3次式の展開・因数分解と二項定理

STEP 1

3次の乗法公式―2次の公式の延長線上にある

数Iで \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を学んだ。3次でも同じように、\((a+b)^3\) を丸ごと展開しなくても使える公式がある。まずは分配法則で公式を導き、確認してから覚えよう。

公式1：\((a+b)^3\) の展開

\((a+b)^3\) を展開し、公式を作れ。

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\((a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)\) と考える。 \((a+b)(a^2+2ab+b^2) = a\times a^2 + a\times 2ab + a\times b^2 + b\times a^2 + b\times 2ab + b\times b^2\) \(= a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\) 同類項をまとめる：\(2a^2b+a^2b = 3a^2b\)、\(ab^2+2ab^2 = 3ab^2\) \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

公式2：\((a-b)^3\) の展開

\((a-b)^3\) を展開せよ。（公式1で \(b\) を \(-b\) に置き換えればよい）

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公式1の \(b\) を \(-b\) に置き換える。 \((a+(-b))^3 = a^3+3a^2(-b)+3a(-b)^2+(-b)^3\) \(= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)

公式1・2（3次の展開）
\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
―― 符号は「＋－＋－」と交互になる。真ん中の2項の係数はどちらも3（2次公式の「2倍」に対応する部分）。

公式3・4：3次式の因数分解 \(a^3\pm b^3\)

展開の公式を逆向きに使うと、3次式の和・差を因数分解できる。まず右辺を展開して左辺と一致することを確かめよう。

\((a+b)(a^2-ab+b^2)\) を展開し、\(a^3+b^3\) になることを確かめよ。

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\((a+b)(a^2-ab+b^2) = a\times a^2 + a\times(-ab) + a\times b^2 + b\times a^2 + b\times(-ab) + b\times b^2\) \(= a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\) \(-a^2b+a^2b=0\)、\(ab^2-ab^2=0\) となり、真ん中の項がすべて打ち消し合う。 \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\)

\((a-b)(a^2+ab+b^2)\) を展開し、\(a^3-b^3\) になることを確かめよ。

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\((a-b)(a^2+ab+b^2) = a\times a^2+a\times ab+a\times b^2 -b\times a^2-b\times ab-b\times b^2\) \(= a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\) \(a^2b-a^2b=0\)、\(ab^2-ab^2=0\) となり、真ん中の項が打ち消し合う。 \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\)

公式3・4（3次式の因数分解）
\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
―― 2つ目のかっこの中は「2乗－積＋2乗」（和のとき）・「2乗＋積＋2乗」（差のとき）。符号が展開の公式と逆になる点に注意しよう。この2つ目のかっこは、これ以上因数分解できない（判別式を計算すると実数の範囲では因数分解できないことが確かめられる）。

STEP 2

二項定理―パスカルの三角形から一般公式へ

\((a+b)^2,\ (a+b)^3,\ (a+b)^4,\ \ldots\) と次数を上げていくと、係数の並びに規則が見える。この規則を「パスカルの三角形」といい、そこから \((a+b)^n\) をどんな \(n\) でも展開できる一般公式「二項定理」が生まれる。

\(n=0\)	1
\(n=1\)	1　　1
\(n=2\)	1　　2　　1
\(n=3\)	1　　3　　3　　1
\(n=4\)	1　　4　　6　　4　　1

各行は「両端が1」「内側の数は真上の2数の和」で作られる（これは既に知っている人も多いはず）。実はこの数はすべて組合せの数 \({}_n\mathrm{C}_r\) に一致する。\(n=4\) の行なら \({}_4\mathrm{C}_0,\ {}_4\mathrm{C}_1,\ {}_4\mathrm{C}_2,\ {}_4\mathrm{C}_3,\ {}_4\mathrm{C}_4\) つまり \(1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1\) だ。

