対数とその性質

解説＋ドリル全20問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

対数ってなに？－指数の逆から出発しよう

「2を何回かけたら8になる？」→答えは3回（\(2^3=8\)）。この「何乗したら?」の答えそのものを表す記号が対数。\(a>0,\ a\neq1,\ M>0\) のとき、次の関係が成り立つ。

\[a^{p}=M \iff p=\log_a M\] \(\log_a M\) は「\(a\) を \(p\) 乗すると \(M\) になる、その \(p\)」を表す数。\(a\) を底、\(M\) を真数と呼ぶ。

指数の式と対数の式は、同じ関係を2通りの書き方で表しているだけ。書き換えができれば、対数の意味はもう理解できたようなもの。

例題1　\(3^4=81\) を対数の式に書き換えよ。

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底3・指数4・真数81の関係だから、\(p=\log_a M\) の形に当てはめる。 \(\log_3 81 = 4\)

例題2　\(\log_2 32 = 5\) を指数の式に書き換えよ。

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底2・真数32・値5の関係だから、\(a^p=M\) の形に当てはめる。 \(2^5 = 32\)
注意（底・真数の条件）　底 \(a\) は \(a>0,\ a\neq1\)。真数 \(M\) は必ず \(M>0\)。この2つを満たさない対数は意味を持たない（真数条件は必ず確認するクセをつけよう）。
よく使う基本値も覚えておこう：\(\log_a 1 = 0\)（\(a^0=1\) だから）、\(\log_a a = 1\)（\(a^1=a\) だから）。
STEP 2

対数の性質－指数法則をそのまま言い換えるだけ

対数の3つの性質は、指数法則 \(a^p \times a^q = a^{p+q}\) などをそのまま対数の言葉に言い換えたもの。丸暗記でなく「なぜそうなるか」を1回追っておくと忘れにくい。

\(a>0,\ a\neq1,\ M>0,\ N>0\) のとき \[\log_a MN = \log_a M + \log_a N\] \[\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\] \[\log_a M^r = r\log_a M\quad(r\text{は実数})\]

導出（積の性質）　\(\log_a M = p,\ \log_a N = q\) とおくと \(M=a^p,\ N=a^q\)。このとき \[MN = a^p \times a^q = a^{p+q}\] 対数の定義に戻すと \(\log_a MN = p+q = \log_a M + \log_a N\) となる。商・累乗の性質も同じ手順（指数法則 \(a^p\div a^q=a^{p-q}\)、\((a^p)^r=a^{pr}\)）で導ける。

例題3　\(\log_{10}2 + \log_{10}5\) を計算せよ。

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積の性質より \(\log_{10}2+\log_{10}5=\log_{10}(2\times5)=\log_{10}10\) \(=1\)

例題4　\(\log_3 54 - \log_3 2\) を計算せよ。

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商の性質より \(\log_3 54-\log_3 2=\log_3\dfrac{54}{2}=\log_3 27\) \(3^3=27\) なので \(=3\)

例題5　\(\log_2 9\) を \(\log_2 3\) を用いて表せ。

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\(9=3^2\) なので、累乗の性質より \(\log_2 9 = \log_2 3^2 = 2\log_2 3\) \(\log_2 9 = 2\log_2 3\)
STEP 3

底の変換公式－底をそろえて計算しやすくする

底がバラバラな対数を比べたり計算したりするときは、底をそろえると一気に楽になる。そのための道具が底の変換公式。

\(a,\ b,\ c\) は底の条件（正・1でない）を満たすとき \[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\] 特に \(c=b\) とすると \(\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}\)（底と真数を入れ替えると逆数になる）。

導出　\(\log_a b = p\) とおくと \(a^p=b\)。両辺の底 \(c\) の対数をとると \[\log_c a^p = \log_c b \ \Rightarrow\ p\log_c a = \log_c b \ \Rightarrow\ p = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\] （途中で累乗の性質を使った。）

例題6　\(\log_4 8\) を、底2の対数を使って計算せよ。

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底の変換公式で底を2にそろえる。 \[\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}\] \(\log_4 8 = \dfrac{3}{2}\)

例題7　\(\log_2 3 \times \log_3 8\) を計算せよ。

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\(\log_3 8\) を底2にそろえる：\(\log_3 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}\)。 これを代入すると \[\log_2 3\times\log_3 8=\log_2 3\times\dfrac{\log_2 8}{\log_2 3}=\log_2 8\] \(\log_2 8=3\) なので \(=3\)
STEP 4

計算の流れ（まとめ）

手順1　真数条件（\(M>0\)）・底の条件（\(a>0,\ a\neq1\)）を確認する
↓
手順2　積・商をまとめる（またはバラす）：\(\log_a M+\log_a N=\log_a MN\) など
↓
手順3　累乗があれば前に出す：\(\log_a M^r=r\log_a M\)
↓
手順4　底がそろっていなければ、底の変換公式でそろえる
↓
手順5　\(\log_a a=1,\ \log_a 1=0\) などの基本値まで計算する

