整式の割り算・分数式

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

整式の割り算（筆算の手順）

整数の割り算では \(23 = 7 \times 3 + 2\)（割られる数＝割る数×商＋余り）のように書けた。整式でもまったく同じ考え方が成り立つ。整式 \(A\) を整式 \(B\) で割ったときの商を \(Q\)、余りを \(R\) とすると、次の等式がいつでも成り立つ。

割り算の等式
\[A = BQ + R\] ただし、余り \(R\) の次数は割る式 \(B\) の次数より低い（\(B\) が1次式なら \(R\) は定数、\(B\) が2次式なら \(R\) は1次以下）。

筆算の手順は次の4ステップの繰り返し。整数の割り算の筆算と同じ感覚でできる。

手順1　割られる式の最高次の項を、割る式の最高次の項で割り、商の1項を決める
↓
手順2　その項を割る式全体にかけて、割られる式から引く
↓
手順3　引いた結果（次数が下がった式）に対して手順1〜2をくり返す
↓
手順4　残った式の次数が割る式の次数より低くなったら終了。それが余り \(R\)

例題1　\(x^3 - 2x^2 + 3x - 5\) を \(x - 1\) で割った商と余りを求めよ。

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筆算で計算する。 \(x^3 \div x = x^2\)。\(x^2(x-1) = x^3 - x^2\)。引くと \(-2x^2 - (-x^2) = -x^2\)、\(3x\) をおろして \(-x^2 + 3x\)。 \(-x^2 \div x = -x\)。\(-x(x-1) = -x^2 + x\)。引くと \(3x - x = 2x\)、\(-5\) をおろして \(2x - 5\)。 \(2x \div x = 2\)。\(2(x-1) = 2x - 2\)。引くと \(-5 - (-2) = -3\)。次数が0（定数）になったのでここで終了。 商は \(x^2 - x + 2\)、余りは \(-3\)。 検算：\((x-1)(x^2-x+2) + (-3) = x^3 - x^2 + 2x - x^2 + x - 2 - 3 = x^3 - 2x^2 + 3x - 5\)。もとの式と一致する。 商 \(x^2 - x + 2\)、余り \(-3\)

例題2　\(2x^3 + x^2 - 3\) を \(x + 2\) で割った商と余りを求めよ。

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\(x\) の項がない次数は係数0として空けておく：\(2x^3 + x^2 + 0x - 3\)。 \(2x^3 \div x = 2x^2\)。\(2x^2(x+2) = 2x^3 + 4x^2\)。引くと \(x^2 - 4x^2 = -3x^2\)、\(0x\) をおろして \(-3x^2 + 0x\)。 \(-3x^2 \div x = -3x\)。\(-3x(x+2) = -3x^2 - 6x\)。引くと \(0x - (-6x) = 6x\)、\(-3\) をおろして \(6x - 3\)。 \(6x \div x = 6\)。\(6(x+2) = 6x + 12\)。引くと \(-3 - 12 = -15\)。 商は \(2x^2 - 3x + 6\)、余りは \(-15\)。 検算：\((x+2)(2x^2-3x+6) - 15 = 2x^3 - 3x^2 + 6x + 4x^2 - 6x + 12 - 15 = 2x^3 + x^2 - 3\)。一致する。 商 \(2x^2 - 3x + 6\)、余り \(-15\)
STEP 2

割り算の等式の利用

\(A = BQ + R\) という等式は、割り算を最後まで実行しなくても「検算」や「逆算」に使える便利な道具。使い方は主に2つ。

使い方1：商・余りから元の式 \(A\) を逆算する　\(B\)・\(Q\)・\(R\) がわかっていれば、\(A = BQ + R\) を展開して計算するだけで \(A\) が求まる。
使い方2：割り切れる条件から未知の係数を決める　「余りが0」（割り切れる）という条件は、実際に割り算をして出てきた余りの式を0とおくことで、未知の定数の値を決定できる。

