指数関数とグラフ｜数II 指数関数・対数関数

STEP 1

y = a^x のグラフ

前ページで指数を実数全体に拡張したので、\(y = a^x\)（\(a > 0,\ a \neq 1\)）はすべての実数 \(x\) に対して値が決まる関数になる。これを指数関数と呼ぶ。グラフの形は、底 \(a\) が1より大きいか小さいかで真逆になる。

\(a > 1\) のとき　右に行くほど急激に増加する（単調増加）。\(x \to -\infty\) で \(y \to 0\)（x軸に限りなく近づく）。
\(0 < a < 1\) のとき　右に行くほど0に近づいていく（単調減少）。\(x \to +\infty\) で \(y \to 0\)。
どちらの場合もグラフは必ず点 \((0,\ 1)\) を通り、\(y\) の値は常に正（\(y > 0\)）。x軸（\(y=0\)）が漸近線になる。

「底が同じでも \(a\) の大きさで形が変わる」「\(x=0\) のとき必ず \(y=1\)」という2点が、この先の計算・グラフ判断すべての土台になる。

STEP 2

指数の大小比較

指数関数は \(a > 1\) なら単調増加、\(0 < a < 1\) なら単調減少。この「単調性」を使うと、いちいち値を計算しなくても指数の大小だけで元の値の大小がわかる。底が異なるときは、まず底をそろえてから指数を比べる。

底が同じとき
\(a > 1\) ：指数が大きいほど値も大きい（例：\(2^3 < 2^5\)）
\(0 < a < 1\) ：指数が大きいほど値は小さい（例：\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} > \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\)）
底が違うとき　まず同じ底の累乗になおしてから、上のルールで比較する。

例題1　\(5^2\) と \(5^{-3}\) の大小を比較せよ。

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底は \(5\)（\(5 > 1\)）なので指数関数は単調増加。指数を比較すると \(-3 < 2\)。 \(5^{-3} < 5^2\)

例題2　\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}\) と \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\) の大小を比較せよ。

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底は \(\dfrac{1}{3}\)（\(0 < \dfrac{1}{3} < 1\)）なので指数関数は単調減少。指数を比較すると \(-1 < 2\) だが、減少関数なので指数が小さいほう（\(-1\)）の値のほうが大きい。 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} > \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\)（実際 \(3 > \dfrac{1}{9}\)）

例題3　\(8^2\) と \(4^4\) の大小を、底をそろえて比較せよ。

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\(8 = 2^3\)、\(4 = 2^2\) なので、どちらも底2の累乗になおす。 \(8^2 = (2^3)^2 = 2^6\) \(4^4 = (2^2)^4 = 2^8\) 底2は \(2 > 1\) なので単調増加、指数を比べると \(6 < 8\)。 \(8^2 < 4^4\)（実際 \(64 < 256\)）

STEP 3

指数方程式

\(2^x = 8\) のような方程式は、右辺も左辺と同じ底の累乗になおして「指数どうしを比較する」のが基本。指数関数 \(y=a^x\) は \(a^p = a^q \iff p = q\) が成り立つ（1つの \(x\) に1つの \(y\) しか対応しないグラフだから）。

例題1　\(2^x = 8\) を解け。

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右辺を底2の累乗になおす：\(8 = 2^3\)。 \(2^x = 2^3\) \(x = 3\)

例題2　\(9^x = 27\) を解け。

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底をそろえる：\(9 = 3^2\)、\(27 = 3^3\)。 \((3^2)^x = 3^3 \Rightarrow 3^{2x} = 3^3 \Rightarrow 2x = 3\) \(x = \dfrac{3}{2}\)

例題3　\(4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0\) を解け。

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\(4^x = (2^x)^2\) なので、\(t = 2^x\)（\(t > 0\)）とおくと \(x\) の2次式ではなく \(t\) の2次方程式になる。 \(t^2 - 3t - 4 = 0\) \((t - 4)(t + 1) = 0\) \(t = 4,\ -1\) \(t = 2^x > 0\) より \(t = -1\) は不適。\(t = 4\) のみ採用。 \(2^x = 4 = 2^2\) \(x = 2\)（おきかえたときは必ず \(t > 0\) の条件で解を吟味する）

STEP 4

指数不等式（向きに注意！）

不等式も方程式と同じく底をそろえてから指数を比較する。ただし、底が0と1の間だと不等号の向きが逆転することに注意。STEP2で確認した「単調増加・単調減少」がそのまま効いてくる。

