恒等式とは？ 方程式との違い
「方程式」は特定の \(x\) の値でだけ成り立つ等式。「恒等式」は \(x\) にどんな値を入れても常に成り立つ等式。この違いをはっきり区別できるかが、この単元のスタートライン。
方程式：\(x^2-3x+2=0\) → 成り立つのは \(x=1,\ 2\) の2点だけ（これを「解く」という）
恒等式：\((x+1)^2 = x^2+2x+1\) → \(x\) が何であっても常に成り立つ（これは解くのではなく「確かめる／利用する」対象）
恒等式＝両辺が同じ整式（式として完全に一致している）ということ
恒等式：\((x+1)^2 = x^2+2x+1\) → \(x\) が何であっても常に成り立つ（これは解くのではなく「確かめる／利用する」対象）
恒等式＝両辺が同じ整式（式として完全に一致している）ということ
係数比較法
2つの整式が恒等式（＝すべての\(x\)で等しい）であるためには、次数がそろった同じ次の項どうしの係数が、両辺ですべて等しい必要がある。これを利用して未知の係数を求めるのが「係数比較法」。
\(ax^2+bx+c = a'x^2+b'x+c'\) が \(x\) についての恒等式\(\iff\)\(a=a',\ b=b',\ c=c'\)（次数がそろっていれば3次式・4次式でも同じ考え方）
例題1 \(x^2+ax+b = (x-2)(x+3)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
解答を見る
右辺を展開して、両辺を \(x\) の次数が高い順に整理する。
\((x-2)(x+3) = x^2+3x-2x-6 = x^2+x-6\)
左辺 \(x^2+ax+b\) と右辺 \(x^2+x-6\) の同じ次数の項の係数を比較する。
\(x\)の係数：\(a=1\)
定数項：\(b=-6\)
\(a=1,\ b=-6\)
例題2 \(ax^2+bx+c = 2(x-1)^2+3(x-1)+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
解答を見る
右辺を展開して整理する。
\(2(x-1)^2+3(x-1)+5 = 2(x^2-2x+1)+3x-3+5 = 2x^2-4x+2+3x+2 = 2x^2-x+4\)
左辺 \(ax^2+bx+c\) と右辺 \(2x^2-x+4\) の係数を比較する。
\(x^2\)の係数：\(a=2\)
\(x\)の係数：\(b=-1\)
定数項：\(c=4\)
\(a=2,\ b=-1,\ c=4\)
数値代入法
未知数に具体的な \(x\) の値をいくつか代入して連立方程式を作り、それを解く方法。特に、式の中に \((x-1)\) のような因数が見えているときは、その因数が \(0\) になる \(x\) を選ぶと計算がぐっと楽になる。
注意（逆確認を忘れずに） 数値代入で求めた値は、あくまで「代入した特定の \(x\) だけ」で成り立つことが確認できたにすぎない。未知数の個数ぶんの式を代入して値を求めたら、もう1つ別の \(x\) の値を代入して、実際にすべての \(x\) で成り立つ恒等式になっているか必ず確かめること。（または両辺を展開して一致することを確認してもよい。）
例題 \(a(x-1)^2+b(x-1)+c = x^2\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
解答を見る
\((x-1)\)の因数があるので、それが0になる \(x=1\) から代入すると計算が楽になる。
\(x=1\) を代入：\(a(0)^2+b(0)+c = 1^2\) より \(c=1\)
\(x=0\) を代入：\(a(-1)^2+b(-1)+c = 0^2\) より \(a-b+c=0\)、\(c=1\) を使って \(a-b=-1\)
\(x=2\) を代入：\(a(1)^2+b(1)+c = 2^2\) より \(a+b+c=4\)、\(c=1\) を使って \(a+b=3\)
\(a-b=-1\) と \(a+b=3\) を連立して解くと \(a=1,\ b=2\)。\(c=1\) とあわせて、いったんの答えは \(a=1,\ b=2,\ c=1\)。
【逆確認】まだ使っていない \(x=3\) を代入して確かめる。
左辺：\(1\cdot(3-1)^2+2\cdot(3-1)+1 = 4+4+1=9\)
右辺：\(3^2=9\)
一致した！ これで \(x=0,1,2,3\) の4点すべてで成り立つことが確認できた（実際には展開しても \((x-1)^2+2(x-1)+1 = x^2-2x+1+2x-2+1=x^2\) と一致する）。
\(a=1,\ b=2,\ c=1\)
分数式の恒等式
\(\dfrac{3x+5}{x(x+1)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}\) のように分数式どうしの恒等式が出てきたら、両辺に分母をかけて分数を払い、整式の恒等式に直してから係数比較か数値代入で解く。
