恒等式

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

恒等式とは？　方程式との違い

「方程式」は特定の \(x\) の値でだけ成り立つ等式。「恒等式」は \(x\) にどんな値を入れても常に成り立つ等式。この違いをはっきり区別できるかが、この単元のスタートライン。

方程式：\(x^2-3x+2=0\) → 成り立つのは \(x=1,\ 2\) の2点だけ（これを「解く」という）
恒等式：\((x+1)^2 = x^2+2x+1\) → \(x\) が何であっても常に成り立つ（これは解くのではなく「確かめる／利用する」対象）
恒等式＝両辺が同じ整式（式として完全に一致している）ということ
STEP 2

係数比較法

2つの整式が恒等式（＝すべての\(x\)で等しい）であるためには、次数がそろった同じ次の項どうしの係数が、両辺ですべて等しい必要がある。これを利用して未知の係数を求めるのが「係数比較法」。

\(ax^2+bx+c = a'x^2+b'x+c'\) が \(x\) についての恒等式\(\iff\)\(a=a',\ b=b',\ c=c'\)（次数がそろっていれば3次式・4次式でも同じ考え方）

例題1　\(x^2+ax+b = (x-2)(x+3)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

解答を見る
右辺を展開して、両辺を \(x\) の次数が高い順に整理する。 \((x-2)(x+3) = x^2+3x-2x-6 = x^2+x-6\) 左辺 \(x^2+ax+b\) と右辺 \(x^2+x-6\) の同じ次数の項の係数を比較する。 \(x\)の係数：\(a=1\) 定数項：\(b=-6\) \(a=1,\ b=-6\)

例題2　\(ax^2+bx+c = 2(x-1)^2+3(x-1)+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

解答を見る
右辺を展開して整理する。 \(2(x-1)^2+3(x-1)+5 = 2(x^2-2x+1)+3x-3+5 = 2x^2-4x+2+3x+2 = 2x^2-x+4\) 左辺 \(ax^2+bx+c\) と右辺 \(2x^2-x+4\) の係数を比較する。 \(x^2\)の係数：\(a=2\) \(x\)の係数：\(b=-1\) 定数項：\(c=4\) \(a=2,\ b=-1,\ c=4\)
STEP 3

数値代入法

未知数に具体的な \(x\) の値をいくつか代入して連立方程式を作り、それを解く方法。特に、式の中に \((x-1)\) のような因数が見えているときは、その因数が \(0\) になる \(x\) を選ぶと計算がぐっと楽になる。

注意（逆確認を忘れずに）　数値代入で求めた値は、あくまで「代入した特定の \(x\) だけ」で成り立つことが確認できたにすぎない。未知数の個数ぶんの式を代入して値を求めたら、もう1つ別の \(x\) の値を代入して、実際にすべての \(x\) で成り立つ恒等式になっているか必ず確かめること。（または両辺を展開して一致することを確認してもよい。）

例題　\(a(x-1)^2+b(x-1)+c = x^2\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

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\((x-1)\)の因数があるので、それが0になる \(x=1\) から代入すると計算が楽になる。 \(x=1\) を代入：\(a(0)^2+b(0)+c = 1^2\) より \(c=1\) \(x=0\) を代入：\(a(-1)^2+b(-1)+c = 0^2\) より \(a-b+c=0\)、\(c=1\) を使って \(a-b=-1\) \(x=2\) を代入：\(a(1)^2+b(1)+c = 2^2\) より \(a+b+c=4\)、\(c=1\) を使って \(a+b=3\) \(a-b=-1\) と \(a+b=3\) を連立して解くと \(a=1,\ b=2\)。\(c=1\) とあわせて、いったんの答えは \(a=1,\ b=2,\ c=1\)。 【逆確認】まだ使っていない \(x=3\) を代入して確かめる。 左辺：\(1\cdot(3-1)^2+2\cdot(3-1)+1 = 4+4+1=9\) 右辺：\(3^2=9\) 一致した！　これで \(x=0,1,2,3\) の4点すべてで成り立つことが確認できた（実際には展開しても \((x-1)^2+2(x-1)+1 = x^2-2x+1+2x-2+1=x^2\) と一致する）。 \(a=1,\ b=2,\ c=1\)
STEP 4