例題　\((a+b)^4\) を、\({}_4\mathrm{C}_r\) を使って展開せよ。

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\((a+b)^4\) を展開すると、\(a\) の次数が \(4\) から \(0\) まで下がり、\(b\) の次数が \(0\) から \(4\) まで上がる5つの項が現れる。各項の係数がパスカルの三角形の \(n=4\) の行に対応する。 \({}_4\mathrm{C}_0=1,\ {}_4\mathrm{C}_1=4,\ {}_4\mathrm{C}_2=6,\ {}_4\mathrm{C}_3=4,\ {}_4\mathrm{C}_4=1\) \((a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\)

二項定理
\(\displaystyle (a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0a^n+{}_n\mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n\mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_ra^{n-r}b^r+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nb^n\)
―― \(a\) の指数と \(b\) の指数の和は常に \(n\)。係数は \({}_n\mathrm{C}_r\)（下の添字 \(r\) は \(b\) の指数と一致）。\(n\) が大きくても、全部書き出さずに1つの項だけ取り出せるのがこの公式の強み。

STEP 3

一般項の利用―特定の項の係数だけを求める

二項定理の中で、\(r+1\) 番目の項 \(T_{r+1} = {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r\) を「一般項」と呼ぶ。全部展開しなくても、一般項の指数を目的の次数に合わせて \(r\) を決めれば、その項の係数だけをピンポイントで求められる。

例題1　\((x+2)^5\) の展開における \(x^3\) の項の係数を求めよ。

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一般項は \(a=x,\ b=2,\ n=5\) として \(T_{r+1} = {}_5\mathrm{C}_r x^{5-r}2^r\)。 \(x^3\) の項がほしいので、指数を合わせる：\(5-r=3\) より \(r=2\)。このときの係数は \({}_5\mathrm{C}_2\times2^2 = 10\times4 = 40\)。 \(x^3\) の項の係数は \(40\)

例題2　\((2x-1)^6\) の展開における \(x^4\) の項の係数を求めよ。

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一般項は \(a=2x,\ b=-1,\ n=6\) として \(T_{r+1} = {}_6\mathrm{C}_r (2x)^{6-r}(-1)^r = {}_6\mathrm{C}_r\,2^{6-r}(-1)^r\,x^{6-r}\)。 \(x^4\) の項がほしいので \(6-r=4\) より \(r=2\)。係数は \({}_6\mathrm{C}_2\times2^4\times(-1)^2 = 15\times16\times1 = 240\)。 \(x^4\) の項の係数は \(240\)

一般項を使う手順
手順1　一般項 \(T_{r+1}={}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r\) を書く（\(a,b,n\) を式に合わせて代入）
手順2　求めたい項の \(x\) の指数と、一般項の \(x\) の指数（\(a\) 側の指数）を等式でつないで \(r\) を決める
手順3　決まった \(r\) を \({}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r\) に代入し、数値部分（係数）だけを計算する

STEP 4

多項定理（紹介）―3つ以上の項がある場合

\((a+b+c)^n\) のように項が3つ以上あるときは、二項定理を拡張した「多項定理」が使える。ここでは考え方だけ紹介する（本格的な扱いは大学レベルになるので、入試では特定の項の係数を求める程度が中心）。

例題　\((a+b+c)^4\) の展開における \(a^2bc\) の項の係数を求めよ。

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\((a+b+c)^4\) を展開すると、各項は \(a^pb^qc^r\)（ただし \(p+q+r=4\)）の形になり、その係数は \(\dfrac{4!}{p!\,q!\,r!}\) で与えられる（多項定理）。 \(a^2bc\) は \(p=2,\ q=1,\ r=1\) の場合。\(p+q+r=2+1+1=4\) で条件を満たす。係数は \(\dfrac{4!}{2!\,1!\,1!} = \dfrac{24}{2\times1\times1} = 12\)。 \(a^2bc\) の項の係数は \(12\)

多項定理（紹介）
\((a+b+c)^n\) の展開において、\(a^pb^qc^r\)（\(p+q+r=n\)）の項の係数は \(\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}\)。
―― 二項定理は「文字が2つ」の特別な場合（\(c\) がない場合）にあたる。分母の \(p!\,q!\,r!\) は、\(p\) 個の \(a\)・\(q\) 個の \(b\)・\(r\) 個の \(c\) を並べる順列を、それぞれの重複ぶんで割ったものと考えるとよい。