例題1　整式 \(A\) を \(x - 3\) で割ると商が \(x^2 + 2x - 1\)、余りが \(4\) であるという。\(A\) を求めよ。

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\(A = BQ + R\) にそのまま代入する。 \(A = (x-3)(x^2+2x-1) + 4\) \((x-3)(x^2+2x-1) = x^3+2x^2-x-3x^2-6x+3 = x^3 - x^2 - 7x + 3\) \(A = x^3 - x^2 - 7x + 3 + 4 = x^3 - x^2 - 7x + 7\) \(A = x^3 - x^2 - 7x + 7\)

例題2　整式 \(x^3 + ax - 4\) が \(x - 2\) で割り切れるように、定数 \(a\) の値を求めよ。また、そのときの商も求めよ。

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\(x^3 + 0x^2 + ax - 4\) を \(x - 2\) で割る（\(a\) は文字のまま計算する）。 \(x^3 \div x = x^2\)。\(x^2(x-2)=x^3-2x^2\)。引くと \(0-(-2x^2)=2x^2\)、\(ax\)をおろして \(2x^2+ax\)。 \(2x^2 \div x = 2x\)。\(2x(x-2)=2x^2-4x\)。引くと \(ax-(-4x)=(a+4)x\)、\(-4\)をおろして \((a+4)x-4\)。 \((a+4)x \div x = a+4\)。\((a+4)(x-2)=(a+4)x-2(a+4)\)。引くと \(-4-(-2(a+4)) = -4+2a+8 = 2a+4\)。 余りは \(2a+4\)。割り切れる（余り0）条件は \(2a+4=0\) より \(a=-2\)。 このとき商は \(x^2+2x+(a+4) = x^2+2x+2\)。 検算：\(a=-2\)のとき元の式は\(x^3-2x-4\)。\((x-2)(x^2+2x+2)=x^3+2x^2+2x-2x^2-4x-4=x^3-2x-4\)。一致する。 \(a = -2\)、商 \(x^2 + 2x + 2\)
STEP 3

分数式の約分・乗除

分数式（分子・分母が整式の式）も、数の分数とまったく同じ規則で計算できる。約分は「分子・分母を因数分解して、共通因数を消す」だけ。乗法・除法も数のときと同じ手順でよい。

約分の手順　1. 分子・分母をそれぞれ因数分解する　2. 共通する因数を消す
乗法　\(\dfrac{A}{B} \times \dfrac{C}{D} = \dfrac{AC}{BD}\)（先に約分できる因数を消してから掛けると計算が楽）
除法　\(\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B} \times \dfrac{D}{C}\)（割る式の分子・分母を入れ替えて掛け算にする）
＊分母を0にする \(x\) の値は考えないものとする（これ以降のすべての分数式で共通）。

例題1　\(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2-1}\) を約分せよ。

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分子：\(x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)\) 分母：\(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) 共通因数 \((x+1)\) を消すと \(\dfrac{x^2+3x+2}{x^2-1} = \dfrac{x+2}{x-1}\)

例題2　\(\dfrac{x-2}{x+4} \times \dfrac{x+4}{x+1}\) を計算せよ。

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分母の \(x+4\) と分子の \(x+4\) が共通なのでそのまま消える。 \(\dfrac{x-2}{x+4} \times \dfrac{x+4}{x+1} = \dfrac{x-2}{x+1}\)

例題3　\(\dfrac{x^2-1}{x+3} \div \dfrac{x-1}{x+3}\) を計算せよ。

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割る式の分子・分母を入れ替えて掛け算に直す。 \(\dfrac{x^2-1}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-1}\) \((x+3)\) と \((x-1)\) が約分できて \(\dfrac{x^2-1}{x+3} \div \dfrac{x-1}{x+3} = x+1\)
STEP 4

分数式の加減（通分）

分母が違う分数式を足したり引いたりするには、数のときと同じく「通分」（分母をそろえる）が必要。分数式の通分では、まず分母を因数分解してから、必要な factor を分子・分母にかけて分母をそろえる。

通分の手順　1. 分母を因数分解する　2. すべての分母に共通する最小の式（最小公分母）を作る　3. 各分数の分子に不足分をかけて分母をそろえる　4. 分子どうしを足し算・引き算する　5. できれば約分する

例題1　\(\dfrac{3}{x+2} + \dfrac{5}{x+2}\) を計算せよ。

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分母がすでに同じなので、分子だけ足せばよい。 \(\dfrac{3}{x+2} + \dfrac{5}{x+2} = \dfrac{8}{x+2}\)