底をそろえて \(a^p \lessgtr a^q\) の形にしたあと
\(a > 1\)（増加関数）　→　不等号の向きはそのまま：\(p < q\)
\(0 < a < 1\)（減少関数）　→　不等号の向きが逆転する：\(p > q\)

底が1より大きい場合

例題　\(2^x > 8\) を解け。

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\(8 = 2^3\) なので \(2^x > 2^3\)。底2は \(2 > 1\) なので増加関数 → 向きはそのまま。 \(x > 3\)

底が0と1の間の場合

例題　\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \dfrac{1}{16}\) を解け。

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右辺を底 \(\dfrac{1}{2}\) の累乗になおす：\(\dfrac{1}{16} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\)。 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \left(\dfrac{1}{2}\right)^4\) 底 \(\dfrac{1}{2}\) は \(0 < \dfrac{1}{2} < 1\) なので減少関数 → 向きが逆転する。 \(x > 4\)

手順1　両辺を同じ底の累乗になおす
手順2　底が1より大きいか、0と1の間かを確認する
手順3　底が1より大きければ向きはそのまま、0と1の間なら向きを逆転させて指数の不等式を解く

練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「3/2」のように入力。大小比較は最大のものの記号（ア・イ・ウ）を答えよう。

基本（1〜7）

指数方程式

\(2^x = 16\) を解け。

\(x=\)

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\(16 = 2^4\) なので \(2^x = 2^4\)。 \(x = 4\)

指数方程式・負の指数

\(3^x = \dfrac{1}{9}\) を解け。

\(x=\)

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\(\dfrac{1}{9} = 3^{-2}\) なので \(3^x = 3^{-2}\)。 \(x = -2\)

指数方程式・y=1の形

\(5^x = 1\) を解け。

\(x=\)

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\(1 = 5^0\) なので \(5^x = 5^0\)。（どんな正の数の0乗も1） \(x = 0\)

大小比較・底が同じ（a>1）

次のうち大きいのはどちらか。記号で答えよ。　ア：\(2^3\)　イ：\(2^5\)

大きいほう

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底2は \(2 > 1\) なので単調増加。指数を比べると \(3 < 5\)。イ（\(2^5=32 > 2^3=8\)）

大小比較・底が同じ（0<a<1）

次のうち大きいのはどちらか。記号で答えよ。　ア：\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)　イ：\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\)

大きいほう

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底 \(\dfrac{1}{2}\) は \(0 < \dfrac{1}{2} < 1\) なので単調減少。指数が小さいほうが値は大きい。\(-1 < 2\)。イ（\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=2 > \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)）

指数方程式・底をそろえる

\(4^x = 8\) を解け。

\(x=\)

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底をそろえる：\(4 = 2^2\)、\(8 = 2^3\)。 \((2^2)^x = 2^3 \Rightarrow 2^{2x} = 2^3 \Rightarrow 2x = 3\) \(x = \dfrac{3}{2}\)

指数不等式・底が1より大

\(2^x > 16\) の解は \(x > \Box\) の形になる。\(\Box\) に入る数を答えよ。

\(\Box=\)

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\(16 = 2^4\) なので \(2^x > 2^4\)。底2は \(2 > 1\) なので向きはそのまま。 \(x > 4\)

標準（8〜14）　※パターンは自分で判定

\(9^x = 27\) を解け。

\(x=\)

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底をそろえる：\(9=3^2\)、\(27=3^3\)。 \(3^{2x} = 3^3 \Rightarrow 2x = 3\) \(x = \dfrac{3}{2}\)

\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 9\) を解け。

\(x=\)

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底をそろえる：\(\dfrac{1}{3}=3^{-1}\)、\(9=3^2\)。 \((3^{-1})^x = 3^2 \Rightarrow 3^{-x} = 3^2 \Rightarrow -x = 2\) \(x = -2\)

次の3つのうち最大のものはどれか。記号で答えよ。　ア：\(3^{-2}\)　イ：\(3^{0}\)　ウ：\(3^{1}\)

最大

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底3は \(3 > 1\) なので単調増加。指数を比べると \(-2 < 0 < 1\)。 \(3^{-2}=\dfrac{1}{9}\)、\(3^0=1\)、\(3^1=3\)。ウ（\(3^1=3\) が最大）

次のうち大きいのはどちらか。記号で答えよ。底をそろえて比較すること。　ア：\(8^2\)　イ：\(4^4\)