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）

公式1：\((a+b)^3\)

\((x+3)^3\) を展開せよ。

\(x^2\)の係数　\(x\)の係数　定数項

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公式1 \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) を \(a=x,\ b=3\) で使う。 \(x^3+3\times x^2\times3+3\times x\times3^2+3^3 = x^3+9x^2+27x+27\) \((x+3)^3 = x^3+9x^2+27x+27\)

公式2：\((a-b)^3\)

\((x-2)^3\) を展開せよ。

\(x^2\)の係数　\(x\)の係数　定数項

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公式2 \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) を \(a=x,\ b=2\) で使う。 \(x^3-3\times x^2\times2+3\times x\times2^2-2^3 = x^3-6x^2+12x-8\) \((x-2)^3 = x^3-6x^2+12x-8\)

公式1の一般形（係数が1でない）

\((2x+1)^3\) を展開せよ。

\(x^3\)の係数　\(x^2\)の係数　\(x\)の係数　定数項

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公式1 \((A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\) を \(A=2x,\ B=1\) で使う。 \((2x)^3+3(2x)^2(1)+3(2x)(1)^2+1^3 = 8x^3+12x^2+6x+1\) \((2x+1)^3 = 8x^3+12x^2+6x+1\)

公式3：\(a^3+b^3\)の因数分解

\(x^3+27\) を \((x+A)(x^2+Bx+C)\) の形に因数分解したとき、\(A,\ B,\ C\) の値を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\)

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\(27=3^3\) なので、公式3 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を \(a=x,\ b=3\) で使う。 \(x^3+3^3 = (x+3)(x^2-3x+3^2) = (x+3)(x^2-3x+9)\) \(A=3,\ B=-3,\ C=9\)

公式4：\(a^3-b^3\)の因数分解

\(x^3-8\) を \((x-A)(x^2+Bx+C)\) の形に因数分解したとき、\(A,\ B,\ C\) の値を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\)

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\(8=2^3\) なので、公式4 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を \(a=x,\ b=2\) で使う。 \(x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+2^2) = (x-2)(x^2+2x+4)\) \(A=2,\ B=2,\ C=4\)

公式3の一般形（係数が1でない）

\(8x^3+1\) を \((2x+A)(Bx^2+Cx+D)\) の形に因数分解したとき、\(A,\ B,\ C,\ D\) の値を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\) 　\(D=\)

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\(8x^3=(2x)^3\)、\(1=1^3\) なので、公式3 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を \(a=2x,\ b=1\) で使う。 \((2x)^3+1^3 = (2x+1)\{(2x)^2-(2x)(1)+1^2\} = (2x+1)(4x^2-2x+1)\) \(A=1,\ B=4,\ C=-2,\ D=1\)

公式4の一般形（係数が1でない）

\(27x^3-1\) を \((3x-A)(Bx^2+Cx+D)\) の形に因数分解したとき、\(A,\ B,\ C,\ D\) の値を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\) 　\(C=\) 　\(D=\)

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\(27x^3=(3x)^3\)、\(1=1^3\) なので、公式4 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を \(a=3x,\ b=1\) で使う。 \((3x)^3-1^3 = (3x-1)\{(3x)^2+(3x)(1)+1^2\} = (3x-1)(9x^2+3x+1)\) \(A=1,\ B=9,\ C=3,\ D=1\)

標準（8〜14）　※一般項を使って係数を求める

\((a+b)^7\) の展開における \(a^4b^3\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_7\mathrm{C}_r a^{7-r}b^r\)。\(a^4b^3\) は \(7-r=4\) より \(r=3\)。係数は \({}_7\mathrm{C}_3 = \dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1} = 35\)。係数は \(35\)