例題2　\(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x-1}\) を計算せよ。

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最小公分母は \((x+1)(x-1)\)。それぞれの分子に不足分をかける。 \(\dfrac{1 \cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}\) \(\dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{-2}{x^2-1}\)

例題3　\(\dfrac{2}{x-3} + \dfrac{1}{x^2-9}\) を計算せよ。

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まず分母を因数分解する：\(x^2-9=(x-3)(x+3)\)。すると最小公分母は \((x-3)(x+3)\) とわかる（\(x-3\) だけの分母にも \((x+3)\) をかければそろう）。 \(\dfrac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \dfrac{1}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{2(x+3)+1}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{2x+6+1}{x^2-9} = \dfrac{2x+7}{x^2-9}\) \(\dfrac{2}{x-3} + \dfrac{1}{x^2-9} = \dfrac{2x+7}{x^2-9}\)
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
整式の割り算（割り切れる）

\(x^3 - 5x^2 + 7x - 3\) を \(x - 1\) で割ったときの商を \(ax^2+bx+c\)、余りを \(R\) とするとき、\(a,\,b,\,c,\,R\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(R=\)
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筆算で計算する。 \(x^3\div x=x^2\)、\(x^2(x-1)=x^3-x^2\)、引いて \(-4x^2\)、\(7x\)をおろして\(-4x^2+7x\)。 \(-4x^2\div x=-4x\)、\(-4x(x-1)=-4x^2+4x\)、引いて\(3x\)、\(-3\)をおろして\(3x-3\)。 \(3x\div x=3\)、\(3(x-1)=3x-3\)、引いて\(0\)。 商 \(x^2-4x+3\)（\(a=1,b=-4,c=3\)）、余り \(R=0\)
2
整式の割り算（余りあり）

\(2x^3 + 3x^2 - 4\) を \(x + 2\) で割ったときの商を \(ax^2+bx+c\)、余りを \(R\) とするとき、\(a,\,b,\,c,\,R\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(R=\)
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\(2x^3+3x^2+0x-4\)として筆算する。 \(2x^2(x+2)=2x^3+4x^2\)、引いて\(-x^2\)。 \(-x(x+2)=-x^2-2x\)、引いて\(2x\)。 \(2(x+2)=2x+4\)、引いて\(-8\)。 商 \(2x^2-x+2\)（\(a=2,b=-1,c=2\)）、余り \(R=-8\)
3
割る式が2次式

\(x^3 + 2x^2 - x + 5\) を \(x^2 - x + 1\) で割ったときの商を \(px+q\)、余りを \(rx+s\) とするとき、\(p,\,q,\,r,\,s\) を求めよ。

\(p=\) 　\(q=\) 　\(r=\) 　\(s=\)
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\(x^3\div x^2=x\)、\(x(x^2-x+1)=x^3-x^2+x\)、引いて\(3x^2-2x\)、\(5\)をおろして\(3x^2-2x+5\)。 \(3x^2\div x^2=3\)、\(3(x^2-x+1)=3x^2-3x+3\)、引いて\(x+2\)。次数がBより低いのでここで終了。 商 \(x+3\)（\(p=1,q=3\)）、余り \(x+2\)（\(r=1,s=2\)）
4
約分

\(\dfrac{x^2-x-6}{x^2-9}\) を約分すると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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分子：\(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\) 分母：\(x^2-9=(x-3)(x+3)\) 共通因数 \((x-3)\) を消す。 \(\dfrac{x^2-x-6}{x^2-9} = \dfrac{x+2}{x+3}\)（\(a=1,b=2,c=1,d=3\)）
5
乗法

\(\dfrac{x+3}{x-2} \times \dfrac{x-2}{x+5}\) を計算すると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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\((x-2)\) が分子・分母で共通なので約分できる。 \(\dfrac{x+3}{x-2} \times \dfrac{x-2}{x+5} = \dfrac{x+3}{x+5}\)（\(a=1,b=3,c=1,d=5\)）
6
除法・結果が整式になる