大きいほう

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底2にそろえる：\(8^2=(2^3)^2=2^6\)、\(4^4=(2^2)^4=2^8\)。 \(2 > 1\) なので単調増加、\(6 < 8\)。イ（\(8^2=64 < 4^4=256\)）

\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \dfrac{1}{8}\) の解は \(x > \Box\) の形になる。\(\Box\) に入る数を答えよ。

\(\Box=\)

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\(\dfrac{1}{8}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) なので \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x < \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\)。底 \(\dfrac{1}{2}\) は \(0<\dfrac{1}{2}<1\) なので減少関数 → 向きが逆転。 \(x > 3\)

\(3^x \le 81\) の解は \(x \le \Box\) の形になる。\(\Box\) に入る数を答えよ。

\(\Box=\)

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\(81=3^4\) なので \(3^x \le 3^4\)。底3は \(3>1\) なので向きはそのまま。 \(x \le 4\)

おきかえ t=2^x

\(4^x - 2 \cdot 2^x - 8 = 0\) を解け。

\(x=\)

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\(t=2^x\)（\(t>0\)）とおくと \(t^2-2t-8=0\)、\((t-4)(t+2)=0\)、\(t=4,-2\)。 \(t>0\) より \(t=-2\) は不適。\(t=4\) のみ。 \(2^x=4=2^2\) \(x = 2\)

挑戦（15〜18）

底が3つとも異なる・全部そろえる

次の3つのうち最大のものはどれか。記号で答えよ。　ア：\(2^7\)　イ：\(4^4\)　ウ：\(8^2\)

最大

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すべて底2の累乗になおす： \(2^7=2^7\)、\(4^4=(2^2)^4=2^8\)、\(8^2=(2^3)^2=2^6\) 底2は \(2>1\) なので単調増加。指数を比べると \(6 < 7 < 8\)。イ（\(2^6=64 < 2^7=128 < 2^8=256\)）

おきかえ・2つの解

\(25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0\) を解け。解が2つあるときはコンマ区切りで入力せよ。

\(x=\)

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\(25^x=(5^x)^2\) なので \(t=5^x\)（\(t>0\)）とおく。 \(t^2-6t+5=0\)、\((t-1)(t-5)=0\)、\(t=1,5\)。どちらも \(t>0\) を満たすので両方採用。 \(5^x=1=5^0 \Rightarrow x=0\) \(5^x=5=5^1 \Rightarrow x=1\) \(x = 0,\ 1\)

おきかえ・不等式の範囲（両端点）

\(9^x - 4 \cdot 3^x + 3 < 0\) を解け。解は \(\Box_1 < x < \Box_2\) の形になる。

\(\Box_1=\) 　\(\Box_2=\)

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\(9^x=(3^x)^2\) なので \(t=3^x\)（\(t>0\)）とおく。 \(t^2-4t+3<0\)、\((t-1)(t-3)<0\)、\(1<t<3\)（このままで \(t>0\) も満たしている）。 \(1=3^0\)、\(3=3^1\) なので \(3^0 < 3^x < 3^1\)。底3は \(3>1\) なので向きはそのまま。 \(0 < x < 1\)

底が0と1の間・分数指数

\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^x \ge 32\) の解は \(x \le \Box\) の形になる。\(\Box\) に入る数を答えよ。

\(\Box=\)

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底をそろえる：\(\dfrac{1}{4}=2^{-2}\)、\(32=2^5\)。 \((2^{-2})^x \ge 2^5 \Rightarrow 2^{-2x} \ge 2^5\) 底2は \(2>1\) なので向きはそのまま：\(-2x \ge 5 \Rightarrow x \le -\dfrac{5}{2}\) \(x \le -\dfrac{5}{2}\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。\(t=2^x\) のおきかえを使った2次関数の最大・最小に挑戦しよう。

応1

おきかえの2次関数・最小値

\(y = 4^x - 2^{x+1} + 3\) の最小値を求めよ。

最小値　そのとき \(x=\)

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\(2^{x+1}=2\cdot2^x\)、\(4^x=(2^x)^2\) なので \(t=2^x\)（\(t>0\)）とおくと \(y = t^2 - 2t + 3 = (t-1)^2 + 2\) \(t\) は \(t>0\) の範囲を自由に動けて、頂点の \(t=1\) はその範囲の中にある。下に凸なので頂点で最小値をとる。 \(t=1\) のとき \(2^x=1\) より \(x=0\)。 \(x=0\) のとき最小値 \(2\)（最大値はない）