例題8（総合）　\(\log_2 5 + \log_2 12 - \log_2 15\) を計算せよ。

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積・商の性質でまとめる。 \[\log_2 5+\log_2 12-\log_2 15=\log_2\dfrac{5\times12}{15}=\log_2 4\] \(2^2=4\) なので \(=2\)
注意　\(\log_a M + \log_a N\) を \(\log_a(M+N)\) と間違えるミスが非常に多い。足し算になるのは真数どうしの掛け算のとき（\(\log_a MN\)）だけ。真数を先に足してはいけない。
練習問題（全20問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
定義そのまま

\(\log_2 16\) の値を求めよ。

値
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\(2^4=16\) なので \(\log_2 16 = 4\)
2
負の指数

\(\log_5 \dfrac{1}{25}\) の値を求めよ。

値
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\(5^{-2}=\dfrac{1}{25}\) なので \(\log_5\dfrac{1}{25} = -2\)
3
基本値 log_a 1=0

\(\log_{10} 1\) の値を求めよ。

値
解説を見る
\(10^0=1\) なので \(\log_{10} 1 = 0\)
4
基本値 log_a a=1

\(\log_7 7\) の値を求めよ。

値
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\(7^1=7\) なので \(\log_7 7 = 1\)
5
負の指数

\(\log_3 \dfrac{1}{3}\) の値を求めよ。

値
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\(3^{-1}=\dfrac{1}{3}\) なので \(\log_3\dfrac{1}{3} = -1\)
6
分数の指数（累乗根）

\(\log_9 3\) の値を求めよ。

値
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\(9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3\) なので \(\log_9 3 = \dfrac{1}{2}\)
7
負の指数

\(\log_2 \dfrac{1}{8}\) の値を求めよ。

値
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\(2^{-3}=\dfrac{1}{8}\) なので \(\log_2\dfrac{1}{8} = -3\)
8
底10（常用対数の準備）

\(\log_{10} 10000\) の値を求めよ。

値
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\(10^4=10000\) なので \(\log_{10} 10000 = 4\)
標準（9〜16）　※どの性質を使うか自分で判定しよう
9

\(\log_2 6 + \log_2 \dfrac{4}{3}\) の値を求めよ。

値
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積の性質でまとめる。 \(\log_2 6+\log_2\dfrac{4}{3}=\log_2\left(6\times\dfrac{4}{3}\right)=\log_2 8\) \(=3\)
10

\(\log_3 45 - \log_3 5\) の値を求めよ。

値
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商の性質でまとめる。 \(\log_3 45-\log_3 5=\log_3\dfrac{45}{5}=\log_3 9\) \(=2\)
11

\(\log_2 5 + \log_2 4 - \log_2 10\) の値を求めよ。

値
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積・商の性質でまとめる。 \(\log_2 5+\log_2 4-\log_2 10=\log_2\dfrac{5\times4}{10}=\log_2 2\) \(=1\)
12
累乗の性質を使う

\(2\log_{10} 5 + \log_{10} 4\) の値を求めよ。

値
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累乗の性質で係数を指数に戻す。 \(2\log_{10}5=\log_{10}5^2=\log_{10}25\) これと足して \(\log_{10}25+\log_{10}4=\log_{10}(25\times4)=\log_{10}100\) \(=2\)
13

\(\log_2 \dfrac{1}{2} + \log_2 16\) の値を求めよ。

値
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積の性質でまとめる。 \(\log_2\dfrac{1}{2}+\log_2 16=\log_2\left(16\times\dfrac{1}{2}\right)=\log_2 8\) \(=3\)
14

\(\log_5 250 - \log_5 2\) の値を求めよ。

値
解説を見る
商の性質でまとめる。 \(\log_5 250-\log_5 2=\log_5\dfrac{250}{2}=\log_5 125\) \(5^3=125\) なので \(=3\)
15

\(\log_6 4 + \log_6 9\) の値を求めよ。

値
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積の性質でまとめる。 \(\log_6 4+\log_6 9=\log_6(4\times9)=\log_6 36\) \(6^2=36\) なので \(=2\)
16
底の変換公式を使う

\(\log_4 8\) の値を求めよ。

値
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底の変換公式で底を2にそろえる。 \(\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}\) \(=\dfrac{3}{2}\)
挑戦（17〜20）
17
積・商をまとめて一気に計算

\(\log_2 3 - \log_2 24 + \log_2 32\) の値を求めよ。

値
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積・商の性質でまとめて1つの対数にする。 \(\log_2 3-\log_2 24+\log_2 32=\log_2\dfrac{3\times32}{24}=\log_2\dfrac{96}{24}=\log_2 4\) \(=2\)
18
底の変換公式で底をそろえて掛ける