分数式の恒等式

\(\dfrac{3x+5}{x(x+1)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}\) のように分数式どうしの恒等式が出てきたら、両辺に分母をかけて分数を払い、整式の恒等式に直してから係数比較か数値代入で解く。

もとの分数式は \(x=0,\ -1\) では定義されない（分母が0になる）が、分母を払って作った整式の等式は \(x=0,\ -1\) も含めたすべての \(x\) で成り立つ恒等式になる。だからこそ、あえて \(x=0\) や \(x=-1\) を代入して \(A,\ B\) を求めてよい（求めた \(A,\ B\) はもとの分数式にも問題なく使える）。

例題　\(\dfrac{3x+5}{x(x+1)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}\) が成り立つとき、\(A,\ B\) の値を求めよ。

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両辺に \(x(x+1)\) をかけて分母を払う。 \(3x+5 = A(x+1)+Bx\) これは整式の恒等式なので、\(x=0,\ -1\) を代入してよい。 \(x=0\) を代入：\(5 = A(1) = A\) より \(A=5\) \(x=-1\) を代入：\(3(-1)+5=2 = B(-1)\) より \(B=-2\) 【確認】右辺を展開すると \(A(x+1)+Bx = 5(x+1)-2x = 5x+5-2x=3x+5\) となり、左辺の分子と一致する。 \(A=5,\ B=-2\)
係数比較法と数値代入法、どちらを使う？
式の中に \((x-\bigcirc)\) の因数がはっきり見えている・分数式で分母を払った直後 → 数値代入法が速い。
展開した形どうしを比べるだけでよい・因数が見えていない → 係数比較法が素直。
どちらの方法で解いても、最後にたどり着く答えは同じ。慣れるまでは両方試して確かめるとよい。
練習問題（全16問）

\(a,\ b,\ c\) の値を入力して「採点」を押そう。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜6）
1
係数比較（展開して比較）

\(x^2+ax+b = (x+2)(x-5)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\((x+2)(x-5) = x^2-5x+2x-10 = x^2-3x-10\) 係数比較より \(a=-3,\ b=-10\)。 \(a=-3,\ b=-10\)
2
係数比較（xの係数が−a）

\(x^2-ax+b = (x-3)(x-4)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\((x-3)(x-4) = x^2-7x+12\) 係数比較より \(-a=-7\) なので \(a=7\)、\(b=12\)。 \(a=7,\ b=12\)
3
展開してから比較（3つの係数）

\(ax^2+bx+c = 3(x+1)^2\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(3(x+1)^2 = 3(x^2+2x+1) = 3x^2+6x+3\) 係数比較より \(a=3,\ b=6,\ c=3\)。 \(a=3,\ b=6,\ c=3\)
4
展開してから比較

\(ax^2+bx+c = (x-1)(2x+3)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\((x-1)(2x+3) = 2x^2+3x-2x-3 = 2x^2+x-3\) 係数比較より \(a=2,\ b=1,\ c=-3\)。 \(a=2,\ b=1,\ c=-3\)
5
展開してから比較（上に凸の形）

\(ax^2+bx+c = -2(x-2)^2+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(-2(x-2)^2+5 = -2(x^2-4x+4)+5 = -2x^2+8x-8+5 = -2x^2+8x-3\) 係数比較より \(a=-2,\ b=8,\ c=-3\)。 \(a=-2,\ b=8,\ c=-3\)
6
左辺を展開してから比較