もとの分数式は \(x=0,\ -1\) では定義されない（分母が0になる）が、分母を払って作った整式の等式は \(x=0,\ -1\) も含めたすべての \(x\) で成り立つ恒等式になる。だからこそ、あえて \(x=0\) や \(x=-1\) を代入して \(A,\ B\) を求めてよい（求めた \(A,\ B\) はもとの分数式にも問題なく使える）。
例題 \(\dfrac{3x+5}{x(x+1)} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}\) が成り立つとき、\(A,\ B\) の値を求めよ。
解答を見る
両辺に \(x(x+1)\) をかけて分母を払う。
\(3x+5 = A(x+1)+Bx\)
これは整式の恒等式なので、\(x=0,\ -1\) を代入してよい。
\(x=0\) を代入：\(5 = A(1) = A\) より \(A=5\)
\(x=-1\) を代入：\(3(-1)+5=2 = B(-1)\) より \(B=-2\)
【確認】右辺を展開すると \(A(x+1)+Bx = 5(x+1)-2x = 5x+5-2x=3x+5\) となり、左辺の分子と一致する。
\(A=5,\ B=-2\)
係数比較法と数値代入法、どちらを使う？
式の中に \((x-\bigcirc)\) の因数がはっきり見えている・分数式で分母を払った直後 → 数値代入法が速い。
展開した形どうしを比べるだけでよい・因数が見えていない → 係数比較法が素直。
どちらの方法で解いても、最後にたどり着く答えは同じ。慣れるまでは両方試して確かめるとよい。
式の中に \((x-\bigcirc)\) の因数がはっきり見えている・分数式で分母を払った直後 → 数値代入法が速い。
展開した形どうしを比べるだけでよい・因数が見えていない → 係数比較法が素直。
どちらの方法で解いても、最後にたどり着く答えは同じ。慣れるまでは両方試して確かめるとよい。
練習問題（全16問）
\(a,\ b,\ c\) の値を入力して「採点」を押そう。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜6）
1
係数比較（展開して比較）
\(x^2+ax+b = (x+2)(x-5)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\((x+2)(x-5) = x^2-5x+2x-10 = x^2-3x-10\)
係数比較より \(a=-3,\ b=-10\)。
\(a=-3,\ b=-10\)
2
係数比較（xの係数が−a）
\(x^2-ax+b = (x-3)(x-4)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\((x-3)(x-4) = x^2-7x+12\)
係数比較より \(-a=-7\) なので \(a=7\)、\(b=12\)。
\(a=7,\ b=12\)
3
展開してから比較（3つの係数）
\(ax^2+bx+c = 3(x+1)^2\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
\(3(x+1)^2 = 3(x^2+2x+1) = 3x^2+6x+3\)
係数比較より \(a=3,\ b=6,\ c=3\)。
\(a=3,\ b=6,\ c=3\)
4
展開してから比較
\(ax^2+bx+c = (x-1)(2x+3)\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
\((x-1)(2x+3) = 2x^2+3x-2x-3 = 2x^2+x-3\)
係数比較より \(a=2,\ b=1,\ c=-3\)。
\(a=2,\ b=1,\ c=-3\)
5
展開してから比較（上に凸の形）
\(ax^2+bx+c = -2(x-2)^2+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
\(-2(x-2)^2+5 = -2(x^2-4x+4)+5 = -2x^2+8x-8+5 = -2x^2+8x-3\)
係数比較より \(a=-2,\ b=8,\ c=-3\)。
\(a=-2,\ b=8,\ c=-3\)
6
左辺を展開してから比較
\(a(x+1)^2+b = x^2+2x+4\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
左辺を展開する：\(a(x+1)^2+b = a(x^2+2x+1)+b = ax^2+2ax+(a+b)\)
右辺 \(x^2+2x+4\) と係数比較：
\(x^2\)の係数：\(a=1\)
\(x\)の係数：\(2a=2\)（\(a=1\)と一致・確認OK）
定数項：\(a+b=4\) より \(1+b=4\) なので \(b=3\)
\(a=1,\ b=3\)
標準（7〜12）
7
