対数関数・常用対数

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

対数関数 \(y=\log_a x\) のグラフ

対数関数 \(y=\log_a x\) は、指数関数 \(y=a^x\) の逆関数。指数関数のグラフを直線 \(y=x\) に関して折り返す（\(x\) と \(y\) を入れ替える）と、そのまま対数関数のグラフになる。

逆関数の関係から、\(y=\log_a x\) のグラフの特徴が決まる。指数関数の値域（\(y>0\)）が対数関数の定義域になり、指数関数の定義域（実数全体）が対数関数の値域になる。

\(y=\log_a x\)（\(a>0,\ a\neq1\)）の性質
定義域：\(x>0\)（真数は正でなければならない）／値域：実数全体
グラフは必ず点 \((1,\ 0)\) を通り、\(y\) 軸（\(x=0\)）が漸近線になる
\(a>1\) のとき増加関数（\(x\) が大きいほど \(y\) も大きい）
\(0<a<1\) のとき減少関数（\(x\) が大きいほど \(y\) は小さい）

例題　\(y=\log_2 x\) のグラフにおいて、\(x=8\) のときの \(y\) の値を求めよ。

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\(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\) \(y=3\)
STEP 2

対数方程式・不等式—真数条件を忘れずに

対数を含む方程式・不等式を解くときは、計算して \(x\) を求めるだけでは不十分。真数（log の中身）は必ず正でなければならないという条件（真数条件）を最初に確認し、最後に求めた \(x\) がその条件を満たすかを必ずチェックする。

方程式

例題1　\(\log_2(x-1) = \log_2(2x-5)\) を解け。

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真数条件：\(x-1>0\) より \(x>1\)、\(2x-5>0\) より \(x>\dfrac{5}{2}\)。あわせて \(x>\dfrac{5}{2}\)。 底が同じ対数どうしが等しいので、真数どうしも等しい：\(x-1=2x-5\)　→　\(x=4\) \(x=4\) は \(x>\dfrac{5}{2}\) を満たす。 \(x=4\)

例題2　\(\log_2 x + \log_2(x-2) = 3\) を解け。

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真数条件：\(x>0\) かつ \(x-2>0\) より \(x>2\)。 左辺をまとめる：\(\log_2\{x(x-2)\}=3\)　→　\(x(x-2)=2^3=8\) \(x^2-2x-8=0\)　→　\((x-4)(x+2)=0\)　→　\(x=4,\ -2\) \(x=-2\) は真数条件 \(x>2\) を満たさないので除外。 \(x=4\)

例題3　\((\log_2 x)^2 - \log_2 x^2 - 3 = 0\) を解け。

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真数条件：\(x>0\)（このとき \(x^2>0\) も自動的に満たされる）。 \(\log_2 x^2 = 2\log_2 x\) なので、\(t=\log_2 x\) とおくと \(t^2 - 2t - 3 = 0\)　→　\((t-3)(t+1)=0\)　→　\(t=3,\ -1\) \(t=3\) のとき \(x=2^3=8\)、\(t=-1\) のとき \(x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\)。どちらも \(x>0\) を満たす。 \(x=8,\ \dfrac{1}{2}\)

不等式（底が1より大きいか、0と1の間かで向きが変わる）

\(a>1\)（増加関数）のとき　\(\log_a f(x) < \log_a g(x)\)　→　\(f(x) < g(x)\)（向きはそのまま）
\(0<a<1\)（減少関数）のとき　\(\log_a f(x) < \log_a g(x)\)　→　\(f(x) > g(x)\)（向きが逆転）
どちらの場合も、真数条件（\(f(x)>0,\ g(x)>0\)）は必ず確認する。

例題4　\(\log_2(x-1) < 2\) を解け。

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真数条件：\(x-1>0\) より \(x>1\)。 右辺を底2の対数になおす：\(2=\log_2 4\)　→　\(\log_2(x-1) < \log_2 4\) 底2は \(2>1\) なので増加関数 → 向きはそのまま：\(x-1<4\)　→　\(x<5\) 真数条件 \(x>1\) とあわせて \(1<x<5\)

例題5　\(\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2\) を解け。

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真数条件：\(x+1>0\) より \(x>-1\)。 右辺を底 \(\dfrac{1}{2}\) の対数になおす：\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=4\) なので \(-2=\log_{\frac{1}{2}}4\) \(\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > \log_{\frac{1}{2}}4\) 底 \(\dfrac{1}{2}\) は \(0<\dfrac{1}{2}<1\) なので減少関数 → 向きが逆転：\(x+1<4\)　→　\(x<3\) 真数条件 \(x>-1\) とあわせて \(-1<x<3\)
STEP 3