\(a(x+1)^2+b = x^2+2x+4\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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左辺を展開する：\(a(x+1)^2+b = a(x^2+2x+1)+b = ax^2+2ax+(a+b)\) 右辺 \(x^2+2x+4\) と係数比較： \(x^2\)の係数：\(a=1\) \(x\)の係数：\(2a=2\)（\(a=1\)と一致・確認OK） 定数項：\(a+b=4\) より \(1+b=4\) なので \(b=3\) \(a=1,\ b=3\)
標準（7〜12）　※係数比較法・数値代入法、どちらで解いてもよい
7

\(a(x-2)+b(x-1) = x+1\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(x=1\) を代入：\(a(-1)+b(0)=2\) より \(a=-2\) \(x=2\) を代入：\(a(0)+b(1)=3\) より \(b=3\) 確認：\(a(x-2)+b(x-1) = -2(x-2)+3(x-1) = -2x+4+3x-3 = x+1\) となり右辺と一致。 \(a=-2,\ b=3\)
8

\(a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c = x^2\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(x=1\) を代入：\(a(0)(-1)+b(0)+c=1\) より \(c=1\) \(x=2\) を代入：\(a(1)(0)+b(1)+c=4\) より \(b+c=4\)、\(c=1\)から \(b=3\) \(x=0\) を代入：\(a(-1)(-2)+b(-1)+c=0\) より \(2a-b+c=0\)、\(b=3,c=1\)から \(2a-3+1=0\) で \(a=1\) 【逆確認】\(x=3\)：左辺 \(1\cdot(2)(1)+3(2)+1=2+6+1=9\)、右辺 \(3^2=9\) で一致。 \(a=1,\ b=3,\ c=1\)
9

\((x+2)(x^2+bx+c) = x^3+3x^2-4\) が恒等式となるとき、\(b,\ c\) の値を求めよ。

\(b=\) 　\(c=\)
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左辺を展開する： \((x+2)(x^2+bx+c) = x^3+bx^2+cx+2x^2+2bx+2c = x^3+(b+2)x^2+(c+2b)x+2c\) 右辺 \(x^3+3x^2+0x-4\) と係数比較： \(x^2\)の係数：\(b+2=3\) より \(b=1\) 定数項：\(2c=-4\) より \(c=-2\) \(x\)の係数の確認：\(c+2b = -2+2=0\)（右辺の\(x\)の係数0と一致） \(b=1,\ c=-2\)
10

\(\dfrac{5}{x(x+5)} = \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+5}\) が成り立つとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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両辺に \(x(x+5)\) をかけて分母を払う：\(5 = a(x+5)+bx\) \(x=0\)：\(5=5a\) より \(a=1\) \(x=-5\)：\(5=-5b\) より \(b=-1\) 確認：\(a(x+5)+bx = (x+5)-x = 5\) で左辺の分子と一致。 \(a=1,\ b=-1\)
11

\(\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}\) が成り立つとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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両辺に \((x-1)(x+2)\) をかけて分母を払う：\(5x+1 = a(x+2)+b(x-1)\) \(x=1\)：\(6=3a\) より \(a=2\) \(x=-2\)：\(-9=-3b\) より \(b=3\) 確認：\(a(x+2)+b(x-1) = 2(x+2)+3(x-1) = 2x+4+3x-3=5x+1\) で一致。 \(a=2,\ b=3\)
12

\(ax^2+bx+c = (x+1)^2-2(x+1)+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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右辺を展開する：\((x+1)^2-2(x+1)+5 = x^2+2x+1-2x-2+5 = x^2+4\) 係数比較より \(a=1,\ b=0,\ c=4\)。 （数値代入で確かめると）\(x=0\)：右辺 \(1-2+5=4\) より \(c=4\)。\(x=1\)：右辺 \(4-4+5=5\) より \(a+b+c=5\)。\(x=-1\)：右辺 \(0-0+5=5\) より \(a-b+c=5\)。\(c=4\)とあわせて解くと \(a=1,\ b=0\) で一致。 \(a=1,\ b=0,\ c=4\)
挑戦（13〜16）
13
数値代入法（因数が0になるxを選ぶ）