\(\dfrac{x^2-4}{x+3} \div \dfrac{x-2}{x+3}\) を計算すると \(ax+b\) の形になる。\(a,\,b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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割る式をひっくり返して掛け算に直す。 \(\dfrac{x^2-4}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x+3} \times \dfrac{x+3}{x-2}\) \((x+3)\)と\((x-2)\)が約分できて \(\dfrac{x^2-4}{x+3} \div \dfrac{x-2}{x+3} = x+2\)（\(a=1,b=2\)）
7
通分・加法

\(\dfrac{1}{x+3} + \dfrac{2}{x-1}\) を計算すると \(\dfrac{ax+b}{x^2+cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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最小公分母は \((x+3)(x-1)\)。 \(\dfrac{(x-1)+2(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \dfrac{x-1+2x+6}{(x+3)(x-1)} = \dfrac{3x+5}{x^2+2x-3}\) \(\dfrac{1}{x+3} + \dfrac{2}{x-1} = \dfrac{3x+5}{x^2+2x-3}\)（\(a=3,b=5,c=2,d=-3\)）
標準（8〜14）　※パターンは自分で判定
8
割り算の等式の逆算

整式 \(A\) を \(x + 2\) で割ると商が \(x^2 - 3x + 5\)、余りが \(-1\) であるという。\(A = x^3 + ax^2 + bx + c\) とするとき、\(a,\,b,\,c\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(A = (x+2)(x^2-3x+5) + (-1)\) \((x+2)(x^2-3x+5) = x^3-3x^2+5x+2x^2-6x+10 = x^3-x^2-x+10\) \(A = x^3-x^2-x+10-1 = x^3-x^2-x+9\) \(A = x^3 - x^2 - x + 9\)（\(a=-1,b=-1,c=9\)）
9
割り切れる条件から係数決定

整式 \(x^3 - 2x^2 + kx - 6\) が \(x - 3\) で割り切れるとき、定数 \(k\) の値と、そのときの商 \(x^2+ax+b\) の \(a,\,b\) を求めよ。

\(k=\) 　\(a=\) 　\(b=\)
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\(x^3-2x^2+kx-6\)を\(x-3\)で割ると、商は\(x^2+x+(k+3)\)、余りは\(3k+3\)になる（実際に筆算すると確かめられる）。 割り切れる条件は \(3k+3=0\) より \(k=-1\)。 このとき商は \(x^2+x+2\)（\(k+3=2\)）。 検算：\(k=-1\)のとき\(x^3-2x^2-x-6\)。\((x-3)(x^2+x+2)=x^3+x^2+2x-3x^2-3x-6=x^3-2x^2-x-6\)。一致する。 \(k=-1\)、商 \(x^2+x+2\)（\(a=1,b=2\)）
10
乗法（約分してから掛ける）

\(\dfrac{x^2-1}{x^2-4} \times \dfrac{x-2}{x+1}\) を計算すると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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\(\dfrac{x^2-1}{x^2-4} \times \dfrac{x-2}{x+1} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \times \dfrac{x-2}{x+1}\) \((x+1)\)と\((x-2)\)が約分できて \(\dfrac{x^2-1}{x^2-4} \times \dfrac{x-2}{x+1} = \dfrac{x-1}{x+2}\)（\(a=1,b=-1,c=1,d=2\)）
11
除法・結果が整式になる

\(\dfrac{x^2+2x}{x-3} \div \dfrac{x+2}{x^2-9}\) を計算すると \(ax^2+bx+c\) の形になる。\(a,\,b,\,c\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\)
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\(\dfrac{x^2+2x}{x-3} \times \dfrac{x^2-9}{x+2} = \dfrac{x(x+2)}{x-3} \times \dfrac{(x-3)(x+3)}{x+2}\) \((x-3)\)と\((x+2)\)が約分できて \(x(x+3) = x^2+3x\)。 \(\dfrac{x^2+2x}{x-3} \div \dfrac{x+2}{x^2-9} = x^2+3x\)（\(a=1,b=3,c=0\)）
12
通分・減法

\(\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+2}\) を計算すると \(\dfrac{ax+b}{x^2+cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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最小公分母は \((x-1)(x+2)\)。 \(\dfrac{3(x+2)-2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{3x+6-2x+2}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{x+8}{x^2+x-2}\) \(\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{2}{x+2} = \dfrac{x+8}{x^2+x-2}\)（\(a=1,b=8,c=1,d=-2\)）
13
同分母の加法