\(a(x-2)+b(x-1) = x+1\) が恒等式となるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\(x=1\) を代入：\(a(-1)+b(0)=2\) より \(a=-2\)
\(x=2\) を代入：\(a(0)+b(1)=3\) より \(b=3\)
確認：\(a(x-2)+b(x-1) = -2(x-2)+3(x-1) = -2x+4+3x-3 = x+1\) となり右辺と一致。
\(a=-2,\ b=3\)
8
\(a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c = x^2\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
\(x=1\) を代入：\(a(0)(-1)+b(0)+c=1\) より \(c=1\)
\(x=2\) を代入：\(a(1)(0)+b(1)+c=4\) より \(b+c=4\)、\(c=1\)から \(b=3\)
\(x=0\) を代入：\(a(-1)(-2)+b(-1)+c=0\) より \(2a-b+c=0\)、\(b=3,c=1\)から \(2a-3+1=0\) で \(a=1\)
【逆確認】\(x=3\)：左辺 \(1\cdot(2)(1)+3(2)+1=2+6+1=9\)、右辺 \(3^2=9\) で一致。
\(a=1,\ b=3,\ c=1\)
9
\((x+2)(x^2+bx+c) = x^3+3x^2-4\) が恒等式となるとき、\(b,\ c\) の値を求めよ。
\(b=\) \(c=\)
解説を見る
左辺を展開する：
\((x+2)(x^2+bx+c) = x^3+bx^2+cx+2x^2+2bx+2c = x^3+(b+2)x^2+(c+2b)x+2c\)
右辺 \(x^3+3x^2+0x-4\) と係数比較：
\(x^2\)の係数：\(b+2=3\) より \(b=1\)
定数項：\(2c=-4\) より \(c=-2\)
\(x\)の係数の確認：\(c+2b = -2+2=0\)（右辺の\(x\)の係数0と一致）
\(b=1,\ c=-2\)
10
\(\dfrac{5}{x(x+5)} = \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+5}\) が成り立つとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
両辺に \(x(x+5)\) をかけて分母を払う：\(5 = a(x+5)+bx\)
\(x=0\)：\(5=5a\) より \(a=1\)
\(x=-5\)：\(5=-5b\) より \(b=-1\)
確認：\(a(x+5)+bx = (x+5)-x = 5\) で左辺の分子と一致。
\(a=1,\ b=-1\)
11
\(\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{x+2}\) が成り立つとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
両辺に \((x-1)(x+2)\) をかけて分母を払う：\(5x+1 = a(x+2)+b(x-1)\)
\(x=1\)：\(6=3a\) より \(a=2\)
\(x=-2\)：\(-9=-3b\) より \(b=3\)
確認：\(a(x+2)+b(x-1) = 2(x+2)+3(x-1) = 2x+4+3x-3=5x+1\) で一致。
\(a=2,\ b=3\)
12
\(ax^2+bx+c = (x+1)^2-2(x+1)+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
右辺を展開する：\((x+1)^2-2(x+1)+5 = x^2+2x+1-2x-2+5 = x^2+4\)
係数比較より \(a=1,\ b=0,\ c=4\)。
（数値代入で確かめると）\(x=0\)：右辺 \(1-2+5=4\) より \(c=4\)。\(x=1\)：右辺 \(4-4+5=5\) より \(a+b+c=5\)。\(x=-1\)：右辺 \(0-0+5=5\) より \(a-b+c=5\)。\(c=4\)とあわせて解くと \(a=1,\ b=0\) で一致。
\(a=1,\ b=0,\ c=4\)
挑戦（13〜17）
13
数値代入法（因数が0になるxを選ぶ）
\(a(x-1)(x+1)+b(x-1)+c = 2x^2-3x+5\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
\(x=1\) を代入：左辺 \(c\)、右辺 \(2-3+5=4\) より \(c=4\)
\(x=-1\) を代入：左辺 \(-2b+c\)、右辺 \(2+3+5=10\) より \(-2b+4=10\) で \(b=-3\)
\(x=0\) を代入：左辺 \(-a-b+c\)、右辺 \(5\) より \(-a-(-3)+4=5\) で \(-a=-2\)、\(a=2\)
