確認する。
証明の進め方（まとめ）
手順1 証明するのは「等式」か「不等式」かを確認する
↓
等式の証明
左辺−右辺を計算し0になることを示す。条件式があれば文字を消去してから比べる
左辺−右辺を計算し0になることを示す。条件式があれば文字を消去してから比べる
不等式の証明
左辺−右辺（大きい方−小さい方）を計算し、平方完成して0以上を示す
左辺−右辺（大きい方−小さい方）を計算し、平方完成して0以上を示す
相加相乗が使える形
「正の数の和」の最小値を問われたら\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)）が使えないか疑う
「正の数の和」の最小値を問われたら\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)）が使えないか疑う
↓
手順2 不等式・相加相乗を使った場合は、等号が成り立つ条件を必ず書き添える
注意 相加相乗平均の関係は \(a>0,\ b>0\)（両方正）でなければ使えない。負の数が混じっている式にそのまま当てはめるのはよくある間違い。使う前に必ず符号を確認しよう。
練習問題（全15問）
数値を入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。証明問題は入力欄がないので「解説を見る」で自分の答案と見比べよう。分数は「3/2」のように入力。
基本（1〜6）
1
等式の証明・展開して比べる
\((a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)\) であることを証明せよ。
解説を見る
左辺を展開する。
\((a+b)^2+(a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2)\)
よって \((a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)\) が成り立つ。
2
相加相乗・基本形
\(a>0\) のとき、\(a+\dfrac{1}{a}\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(a=\)
解説を見る
\(a>0\) より \(\dfrac{1}{a}>0\)。相加平均・相乗平均の関係より
\(a+\dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{1}{a}} = 2\sqrt{1} = 2\)
等号は \(a=\dfrac{1}{a}\)、つまり \(a^2=1\)、\(a>0\) より \(a=1\) のとき。
\(a=1\) のとき最小値 \(2\)
3
相加相乗・分子を変える
\(a>0\) のとき、\(a+\dfrac{4}{a}\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(a=\)
解説を見る
\(a+\dfrac{4}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{4}{a}} = 2\sqrt{4} = 4\)
等号は \(a=\dfrac{4}{a}\)、つまり \(a^2=4\)、\(a>0\) より \(a=2\) のとき。
\(a=2\) のとき最小値 \(4\)
4
不等式の証明・平方完成
すべての実数 \(x\) について \(x^2+4 \ge 4x\) であることを証明せよ。
解説を見る
差をとる。
\((x^2+4)-4x = x^2-4x+4 = (x-2)^2 \ge 0\)
よって \(x^2+4 \ge 4x\)。等号は \(x-2=0\)、つまり \(x=2\) のとき。
\(x^2+4 \ge 4x\)（等号は \(x=2\) のとき）
5
相加相乗・分母が違う数
\(b>0\) のとき、\(b+\dfrac{16}{b}\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(b=\)
解説を見る
\(b+\dfrac{16}{b} \ge 2\sqrt{b\cdot\dfrac{16}{b}} = 2\sqrt{16} = 8\)
等号は \(b=\dfrac{16}{b}\)、つまり \(b^2=16\)、\(b>0\) より \(b=4\) のとき。
\(b=4\) のとき最小値 \(8\)
6
条件つき等式・和と積の公式
\(x+y=5,\ xy=6\) のとき、\(x^2+y^2\) の値を求めよ。
\(x^2+y^2=\)
解説を見る
\(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy\) という等式を使う（右辺を展開すると \(x^2+2xy+y^2-2xy=x^2+y^2\) となり、確かに左辺と一致する等式）。
\(x^2+y^2 = 5^2 - 2\cdot6 = 25-12 = 13\)
\(x^2+y^2 = 13\)
標準（7〜12）
7
\(x>0\) のとき、\(x+\dfrac{9}{x}+5\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
定数の \(+5\) は最小値を考えるときそのまま足しておけばよい。
\(x+\dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6\)（等号は \(x=\dfrac{9}{x}\) より \(x^2=9,\ x>0\) から \(x=3\)）
よって \(x+\dfrac{9}{x}+5 \ge 6+5=11\)。
\(x=3\) のとき最小値 \(11\)
8
\(x>0\) のとき、\(4x+\dfrac{9}{x}\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
2つの項 \(4x\) と \(\dfrac{9}{x}\) に相加平均・相乗平均の関係を使う（どちらも \(x>0\) のとき正）。
\(4x+\dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{4x\cdot\dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{36} = 12\)
等号は \(4x=\dfrac{9}{x}\) のとき。両辺に \(x\) をかけて \(4x^2=9\)、\(x^2=\dfrac{9}{4}\)、\(x>0\) より \(x=\dfrac{3}{2}\)。
\(x=\dfrac{3}{2}\) のとき最小値 \(12\)
9