\(\dfrac{x+1}{x-2} + \dfrac{3x-1}{x-2}\) を計算すると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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分母が同じなので分子だけ足す。 \(\dfrac{(x+1)+(3x-1)}{x-2} = \dfrac{4x}{x-2}\) \(\dfrac{x+1}{x-2} + \dfrac{3x-1}{x-2} = \dfrac{4x}{x-2}\)（\(a=4,b=0,c=1,d=-2\)）
14
約分（たすき掛けが必要）

\(\dfrac{2x^2-x-1}{2x^2+x-3}\) を約分すると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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分子：\(2x^2-x-1=(2x+1)(x-1)\) 分母：\(2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)\) 共通因数 \((x-1)\) を消す。 \(\dfrac{2x^2-x-1}{2x^2+x-3} = \dfrac{2x+1}{2x+3}\)（\(a=2,b=1,c=2,d=3\)）
挑戦（15〜18）
15
逆算してさらに別の式で割る

整式 \(P(x)\) を \(x^2 - 1\) で割ると商が \(x + 2\)、余りが \(3x + 1\) であるという。\(P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) とするとき \(a,\,b,\,c\) を求めよ。さらに、この \(P(x)\) を \(x - 1\) で割った余り \(R\) を求めよ（実際に割り算をすること）。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(R=\)
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\(P(x) = (x^2-1)(x+2) + (3x+1)\) \((x^2-1)(x+2) = x^3+2x^2-x-2\) \(P(x) = x^3+2x^2-x-2+3x+1 = x^3+2x^2+2x-1\) 次にこの \(P(x)\) を \(x-1\) で割る。 \(x^3\div x=x^2\)、\(x^2(x-1)=x^3-x^2\)、引いて\(3x^2\)、\(2x\)をおろして\(3x^2+2x\)。 \(3x^2\div x=3x\)、\(3x(x-1)=3x^2-3x\)、引いて\(5x\)、\(-1\)をおろして\(5x-1\)。 \(5x\div x=5\)、\(5(x-1)=5x-5\)、引いて\(4\)。 \(P(x)=x^3+2x^2+2x-1\)（\(a=2,b=2,c=-1\)）、\(x-1\)で割った余り \(R=4\)
16
通分・減法（分子が2次式になる）

\(\dfrac{x}{x+1} - \dfrac{2}{x-1}\) を計算すると \(\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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最小公分母は \((x+1)(x-1)=x^2-1\)。 \(\dfrac{x(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{x^2-x-2x-2}{x^2-1} = \dfrac{x^2-3x-2}{x^2-1}\) 分子 \(x^2-3x-2\) は \(x=1,\,x=-1\) を代入しても0にならない（\(1-3-2=-4\)、\(1+3-2=2\)）ので、これ以上約分できない。 \(\dfrac{x}{x+1} - \dfrac{2}{x-1} = \dfrac{x^2-3x-2}{x^2-1}\)（\(a=1,b=-3,c=-2,d=-1\)）
17
4次式を2次式で割る

\(x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 5\) を \((x-1)(x-2)\) で割ったときの商を \(ax^2+bx+c\)、余りを \(px+q\) とするとき、\(a,\,b,\,c,\,p,\,q\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(p=\) 　\(q=\)
解説を見る
割る式は \((x-1)(x-2) = x^2-3x+2\)。 \(x^4 \div x^2 = x^2\)。\(x^2(x^2-3x+2) = x^4-3x^3+2x^2\)。 これを引くと \((x^4-3x^3+2x^2+x-5) - (x^4-3x^3+2x^2) = x-5\)。 \(x-5\) の次数（1次）は割る式の次数（2次）より低いので、ここで終了。 商 \(x^2\)（\(a=1,b=0,c=0\)）、余り \(x-5\)（\(p=1,q=-5\)）
18
乗法・約分の複合（たすき掛け）

\(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-1} \times \dfrac{x+1}{x-3}\) を計算すると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
解説を見る
分子：\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) 分母：\(x^2-1=(x-1)(x+1)\) \(\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+1)} \times \dfrac{x+1}{x-3}\) \((x+1)\)と\((x-3)\)が約分できて \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-1} \times \dfrac{x+1}{x-3} = \dfrac{x-2}{x-1}\)（\(a=1,b=-2,c=1,d=-1\)）
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。部分分数分解や繁分数式など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
部分分数分解の初歩