\((x+1)^6\) の展開における \(x^3\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_6\mathrm{C}_r x^{6-r}\times1^r = {}_6\mathrm{C}_r x^{6-r}\)。\(x^3\) は \(6-r=3\) より \(r=3\)。係数は \({}_6\mathrm{C}_3\times1^3 = 20\times1 = 20\)。係数は \(20\)

\((x-2)^5\) の展開における \(x^2\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_5\mathrm{C}_r x^{5-r}(-2)^r\)。\(x^2\) は \(5-r=2\) より \(r=3\)。係数は \({}_5\mathrm{C}_3\times(-2)^3 = 10\times(-8) = -80\)。係数は \(-80\)

\((2x+1)^4\) の展開における \(x^2\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_4\mathrm{C}_r (2x)^{4-r}(1)^r = {}_4\mathrm{C}_r\,2^{4-r}x^{4-r}\)。\(x^2\) は \(4-r=2\) より \(r=2\)。係数は \({}_4\mathrm{C}_2\times2^2 = 6\times4 = 24\)。係数は \(24\)

\((x+3)^4\) の展開における \(x\) の項（\(x^1\)の項）の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_4\mathrm{C}_r x^{4-r}3^r\)。\(x^1\) は \(4-r=1\) より \(r=3\)。係数は \({}_4\mathrm{C}_3\times3^3 = 4\times27 = 108\)。係数は \(108\)

\(a\)の部分が\(x^2\)になっている

\((x^2+1)^5\) の展開における \(x^6\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_5\mathrm{C}_r (x^2)^{5-r}(1)^r = {}_5\mathrm{C}_r x^{2(5-r)}\)。\(x^6\) は \(2(5-r)=6\) より \(5-r=3,\ r=2\)。係数は \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\)。係数は \(10\)

\((3x-1)^5\) の展開における \(x^3\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_5\mathrm{C}_r (3x)^{5-r}(-1)^r = {}_5\mathrm{C}_r\,3^{5-r}(-1)^r x^{5-r}\)。\(x^3\) は \(5-r=3\) より \(r=2\)。係数は \({}_5\mathrm{C}_2\times3^3\times(-1)^2 = 10\times27\times1 = 270\)。係数は \(270\)

挑戦（15〜18）

符号がマイナスになる項

\((x-1)^7\) の展開における \(x^4\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_7\mathrm{C}_r x^{7-r}(-1)^r\)。\(x^4\) は \(7-r=4\) より \(r=3\)。係数は \({}_7\mathrm{C}_3\times(-1)^3 = 35\times(-1) = -35\)。係数は \(-35\)

両方に係数がついている

\((3x-2)^4\) の展開における \(x^3\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_4\mathrm{C}_r (3x)^{4-r}(-2)^r\)。\(x^3\) は \(4-r=3\) より \(r=1\)。係数は \({}_4\mathrm{C}_1\times3^3\times(-2)^1 = 4\times27\times(-2) = -216\)。係数は \(-216\)

3次公式を2回使う因数分解

\(x^6-1\) を \((x^2-1)(x^4+Ax^2+B)\) の形に因数分解したとき、\(A,\ B\) の値を求めよ。

\(A=\) 　\(B=\)

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\(x^6 = (x^2)^3\) と見て、公式3 \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\) を \(a=x^2,\ b=1\) で使う。 \((x^2)^3-1^3 = (x^2-1)\{(x^2)^2+(x^2)(1)+1^2\} = (x^2-1)(x^4+x^2+1)\) （さらに \(x^2-1=(x+1)(x-1)\) と因数分解できるが、この問題では \((x^2-1)(x^4+Ax^2+B)\) の形まででよい） \(A=1,\ B=1\)

係数と定数の両方がある一般項

\((x+2)^6\) の展開における \(x^3\) の項の係数を求めよ。

係数

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一般項は \({}_6\mathrm{C}_r x^{6-r}2^r\)。\(x^3\) は \(6-r=3\) より \(r=3\)。係数は \({}_6\mathrm{C}_3\times2^3 = 20\times8 = 160\)。係数は \(160\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。多項定理・二項係数の和・数値計算への応用など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