実数 \(a,\ b\) について \(a^2+b^2 \ge 2(a+b)-2\) であることを証明せよ。
解説を見る
差をとる。
\(\{a^2+b^2\} - \{2(a+b)-2\} = a^2+b^2-2a-2b+2\)
\(a,\ b\) それぞれについて平方完成する。
\(= (a^2-2a+1)+(b^2-2b+1) = (a-1)^2+(b-1)^2\)
2乗の和なので \((a-1)^2+(b-1)^2 \ge 0\)。よって \(a^2+b^2-2(a+b)+2 \ge 0\)、すなわち \(a^2+b^2 \ge 2(a+b)-2\)。
等号は \(a-1=0\) かつ \(b-1=0\)、つまり \(a=b=1\) のとき。
\(a^2+b^2 \ge 2(a+b)-2\)（等号は \(a=b=1\) のとき）
10
\(a>0\) のとき、\(2a+\dfrac{8}{a}\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(a=\)
解説を見る
\(2a+\dfrac{8}{a} \ge 2\sqrt{2a\cdot\dfrac{8}{a}} = 2\sqrt{16} = 8\)
等号は \(2a=\dfrac{8}{a}\) のとき。両辺に \(a\) をかけて \(2a^2=8\)、\(a^2=4\)、\(a>0\) より \(a=2\)。
\(a=2\) のとき最小値 \(8\)
11
\(a+b=8,\ ab=15\) のとき、\((a-b)^2\) の値を求めよ。
\((a-b)^2=\)
解説を見る
\((a-b)^2 = (a+b)^2-4ab\) という等式を使う（右辺を展開すると \(a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) となり左辺と一致する）。
\((a-b)^2 = 8^2-4\cdot15 = 64-60 = 4\)
\((a-b)^2 = 4\)
12
文章題：長方形の周の長さ
面積が \(16\ \text{cm}^2\) の長方形がある。縦の長さを \(a\ \text{cm}\)（\(a>0\)）とするとき、周の長さ \(L\) の最小値を求めよ。
最小値 \(L=\) そのとき \(a=\)
解説を見る
横の長さは \(\dfrac{16}{a}\ \text{cm}\)。周の長さは \(L = 2\left(a+\dfrac{16}{a}\right)\)。
\(a+\dfrac{16}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{16}{a}} = 2\sqrt{16} = 8\)（等号は \(a=\dfrac{16}{a}\) より \(a^2=16,\ a>0\) から \(a=4\)）
よって \(L \ge 2\times8 = 16\)。\(a=4\) のとき横も \(\dfrac{16}{4}=4\) となり正方形になる。
\(a=4\) のとき周の長さの最小値 \(16\ \text{cm}\)
挑戦（13〜15）
13
相加相乗を条件式に使う
正の数 \(a,\ b\) が \(ab=4\) を満たすとき、\(a+b\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(a=b=\)
解説を見る
\(a>0,\ b>0\) なので相加平均・相乗平均の関係が使える。
\(a+b \ge 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{4} = 4\)
等号は \(a=b\) のとき。これと \(ab=4\) を連立すると \(a^2=4\)、\(a>0\) より \(a=2\)、よって \(b=2\)。
実際に \(a=b=2\) を代入すると \(a+b=4\) となり最小値が実現できることも確認できる。
\(a=b=2\) のとき最小値 \(4\)
14
条件つき等式・文字消去
\(a+b+c=0\) のとき、\(a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca)\) であることを証明せよ。
解説を見る
条件式から \(c=-(a+b)\) として消去する。
左辺：\(a^2+b^2+c^2 = a^2+b^2+(a+b)^2 = a^2+b^2+a^2+2ab+b^2 = 2a^2+2ab+2b^2\)
右辺：\(bc+ca = c(a+b) = -(a+b)(a+b) = -(a+b)^2\) なので
\(-2(ab+bc+ca) = -2\{ab-(a+b)^2\} = -2ab+2(a+b)^2 = -2ab+2a^2+4ab+2b^2 = 2a^2+2ab+2b^2\)
左辺・右辺がどちらも \(2a^2+2ab+2b^2\) になった。
よって \(a+b+c=0\) のとき \(a^2+b^2+c^2=-2(ab+bc+ca)\) が成り立つ。
15
3文字の不等式・2乗の和
実数 \(a,\ b,\ c\) について \(a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca\) であることを証明せよ。
解説を見る
両辺を2倍してから差をとる（2倍しても大小関係は変わらない）。
\(2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)\)
\(= (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\)
\(= (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\)
3つの2乗の和なので \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0\)。
よって \(2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca) \ge 0\)、両辺を2で割って \(a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca\)。
等号は \(a-b=0,\ b-c=0,\ c-a=0\) が同時に成り立つとき、つまり \(a=b=c\) のとき。
\(a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca\)（等号は \(a=b=c\) のとき）
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。式を少し変形してから相加相乗を使う問題や、条件つきの本格的な証明に挑戦しよう。