【逆確認】\(x=2\)：左辺 \(2(1)(3)+(-3)(1)+4=6-3+4=7\)、右辺 \(2(4)-6+5=7\) で一致。
\(a=2,\ b=-3,\ c=4\)
14
分数式・3項に分解
\(\dfrac{3x^2-x-2}{x(x-1)(x+1)} = \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x-1}+\dfrac{c}{x+1}\) が成り立つとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
両辺に \(x(x-1)(x+1)\) をかけて分母を払う：
\(3x^2-x-2 = a(x-1)(x+1)+bx(x+1)+cx(x-1)\)
\(x=0\)：\(-2 = a(-1)(1) = -a\) より \(a=2\)
\(x=1\)：\(0 = b(1)(2) = 2b\) より \(b=0\)
\(x=-1\)：\(2 = c(-1)(-2) = 2c\) より \(c=1\)
確認：\(x=2\)を代入すると、左辺 \(3(4)-2-2=8\)、右辺 \(2(1)(3)+0(2)(3)+1(2)(1)=6+0+2=8\) で一致。
\(a=2,\ b=0,\ c=1\)
15
基準をずらした恒等式
\(a(x+2)^2+b(x+2)+c = 3x^2+2x-1\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
左辺を展開する：
\(a(x+2)^2+b(x+2)+c = a(x^2+4x+4)+bx+2b+c = ax^2+(4a+b)x+(4a+2b+c)\)
右辺 \(3x^2+2x-1\) と係数比較：
\(x^2\)の係数：\(a=3\)
\(x\)の係数：\(4a+b=2\) より \(12+b=2\) で \(b=-10\)
定数項：\(4a+2b+c=-1\) より \(12-20+c=-1\) で \(c=7\)
【確認】\(x=-2\)：左辺 \(c=7\)、右辺 \(3(4)+2(-2)-1=12-4-1=7\) で一致。
\(a=3,\ b=-10,\ c=7\)
16
基準をずらした恒等式（最終チェックまで）
\(a(x-1)^2+b(x-1)+c = 3x^2-5x+4\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\) \(c=\)
解説を見る
左辺を展開する：
\(a(x-1)^2+b(x-1)+c = a(x^2-2x+1)+bx-b+c = ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)\)
右辺 \(3x^2-5x+4\) と係数比較：
\(x^2\)の係数：\(a=3\)
\(x\)の係数：\(-2a+b=-5\) より \(-6+b=-5\) で \(b=1\)
定数項：\(a-b+c=4\) より \(3-1+c=4\) で \(c=2\)
【確認】\(x=1\)：左辺 \(c=2\)、右辺 \(3-5+4=2\) で一致。
\(a=3,\ b=1,\ c=2\)
17
比例式の性質（a:b:c=kを用いた比の値の計算）
\(a:b:c = 2:3:4\) のとき、\(\dfrac{a+2b-c}{a-b+2c}\) の値を求めよ。
値 \(=\)
解説を見る
\(a,\ b,\ c\) は具体的な数値ではなく比しか分かっていないので、そのままでは分子・分母の値を計算できない。そこで比例式の性質を使う：\(a:b:c=2:3:4\) であることは、ある共通の数 \(k\)（\(k\neq 0\)）を使って \(a=2k,\ b=3k,\ c=4k\) と表せることと同じである。この \(k\) は単なる共通の倍率なので、最終的な比の値は \(k\) の値によらず一定になるはずである。
これらを分子・分母にそれぞれ代入する：
分子：\(a+2b-c = 2k+2\cdot 3k-4k = 2k+6k-4k = 4k\)
分母：\(a-b+2c = 2k-3k+2\cdot 4k = 2k-3k+8k = 7k\)
よって \(\dfrac{a+2b-c}{a-b+2c} = \dfrac{4k}{7k}\) となる。\(a,\ b,\ c\) は比であり全部が0になることはないので \(k\neq 0\)。よって \(k\) で約分できて \(\dfrac{4k}{7k}=\dfrac{4}{7}\)。
（検算）\(k=1\) のとき \(a=2,\ b=3,\ c=4\)。分子\(=2+6-4=4\)、分母\(=2-3+8=7\) で \(4/7\)。\(k=10\) のとき \(a=20,\ b=30,\ c=40\)。分子\(=20+60-40=40\)、分母\(=20-30+80=70\) で \(40/70=4/7\)。\(k\) の値を変えても同じ値になることが確認できる。