\(\log_2 3 \times \log_3 4\) の値を求めよ。

値
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\(\log_3 4\) を底2にそろえる：\(\log_3 4=\dfrac{\log_2 4}{\log_2 3}\)。 \(\log_2 3\times\log_3 4=\log_2 3\times\dfrac{\log_2 4}{\log_2 3}=\log_2 4\) \(=2\)
19
底の変換公式で底をそろえて掛ける

\(\log_2 5 \times \log_5 8\) の値を求めよ。

値
解説を見る
\(\log_5 8\) を底2にそろえる：\(\log_5 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 5}\)。 \(\log_2 5\times\log_5 8=\log_2 5\times\dfrac{\log_2 8}{\log_2 5}=\log_2 8\) \(=3\)
20
累乗の性質＋底の変換公式の合わせ技

\(\log_4 9 \times \log_3 8\) の値を求めよ。

値
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まず \(\log_4 9\) を底2にそろえ、累乗の性質も使って整理する。 \(\log_4 9=\dfrac{\log_2 9}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2 3^2}{2}=\dfrac{2\log_2 3}{2}=\log_2 3\) 次に \(\log_3 8\) も累乗の性質で整理する（底の変換で底2にしてもよい）。 \(\log_3 8=3\log_3 2=\dfrac{3}{\log_2 3}\) これらを掛け合わせると \(\log_4 9\times\log_3 8=\log_2 3\times\dfrac{3}{\log_2 3}\) \(=3\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。文字でおいた対数の式変形と、条件式から値を求める問題に挑戦しよう。

応1
式変形（log_2 3=aとおく）

\(\log_2 3 = a\) とおくとき、\(\log_2 24\) を \(a\) を用いて表せ。

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\(24=8\times3\) なので、積の性質で分ける。 \(\log_2 24=\log_2(8\times3)=\log_2 8+\log_2 3=3+a\) \(\log_2 24 = 3+a\)
応2
式変形（底の変換＋累乗＋商）

\(\log_2 3 = a\) とおくとき、\(\log_4 \dfrac{9}{2}\) を \(a\) を用いて表せ。

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まず底の変換公式で底を2にそろえる。 \(\log_4\dfrac{9}{2}=\dfrac{\log_2\frac{9}{2}}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2\frac{9}{2}}{2}\) 分子を商・累乗の性質でばらす。 \(\log_2\dfrac{9}{2}=\log_2 9-\log_2 2=\log_2 3^2-1=2a-1\) これを戻すと \(\log_4\dfrac{9}{2}=\dfrac{2a-1}{2}=a-\dfrac{1}{2}\) \(\log_4\dfrac{9}{2} = a-\dfrac{1}{2}\)
応3
条件式からの値（1文字を求めて代入）

\(\log_2 x = 3\) のとき、\(\log_4 x^2\) の値を求めよ。

値
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\(\log_2 x=3\) より \(x=2^3=8\)。 \(\log_4 x^2=\log_4 8^2=\log_4 64\) 底の変換公式で底を2にそろえる。 \(\log_4 64=\dfrac{\log_2 64}{\log_2 4}=\dfrac{6}{2}\) \(\log_4 x^2 = 3\)
応4
条件式からの値（対数方程式・真数条件つき）

\(\log_3(x+2) + \log_3(x-2) = 2\)（\(x>2\)）を満たす \(x\) の値を求めよ。

\(x=\)
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真数条件：\(x+2>0\) かつ \(x-2>0\)、あわせて \(x>2\)（問題文の条件と一致）。 積の性質でまとめる。 \(\log_3(x+2)+\log_3(x-2)=\log_3\{(x+2)(x-2)\}=\log_3(x^2-4)\) これが2に等しいので \(x^2-4=3^2=9 \ \Rightarrow\ x^2=13\) \(x>2\) より \(x=-\sqrt{13}\) は不適。 \(x=\sqrt{13}\)
応5
条件式からの値（連立方程式に帰着）

\(\log_2 x + \log_2 y = 5\)、\(x+y=12\)（\(x>y>0\)）を満たす \(x,\ y\) の値を求めよ。

\(x=\) 　\(y=\)
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積の性質より \(\log_2 x+\log_2 y=\log_2 xy=5\) なので \(xy=2^5=32\)。 条件は \(x+y=12,\ xy=32\)。 \(x,\ y\) は2次方程式 \(t^2-12t+32=0\) の解（和と積が分かっているときの定番の手）。 \((t-4)(t-8)=0\) より \(t=4,\ 8\)。 \(x>y\) なので \(x=8,\ y=4\)。真数条件 \(x>0,\ y>0\) も満たす。 \(x=8,\ y=4\)