\(a(x-1)(x+1)+b(x-1)+c = 2x^2-3x+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(x=1\) を代入：左辺 \(c\)、右辺 \(2-3+5=4\) より \(c=4\) \(x=-1\) を代入：左辺 \(-2b+c\)、右辺 \(2+3+5=10\) より \(-2b+4=10\) で \(b=-3\) \(x=0\) を代入：左辺 \(-a-b+c\)、右辺 \(5\) より \(-a-(-3)+4=5\) で \(-a=-2\)、\(a=2\) 【逆確認】\(x=2\)：左辺 \(2(1)(3)+(-3)(1)+4=6-3+4=7\)、右辺 \(2(4)-6+5=7\) で一致。 \(a=2,\ b=-3,\ c=4\)
14
分数式・3項に分解

\(\dfrac{3x^2-x-2}{x(x-1)(x+1)} = \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}\) が成り立つとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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両辺に \(x(x-1)(x+1)\) をかけて分母を払う： \(3x^2-x-2 = a(x-1)(x+1)+bx(x+1)+cx(x-1)\) \(x=0\)：\(-2 = a(-1)(1) = -a\) より \(a=2\) \(x=1\)：\(0 = b(1)(2) = 2b\) より \(b=0\) \(x=-1\)：\(2 = c(-1)(-2) = 2c\) より \(c=1\) 確認：\(x=2\)を代入すると、左辺 \(3(4)-2-2=8\)、右辺 \(2(1)(3)+0(2)(3)+1(2)(1)=6+0+2=8\) で一致。 \(a=2,\ b=0,\ c=1\)
15
基準をずらした恒等式

\(a(x+2)^2+b(x+2)+c = 3x^2+2x-1\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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左辺を展開する： \(a(x+2)^2+b(x+2)+c = a(x^2+4x+4)+bx+2b+c = ax^2+(4a+b)x+(4a+2b+c)\) 右辺 \(3x^2+2x-1\) と係数比較： \(x^2\)の係数：\(a=3\) \(x\)の係数：\(4a+b=2\) より \(12+b=2\) で \(b=-10\) 定数項：\(4a+2b+c=-1\) より \(12-20+c=-1\) で \(c=7\) 【確認】\(x=-2\)：左辺 \(c=7\)、右辺 \(3(4)+2(-2)-1=12-4-1=7\) で一致。 \(a=3,\ b=-10,\ c=7\)
16
基準をずらした恒等式（最終チェックまで）

\(a(x-1)^2+b(x-1)+c = 3x^2-5x+4\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
解説を見る
左辺を展開する： \(a(x-1)^2+b(x-1)+c = a(x^2-2x+1)+bx-b+c = ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)\) 右辺 \(3x^2-5x+4\) と係数比較： \(x^2\)の係数：\(a=3\) \(x\)の係数：\(-2a+b=-5\) より \(-6+b=-5\) で \(b=1\) 定数項：\(a-b+c=4\) より \(3-1+c=4\) で \(c=2\) 【確認】\(x=1\)：左辺 \(c=2\)、右辺 \(3-5+4=2\) で一致。 \(a=3,\ b=1,\ c=2\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。整式の割り算との融合、対称式の恒等式に挑戦しよう。

応1
割り算との融合（余り＝0の恒等式）

整式 \(x^3+ax+b\) が \((x-1)^2\) で割り切れるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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「割り切れる」とは、割り算の余りが \(0\) であるということ。\(x^3+ax+b\) を \((x-1)^2=x^2-2x+1\) で実際に割り算する。 \(x^3+0x^2+ax+b\) を \(x^2-2x+1\) で割る： 1段目：\(x^3\div x^2=x\)。\(x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\)。引くと \(2x^2+(a-1)x+b\)。 2段目：\(2x^2\div x^2=2\)。\(2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2\)。引くと \((a-1+4)x+(b-2)=(a+3)x+(b-2)\)。 割り切れる（余りが恒等的に0）ためには、余りの整式 \((a+3)x+(b-2)\) が \(x\) についての恒等式として \(0\) にならなければならない。 \(x\)の係数：\(a+3=0\) より \(a=-3\) 定数項：\(b-2=0\) より \(b=2\) \(a=-3,\ b=2\)
応2
割り算との融合（2次式で割る）