\(\dfrac{4}{7}\)
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。整式の割り算との融合、対称式の恒等式に挑戦しよう。
応1
割り算との融合（余り＝0の恒等式）
整式 \(x^3+ax+b\) が \((x-1)^2\) で割り切れるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
「割り切れる」とは、割り算の余りが \(0\) であるということ。\(x^3+ax+b\) を \((x-1)^2=x^2-2x+1\) で実際に割り算する。
\(x^3+0x^2+ax+b\) を \(x^2-2x+1\) で割る：
1段目：\(x^3\div x^2=x\)。\(x(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x\)。引くと \(2x^2+(a-1)x+b\)。
2段目：\(2x^2\div x^2=2\)。\(2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2\)。引くと \((a-1+4)x+(b-2)=(a+3)x+(b-2)\)。
割り切れる（余りが恒等的に0）ためには、余りの整式 \((a+3)x+(b-2)\) が \(x\) についての恒等式として \(0\) にならなければならない。
\(x\)の係数：\(a+3=0\) より \(a=-3\)
定数項：\(b-2=0\) より \(b=2\)
\(a=-3,\ b=2\)
応2
割り算との融合（2次式で割る）
整式 \(2x^3+ax^2+bx-3\) が \((x+1)(x-3)\) で割り切れるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\((x+1)(x-3)=x^2-2x-3\) で割り算する。
\(2x^3+ax^2+bx-3\) を \(x^2-2x-3\) で割る：
1段目：\(2x^3\div x^2=2x\)。\(2x(x^2-2x-3)=2x^3-4x^2-6x\)。引くと \((a+4)x^2+(b+6)x-3\)。
2段目：\((a+4)x^2\div x^2=a+4\)。\((a+4)(x^2-2x-3)=(a+4)x^2-2(a+4)x-3(a+4)\)。引くと \(\{(b+6)+2(a+4)\}x+\{-3+3(a+4)\}\)
\(=(2a+b+14)x+(3a+9)\)。
割り切れるので余りは恒等的に \(0\)。
定数項：\(3a+9=0\) より \(a=-3\)
\(x\)の係数：\(2a+b+14=0\) より \(-6+b+14=0\) で \(b=-8\)
\(a=-3,\ b=-8\)
応3
対称式の恒等式
\(x+y=4,\ xy=1\) のとき、恒等式 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) および \((x+y)^3=x^3+3xy(x+y)+y^3\) を利用して、\(x^2+y^2\) と \(x^3+y^3\) の値を求めよ。
\(x^2+y^2=\) \(x^3+y^3=\)
解説を見る
恒等式 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) を変形すると \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\)。
\(x+y=4,\ xy=1\) を代入：\(x^2+y^2=4^2-2\cdot1=16-2=14\)
恒等式 \((x+y)^3=x^3+3xy(x+y)+y^3\) を変形すると \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\)。
\(x^3+y^3=4^3-3\cdot1\cdot4=64-12=52\)
\(x^2+y^2=14,\ x^3+y^3=52\)
応4
対称式の恒等式（xyを先に求める）
\(x+y=3,\ x^2+y^2=5\) のとき、恒等式を利用して \(xy\) の値と \(x^3+y^3\) の値を求めよ。
\(xy=\) \(x^3+y^3=\)
解説を見る
恒等式 \((x+y)^2=x^2+2xy+y^2\) より \(2xy=(x+y)^2-(x^2+y^2)\)。
\(2xy=3^2-5=9-5=4\) より \(xy=2\)
恒等式 \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\) より
\(x^3+y^3=3^3-3\cdot2\cdot3=27-18=9\)
\(xy=2,\ x^3+y^3=9\)
応5
割り算との融合（4次式・応1の発展）
整式 \(x^4+ax+b\) が \((x+1)^2\) で割り切れるとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\((x+1)^2=x^2+2x+1\) で割り算する。