多項定理：3文字の係数

\((a+b+c)^6\) の展開における \(a^3b^2c\) の項の係数を求めよ。

係数

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多項定理より、\(a^pb^qc^r\)（\(p+q+r=n\)）の項の係数は \(\dfrac{n!}{p!\,q!\,r!}\)。 \(a^3b^2c\) は \(p=3,\ q=2,\ r=1\)。\(p+q+r=3+2+1=6=n\) で条件を満たす。係数は \(\dfrac{6!}{3!\,2!\,1!} = \dfrac{720}{6\times2\times1} = \dfrac{720}{12} = 60\)。 \(a^3b^2c\) の項の係数は \(60\)

応2

二項係数の和：\(x=1\)を代入

二項定理 \((1+x)^n = {}_n\mathrm{C}_0+{}_n\mathrm{C}_1x+{}_n\mathrm{C}_2x^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_nx^n\) において \(x=1\) を代入することで、\({}_8\mathrm{C}_0+{}_8\mathrm{C}_1+{}_8\mathrm{C}_2+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\((1+x)^8 = {}_8\mathrm{C}_0+{}_8\mathrm{C}_1x+{}_8\mathrm{C}_2x^2+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8x^8\) に \(x=1\) を代入すると、右辺はちょうど求めたい和になる。左辺は \((1+1)^8 = 2^8\)。 \(2^8 = 256\)。 \({}_8\mathrm{C}_0+{}_8\mathrm{C}_1+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8 = 256\)

応3

二項係数の交代和：\(x=-1\)を代入

二項定理に \(x=-1\) を代入することで、\({}_8\mathrm{C}_0-{}_8\mathrm{C}_1+{}_8\mathrm{C}_2-{}_8\mathrm{C}_3+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8\) の値を求めよ。

値

解説を見る

\((1+x)^8 = {}_8\mathrm{C}_0+{}_8\mathrm{C}_1x+{}_8\mathrm{C}_2x^2+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8x^8\) に \(x=-1\) を代入すると、右辺は \({}_8\mathrm{C}_0-{}_8\mathrm{C}_1+{}_8\mathrm{C}_2-{}_8\mathrm{C}_3+\cdots+{}_8\mathrm{C}_8\)（\(r\)が奇数の項だけマイナス）になる。左辺は \((1+(-1))^8 = 0^8 = 0\)。 \({}_8\mathrm{C}_0-{}_8\mathrm{C}_1+{}_8\mathrm{C}_2-\cdots+{}_8\mathrm{C}_8 = 0\)

応4

3次公式を使った数値計算

\(999^3+1\) を、3次式の因数分解の公式を使って（電卓を使わず）計算せよ。

値

解説を見る

\(999^3+1^3\) の形なので、公式3 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) を \(a=999,\ b=1\) で使う。 \(a+b = 999+1 = 1000\) \(a^2-ab+b^2 = 999^2-999\times1+1^2\) \(999^2 = (1000-1)^2 = 1000000-2000+1 = 998001\)（公式2の応用）なので \(a^2-ab+b^2 = 998001-999+1 = 997003\) したがって \(999^3+1 = 1000\times997003 = 997003000\)。 \(999^3+1 = 997{,}003{,}000\)

応5

一般項の応用：定数項を求める

\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^6\) の展開における定数項を求めよ。

定数項

解説を見る

一般項は \(a=x^2,\ b=\dfrac{2}{x},\ n=6\) として \(T_{r+1} = {}_6\mathrm{C}_r (x^2)^{6-r}\left(\dfrac{2}{x}\right)^r = {}_6\mathrm{C}_r\,2^r\,x^{2(6-r)}\,x^{-r} = {}_6\mathrm{C}_r\,2^r\,x^{12-3r}\) 定数項（\(x\) の指数が \(0\)）になるのは \(12-3r=0\) より \(r=4\)。このときの係数は \({}_6\mathrm{C}_4\times2^4 = 15\times16 = 240\)。定数項は \(240\)