整式 \(2x^3+ax^2+bx-3\) が \((x+1)(x-3)\) で割り切れるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\((x+1)(x-3)=x^2-2x-3\) で割り算する。 \(2x^3+ax^2+bx-3\) を \(x^2-2x-3\) で割る： 1段目：\(2x^3\div x^2=2x\)。\(2x(x^2-2x-3)=2x^3-4x^2-6x\)。引くと \((a+4)x^2+(b+6)x-3\)。 2段目：\((a+4)x^2\div x^2=a+4\)。\((a+4)(x^2-2x-3)=(a+4)x^2-2(a+4)x-3(a+4)\)。引くと \(\{(b+6)+2(a+4)\}x+\{-3+3(a+4)\}\) \(=(2a+b+14)x+(3a+9)\)。 割り切れるので余りは恒等的に \(0\)。 定数項：\(3a+9=0\) より \(a=-3\) \(x\)の係数：\(2a+b+14=0\) より \(-6+b+14=0\) で \(b=-8\) \(a=-3,\ b=-8\)
応3
対称式の恒等式

\(x+y=4,\ xy=1\) のとき、恒等式 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) および \((x+y)^3=x^3+3xy(x+y)+y^3\) を利用して、\(x^2+y^2\) と \(x^3+y^3\) の値を求めよ。

\(x^2+y^2=\) 　\(x^3+y^3=\)
解説を見る
恒等式 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) を変形すると \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)。 \(x+y=4,\ xy=1\) を代入：\(x^2+y^2=4^2-2\cdot1=16-2=14\) 恒等式 \((x+y)^3=x^3+3xy(x+y)+y^3\) を変形すると \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)。 \(x^3+y^3=4^3-3\cdot1\cdot4=64-12=52\) \(x^2+y^2=14,\ x^3+y^3=52\)
応4
対称式の恒等式（xyを先に求める）

\(x+y=3,\ x^2+y^2=5\) のとき、恒等式を利用して \(xy\) の値と \(x^3+y^3\) の値を求めよ。

\(xy=\) 　\(x^3+y^3=\)
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恒等式 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) より \(2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)\)。 \(2xy=3^2-5=9-5=4\) より \(xy=2\) 恒等式 \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\) より \(x^3+y^3=3^3-3\cdot2\cdot3=27-18=9\) \(xy=2,\ x^3+y^3=9\)
応5
割り算との融合（4次式・応1の発展）

整式 \(x^4+ax+b\) が \((x+1)^2\) で割り切れるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
解説を見る
\((x+1)^2=x^2+2x+1\) で割り算する。 \(x^4+0x^3+0x^2+ax+b\) を \(x^2+2x+1\) で割る： 1段目：\(x^4\div x^2=x^2\)。\(x^2(x^2+2x+1)=x^4+2x^3+x^2\)。引くと \(-2x^3-x^2+ax+b\)。 2段目：\(-2x^3\div x^2=-2x\)。\(-2x(x^2+2x+1)=-2x^3-4x^2-2x\)。引くと \(3x^2+(a+2)x+b\)。 3段目：\(3x^2\div x^2=3\)。\(3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\)。引くと \((a+2-6)x+(b-3)=(a-4)x+(b-3)\)。 割り切れるので余りは恒等的に \(0\)。 \(x\)の係数：\(a-4=0\) より \(a=4\) 定数項：\(b-3=0\) より \(b=3\) （商は \(x^2-2x+3\) となる。検算：\((x^2+2x+1)(x^2-2x+3)\) を展開すると \(x^4+4x+3\) に一致する。） \(a=4,\ b=3\)