応2

おきかえ・置き換え変数の範囲に制限がつくタイプ

\(y = 4^x + 4^{-x} - 2(2^x + 2^{-x}) + 1\) の最小値を求めよ。

最小値　そのとき \(x=\)

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\(t = 2^x + 2^{-x}\) とおく。\(2^x>0\)、\(2^{-x}>0\) だから \(\left(\sqrt{2^x}-\sqrt{2^{-x}}\right)^2 \ge 0 \Rightarrow 2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x\cdot2^{-x}} = 2\) 等号は \(2^x=2^{-x}\)、すなわち \(x=0\) のとき成り立つ。よって \(t \ge 2\)。また \(t^2 = (2^x+2^{-x})^2 = 4^x + 2 + 4^{-x}\) より \(4^x+4^{-x} = t^2-2\)。 \(y = (t^2-2) - 2t + 1 = t^2-2t-1 = (t-1)^2-2\) この関数は頂点 \(t=1\) より右側（\(t \ge 2\)）でずっと増加するので、範囲の左端 \(t=2\) で最小になる。 \(t=2\) のとき \(y=(2-1)^2-2=-1\)。このとき \(x=0\)。 \(x=0\) のとき最小値 \(-1\)（最大値はない）

応3

文章題：指数不等式の応用

ある培養液の中の菌の数は、はじめ100匹で、1時間ごとに2倍に増えていく。\(x\) 時間後の菌の数を \(y\) 匹とすると \(y = 100 \cdot 2^x\) と表せる。菌の数が3200匹を初めて超えるのは何時間後か。整数で答えよ。

\(x=\) 時間後

解説を見る

\(100 \cdot 2^x > 3200\) \(2^x > 32 = 2^5\) 底2は \(2>1\) なので向きはそのまま：\(x > 5\) \(x>5\) を満たす最小の整数は \(x=6\)。 6時間後に初めて3200匹を超える

応4

2変数の条件つき最大

実数 \(x,\ y\) が \(2^x + 2^y = 8\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値を求めよ。

最大値　そのとき \(x=\) 　\(y=\)

解説を見る

\(u=2^x,\ v=2^y\)（\(u,v>0\)）とおくと \(u+v=8\)。 \((u-v)^2 \ge 0\) より \(u^2+v^2 \ge 2uv\)、両辺に \(2uv\) を足すと \((u+v)^2 \ge 4uv \Rightarrow 64 \ge 4uv \Rightarrow uv \le 16\) 等号は \(u=v\)、つまり \(u=v=4\) のときに成り立つ。 \(2^{x+y} = 2^x\cdot2^y = uv \le 16 = 2^4\) 底2は \(2>1\) なので向きはそのまま：\(x+y \le 4\) 等号成立は \(u=v=4\) のとき、すなわち \(2^x=4 \Rightarrow x=2\)、\(2^y=4 \Rightarrow y=2\)。 \(x=2,\ y=2\) のとき最大値 \(4\)

応5

おきかえ＋xの範囲指定・最大最小

\(-1 \le x \le 3\) のとき、\(y = 4^x - 4 \cdot 2^x + 7\) の最大値・最小値を求めよ。

最大値（\(x=\) ）　最小値（\(x=\) ）

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\(t=2^x\)（\(t>0\)）とおくと \(y=t^2-4t+7=(t-2)^2+3\)。 \(x\) の範囲 \(-1 \le x \le 3\) に対応する \(t\) の範囲を求める：底2は増加関数なので \(2^{-1} \le 2^x \le 2^3 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le t \le 8\) 頂点 \(t=2\) はこの範囲 \(\left[\dfrac{1}{2},\ 8\right]\) の中にあるので、下に凸の頂点で最小値をとる。 \(t=2\) のとき \(2^x=2 \Rightarrow x=1\)、\(y=(2-2)^2+3=3\)。最大値は軸 \(t=2\) から遠いほうの端点でとる。\(t=2\) から \(t=\dfrac{1}{2}\) までの距離は \(1.5\)、\(t=8\) までの距離は \(6\)。遠いのは \(t=8\)。 \(t=8\) のとき \(2^x=8 \Rightarrow x=3\)、\(y=(8-2)^2+3=39\)。 \(x=3\) のとき最大値 \(39\)、\(x=1\) のとき最小値 \(3\)