\(\dfrac{1}{x(x+2)}\) を \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+2}\) の形に分けたい。\(a,\,b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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\(\dfrac{1}{x(x+2)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+2}\) とおいて、右辺を通分すると分子は \(a(x+2)+bx\)。これが左辺の分子 \(1\)（定数）と等しくなるように \(a,b\) を決める。 一番簡単なのは、都合のよい \(x\) の値を代入する方法。 \(x=0\) を代入：\(1 = a(0+2)+b\cdot0 = 2a\) より \(a=\dfrac{1}{2}\) \(x=-2\) を代入：\(1 = a(0)+b(-2) = -2b\) より \(b=-\dfrac{1}{2}\) 検算：\(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+2} = \dfrac{(x+2)-x}{2x(x+2)} = \dfrac{2}{2x(x+2)} = \dfrac{1}{x(x+2)}\)。一致する。 \(a=\dfrac{1}{2},\ b=-\dfrac{1}{2}\)
応2
部分分数分解の応用（和の計算）

\(\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}\) という関係を利用して、\(\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \dfrac{1}{3\cdot4}\) の値を求めよ。

値
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部分分数分解を使うと、各項が「引き算」の形になって途中の項が打ち消し合う（telescoping）。 \(\dfrac{1}{1\cdot2} = \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{2\cdot3} = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{1}{3\cdot4} = \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\) 3つを足すと、\(-\dfrac{1}{2}\)と\(\dfrac{1}{2}\)、\(-\dfrac{1}{3}\)と\(\dfrac{1}{3}\)が消えて \(\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) （検算：直接計算すると \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12} = \dfrac{6}{12}+\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\)。一致する。） \(\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \dfrac{1}{3\cdot4} = \dfrac{3}{4}\)
応3
部分分数分解（分子が定数でない）

\(\dfrac{2x+1}{x(x+1)}\) を \(\dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1}\) の形に分けたい。\(a,\,b\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\)
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右辺を通分すると分子は \(a(x+1)+bx\)。これが \(2x+1\) と等しくなればよい。 \(x=0\) を代入：\(2\cdot0+1=1 = a(0+1)+b\cdot0 = a\) より \(a=1\) \(x=-1\) を代入：\(2(-1)+1=-1 = a\cdot0+b(-1) = -b\) より \(b=1\) 検算：\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1} = \dfrac{(x+1)+x}{x(x+1)} = \dfrac{2x+1}{x(x+1)}\)。一致する。 \(a=1,\ b=1\)
応4
繁分数式

\(\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}\) を簡単にすると \(\dfrac{ax+b}{cx+d}\) の形になる。\(a,\,b,\,c,\,d\) を求めよ。

\(a=\) 　\(b=\) 　\(c=\) 　\(d=\)
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繁分数式は、まず分子・分母それぞれを1つの分数式にまとめてから、割り算として計算するのがコツ。 分子：\(1+\dfrac{1}{x} = \dfrac{x+1}{x}\) 分母：\(1-\dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\) もとの式は \(\dfrac{x+1}{x} \div \dfrac{x-1}{x} = \dfrac{x+1}{x} \times \dfrac{x}{x-1} = \dfrac{x+1}{x-1}\) \(\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \dfrac{x+1}{x-1}\)（\(a=1,b=1,c=1,d=-1\)）
応5
繁分数式（分子分母がそれぞれ和・差）

\(\dfrac{\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}}\) を簡単にすると \(ax\) の形になる。\(a\) を求めよ。

\(a=\)
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分子・分母をそれぞれ通分して1つの分数式にまとめる。 分子：\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{2x}{x^2-1}\) 分母：\(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x-1} = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{-2}{x^2-1}\) もとの式は \(\dfrac{2x}{x^2-1} \div \dfrac{-2}{x^2-1} = \dfrac{2x}{x^2-1} \times \dfrac{x^2-1}{-2} = \dfrac{2x}{-2} = -x\) 与式 \(= -x\)（\(a=-1\)）