\(x^4+0x^3+0x^2+ax+b\) を \(x^2+2x+1\) で割る：
1段目：\(x^4\div x^2=x^2\)。\(x^2(x^2+2x+1)=x^4+2x^3+x^2\)。引くと \(-2x^3-x^2+ax+b\)。
2段目：\(-2x^3\div x^2=-2x\)。\(-2x(x^2+2x+1)=-2x^3-4x^2-2x\)。引くと \(3x^2+(a+2)x+b\)。
3段目：\(3x^2\div x^2=3\)。\(3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3\)。引くと \((a+2-6)x+(b-3)=(a-4)x+(b-3)\)。
割り切れるので余りは恒等的に \(0\)。
\(x\)の係数：\(a-4=0\) より \(a=4\)
定数項：\(b-3=0\) より \(b=3\)
（商は \(x^2-2x+3\) となる。検算：\((x^2+2x+1)(x^2-2x+3)\) を展開すると \(x^4+4x+3\) に一致する。）
\(a=4,\ b=3\)
記述チャレンジ
答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
記1
なぜ「係数比較法」で未知の係数を求めてよいのか、恒等式の定義（方程式との違い）に触れながら説明せよ。
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方程式は特定の \(x\) の値でだけ成り立つ等式だが、恒等式は「\(x\) にどんな値を代入しても常に成り立つ等式」である。これはつまり、恒等式の両辺は「\(x\) の値によって変わる関係」ではなく、そもそも同じ整式であるということを意味する。
整式は、次数がそろった同じ次の項の係数がすべて等しいときに限り、まったく同じ式（同じ整式）になる。たとえば \(x^2+ax+b\) と \(x^2+px+q\) が同じ整式であるためには、\(x^2\)の係数どうし、\(x\)の係数どうし、定数項どうしがそれぞれ一致していなければならない。もしどれか1つでも係数が異なれば、その項の分だけ両辺の値に差が生じてしまい、その差が0にならない \(x\) の値が必ず存在してしまう（両辺が完全に一致するわけではなくなる）。
したがって、ある等式が \(x\) についての恒等式であるという条件と、両辺の同じ次数の項の係数がすべて等しいという条件は、まったく同じことを言い換えたものにすぎない。だからこそ、恒等式の未知の係数を求めるときは、両辺を展開して整理し、同じ次数の項どうしの係数を比較して等式（連立方程式）を作ってよい。これが係数比較法の正当性である。
恒等式とは両辺が同じ整式であるということであり、整式が同じであることと同じ次数の項の係数がすべて一致することは同値だから、係数比較で未知の係数を求めてよい。
記2
\(a(x-2)^2+b(x-2)+c = 2x^2-3x+1\) が恒等式となるとき、\(a,\ b,\ c\) の値を数値代入法で求めよ（最後に別の \(x\) の値で検算すること）。
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基準をずらした形なので、\(x-2=0\) となる \(x=2\) から代入すると計算が楽になる。
\(x=2\) を代入：左辺 \(a(0)^2+b(0)+c=c\)、右辺 \(2(2)^2-3(2)+1=8-6+1=3\) より \(c=3\)
\(x=0\) を代入：左辺 \(a(-2)^2+b(-2)+c=4a-2b+c\)、右辺 \(2(0)^2-3(0)+1=1\) より \(4a-2b+c=1\)、\(c=3\) を使って \(4a-2b=-2\)、すなわち \(2a-b=-1\)（式1）
\(x=3\) を代入：左辺 \(a(1)^2+b(1)+c=a+b+c\)、右辺 \(2(3)^2-3(3)+1=18-9+1=10\) より \(a+b+c=10\)、\(c=3\) を使って \(a+b=7\)（式2）
式1より \(b=2a+1\)。これを式2に代入すると \(a+(2a+1)=7\) より \(3a=6\)、\(a=2\)。このとき \(b=2\times2+1=5\)。
いったんの答えは \(a=2,\ b=5,\ c=3\)。
【逆確認】まだ使っていない \(x=1\) を代入して確かめる。
左辺：\(2(1-2)^2+5(1-2)+3 = 2(1)+5(-1)+3 = 2-5+3=0\)
右辺：\(2(1)^2-3(1)+1 = 2-3+1=0\)
一致した。これで \(x=0,1,2,3\) の4点すべてで成り立つことが確認できた（実際に展開しても \(2(x-2)^2+5(x-2)+3 = 2x^2-8x+8+5x-10+3 = 2x^2-3x+1\) となり右辺と一致する）。よって与式は恒等式となり、
\(a=2,\ b=5,\ c=3\)