常用対数と桁数

底が10の対数を常用対数という（\(\log_{10} x\) を単に \(\log x\) と書くこともある）。常用対数を使うと、実際に計算しなくても巨大な数の桁数がわかる。

常用対数の値（この先の問題で使う基本値）
\(\log_{10}2=0.3010\)　\(\log_{10}3=0.4771\)　\(\log_{10}4=0.6021\)　\(\log_{10}5=0.6990\)
\(\log_{10}6=0.7781\)　\(\log_{10}7=0.8451\)　\(\log_{10}8=0.9031\)　\(\log_{10}9=0.9542\)

\(N\) が正の整数のとき、\(m \le \log_{10}N < m+1\)（\(m\) は整数）となる \(m\) が見つかれば、\(N\) は \(10^m \le N < 10^{m+1}\) の範囲にある数、つまり\(m+1\) 桁の数だとわかる。

例題　\(2^{30}\) の桁数を求めよ。ただし \(\log_{10}2=0.3010\) とする。

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\(\log_{10}2^{30} = 30\log_{10}2 = 30\times0.3010 = 9.030\) \(9 \le 9.030 < 10\) なので、\(10^9 \le 2^{30} < 10^{10}\)。 \(2^{30}\) は10桁の数
手順1　\(\log_{10}N\) を計算する（\(N=a^n\) なら \(\log_{10}N = n\log_{10}a\)）
手順2　\(m \le \log_{10}N < m+1\) となる整数 \(m\)（整数部分）を求める
手順3　桁数 \(= m+1\)
STEP 4

常用対数の応用—小数首位

逆に \(0<N<1\) のときは \(\log_{10}N\) は負の数になる。この場合は「\(N\) の小数第何位に初めて0でない数字が現れるか」を求めることができる。

\(\log_{10}N = -k+s\)（\(k\) は正の整数、\(0\le s<1\)）の形に書けたとき、\(N=10^{s}\times10^{-k}\) で \(1\le10^{s}<10\) だから、\(N\) の最初の0でない数字は小数第 \(k\) 位に現れる。

例題　\(0.3^{10}\) は小数第何位に初めて0でない数字が現れるか求めよ。ただし \(\log_{10}3=0.4771\) とする。

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\(\log_{10}0.3^{10} = 10\log_{10}0.3 = 10(\log_{10}3-1) = 10(0.4771-1) = 10\times(-0.5229) = -5.229\) これを \(-k+s\)（\(0\le s<1\)）の形に書きなおす：\(-5.229 = -6+0.771\) なので \(k=6\)。 小数第6位に初めて0でない数字が現れる（\(0.3^{10}=0.0000059\cdots\)）

桁数の問題と同じ考え方で、\(\log_{10}N\) の小数部分（整数部分を引いた残り）が0.3010以上0.4771未満なら最高位の数字は2、というように最高位の数字も求められる（STEP3の基本値の表を使う）。

例題　\(2^{30}\) の最高位の数字を求めよ。（STEP3より \(\log_{10}2^{30}=9.030\)）

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整数部分は9、小数部分は \(0.030\)。 表より \(\log_{10}1=0 \le 0.030 < \log_{10}2=0.3010\) なので、最高位の数字は1。 最高位の数字は1（\(2^{30}=1073741824\)）
手順1　\(\log_{10}N\) の小数部分 \(s\)（\(0\le s<1\)）を求める
手順2　\(\log_{10}d \le s < \log_{10}(d+1)\) となる1桁の数 \(d\) を、STEP3の基本値の表と見比べて探す
手順3　その \(d\) が最高位の数字
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/2」のように入力。\(\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771,\ \log_{10}4=0.6021,\ \log_{10}5=0.6990,\ \log_{10}6=0.7781,\ \log_{10}7=0.8451,\ \log_{10}8=0.9031,\ \log_{10}9=0.9542\) を使ってよい。

基本（1〜7）
1
対数方程式（基本）

\(\log_2(x+3) = 3\) を解け。

\(x=\)
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真数条件：\(x+3>0\) より \(x>-3\)。 \(x+3=2^3=8\)　→　\(x=5\)（\(x>-3\) を満たす） \(x=5\)
2
対数方程式・同底の比較

\(\log_3(2x-1) = \log_3 5\) を解け。

\(x=\)
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真数条件：\(2x-1>0\) より \(x>\dfrac{1}{2}\)。 底が同じなので真数も等しい：\(2x-1=5\)　→　\(x=3\)（\(x>\dfrac{1}{2}\) を満たす） \(x=3\)
3
対数方程式（底5）