応1
置き換えてから相加相乗
\(x>1\) のとき、\(x+\dfrac{4}{x-1}\) の最小値を求めよ。
最小値 そのとき \(x=\)
解説を見る
\(x-1\) のかたまりが分母にあるので、\(t=x-1\) とおく（\(x>1\) より \(t>0\)）。\(x=t+1\) なので
\(x+\dfrac{4}{x-1} = (t+1)+\dfrac{4}{t} = \left(t+\dfrac{4}{t}\right)+1\)
\(t>0\) なので相加平均・相乗平均の関係より
\(t+\dfrac{4}{t} \ge 2\sqrt{t\cdot\dfrac{4}{t}} = 2\sqrt{4} = 4\)
等号は \(t=\dfrac{4}{t}\) より \(t^2=4,\ t>0\) から \(t=2\)。このとき \(x=t+1=3\)。
よって \(x+\dfrac{4}{x-1} \ge 4+1=5\)。
\(x=3\) のとき最小値 \(5\)
応2
条件つき証明・相加相乗を逆向きに使う
\(a>0,\ b>0,\ a+b=1\) のとき、\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge 4\) であることを証明せよ。
解説を見る
左辺を通分する。
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{1}{ab}\)（条件 \(a+b=1\) を使った）
そこで \(ab\) の範囲を調べる。\(a>0,\ b>0\) なので相加平均・相乗平均の関係より
\(a+b \ge 2\sqrt{ab}\)、条件 \(a+b=1\) を代入して \(1 \ge 2\sqrt{ab}\)、よって \(\sqrt{ab} \le \dfrac{1}{2}\)。
両辺とも0以上なので2乗しても不等号の向きは変わらず \(ab \le \dfrac{1}{4}\)。
\(ab>0\) かつ \(ab \le \dfrac{1}{4}\) なので、逆数をとると不等号の向きが反転して \(\dfrac{1}{ab} \ge 4\)。
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{ab} \ge 4\)（等号は \(a=b=\dfrac{1}{2}\) のとき）
応3
条件つき証明・a²+b²≥2abの応用
実数 \(x,\ y\) が \(x^2+y^2=1\) を満たすとき、\(x+y \le \sqrt{2}\) であることを証明せよ。
等号が成り立つとき \(x=y=\)
解説を見る
\((x+y)^2\) を計算し、条件式を使う。
\((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = (x^2+y^2)+2xy = 1+2xy\)
STEP2の例題2の不等式 \(a^2+b^2 \ge 2ab\) を \(a=x,\ b=y\) として使うと \(x^2+y^2 \ge 2xy\)、条件より \(1 \ge 2xy\)、すなわち \(2xy \le 1\)。
これを代入して \((x+y)^2 = 1+2xy \le 1+1 = 2\)。
\((x+y)^2 \le 2\) より \(-\sqrt2 \le x+y \le \sqrt2\)。特に \(x+y \le \sqrt2\) が成り立つ。
等号が成り立つのは \(2xy=1\) かつ \(x^2+y^2 \ge 2xy\) の等号、つまり \(x=y\) のとき。これと \(x^2+y^2=1\) を連立すると \(2x^2=1\)、\(x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}\)。\(x+y\) を最大にするのは正の方なので \(x=y=\dfrac{\sqrt2}{2}\)。
\(x+y \le \sqrt2\)（等号は \(x=y=\dfrac{\sqrt2}{2}\) のとき）
応4
文章題：面積一定・周の長さ最小
面積が \(100\ \text{m}^2\) の長方形の土地がある。縦の長さを \(a\ \text{m}\)（\(a>0\)）とするとき、周の長さ \(L\) の最小値を求めよ。
最小値 \(L=\) そのとき \(a=\)
解説を見る
横の長さは \(\dfrac{100}{a}\ \text{m}\)。周の長さは \(L=2\left(a+\dfrac{100}{a}\right)\)。
\(a>0\) より \(\dfrac{100}{a}>0\) なので
\(a+\dfrac{100}{a} \ge 2\sqrt{a\cdot\dfrac{100}{a}} = 2\sqrt{100} = 20\)
等号は \(a=\dfrac{100}{a}\) より \(a^2=100,\ a>0\) から \(a=10\)（このとき横も \(10\ \text{m}\) で正方形）。
よって \(L \ge 2\times20 = 40\)。
\(a=10\) のとき周の長さの最小値 \(40\ \text{m}\)
応5
コーシー・シュワルツの不等式の証明
実数 \(a,\ b,\ x,\ y\) について \((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\) であることを証明せよ。
解説を見る
差をとって展開する。
\((a^2+b^2)(x^2+y^2) - (ax+by)^2\)
左の積を展開すると \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\)。
右の2乗を展開すると \((ax+by)^2 = a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)。
差をとると
\((a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2) - (a^2x^2+2abxy+b^2y^2) = a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)
これは \((ay-bx)^2\) の展開形とちょうど一致する（\((ay-bx)^2 = a^2y^2-2abxy+b^2x^2\)）。
実数の2乗は必ず0以上なので \((ay-bx)^2 \ge 0\)。よって
\((a^2+b^2)(x^2+y^2) - (ax+by)^2 \ge 0\)
\((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2\)（等号は \(ay=bx\) のとき）