\(\log_5(3x-2) = 2\) を解け。

\(x=\)
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真数条件：\(3x-2>0\) より \(x>\dfrac{2}{3}\)。 \(3x-2=5^2=25\)　→　\(3x=27\)　→　\(x=9\)（\(x>\dfrac{2}{3}\) を満たす） \(x=9\)
4
対数不等式・真数条件に注意

\(\log_2(x-2) < 3\) を解け。

解の範囲： \(< x <\)
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真数条件：\(x-2>0\) より \(x>2\)。 \(3=\log_2 8\) より \(\log_2(x-2) < \log_2 8\)。底2は増加関数なので向きはそのまま：\(x-2<8\)　→　\(x<10\) 真数条件とあわせて \(2<x<10\)
5
桁数（10乗）

\(2^{10}\) の桁数を求めよ。

桁
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\(\log_{10}2^{10} = 10\times0.3010 = 3.010\) \(3 \le 3.010 < 4\) なので \(10^3 \le 2^{10} < 10^4\)。 4桁（\(2^{10}=1024\)）
6
桁数

\(3^5\) の桁数を求めよ。

桁
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\(\log_{10}3^5 = 5\times0.4771 = 2.3855\) \(2 \le 2.3855 < 3\) なので \(10^2 \le 3^5 < 10^3\)。 3桁（\(3^5=243\)）
7
桁数（底5）

\(5^8\) の桁数を求めよ。

桁
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\(\log_{10}5^8 = 8\times0.6990 = 5.592\) \(5 \le 5.592 < 6\) なので \(10^5 \le 5^8 < 10^6\)。 6桁（\(5^8=390625\)）
標準（8〜14）
8
対数方程式・真数条件で解を絞る

\(\log_2 x + \log_2(x-2) = 3\) を解け。

\(x=\)
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真数条件：\(x>0\) かつ \(x-2>0\) より \(x>2\)。 \(\log_2\{x(x-2)\}=3\)　→　\(x(x-2)=8\)　→　\(x^2-2x-8=0\)　→　\((x-4)(x+2)=0\)　→　\(x=4,\ -2\) \(x=-2\) は \(x>2\) を満たさないので除外。 \(x=4\)
9
置き換え型（t=log₃x）

\((\log_3 x)^2 - \log_3 x^2 - 3 = 0\) を解け。（\(x\) の値をコンマ区切りで入力）

\(x=\)
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真数条件：\(x>0\)。\(\log_3 x^2 = 2\log_3 x\) より、\(t=\log_3 x\) とおくと \(t^2-2t-3=0\)　→　\((t-3)(t+1)=0\)　→　\(t=3,\ -1\) \(t=3\) のとき \(x=3^3=27\)、\(t=-1\) のとき \(x=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\)。どちらも \(x>0\) を満たす。 \(x=27,\ \dfrac{1}{3}\)
10
対数不等式・底が0<a<1

\(\log_{\frac{1}{2}}(x+1) > -2\) を解け。

解の範囲： \(< x <\)
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真数条件：\(x+1>0\) より \(x>-1\)。 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=4\) より \(-2=\log_{\frac{1}{2}}4\)。底 \(\dfrac{1}{2}\) は減少関数なので向きが逆転：\(x+1<4\)　→　\(x<3\) 真数条件とあわせて \(-1<x<3\)
11
桁数（大きい数）

\(6^{15}\) の桁数を求めよ。

桁
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\(\log_{10}6^{15} = 15\times0.7781 = 11.6715\) \(11 \le 11.6715 < 12\) なので \(10^{11} \le 6^{15} < 10^{12}\)。 12桁
12
桁数

\(7^{20}\) の桁数を求めよ。

桁
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\(\log_{10}7^{20} = 20\times0.8451 = 16.902\) \(16 \le 16.902 < 17\) なので \(10^{16} \le 7^{20} < 10^{17}\)。 17桁
13
最高位の数字

\(2^{13}\) の最高位の数字を求めよ。

最高位の数字
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\(\log_{10}2^{13} = 13\times0.3010 = 3.913\) 整数部分3、小数部分 \(0.913\)。表より \(\log_{10}8=0.9031 \le 0.913 < \log_{10}9=0.9542\)。 最高位の数字は8（\(2^{13}=8192\)）
14
最高位の数字

\(3^7\) の最高位の数字を求めよ。

最高位の数字
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\(\log_{10}3^7 = 7\times0.4771 = 3.3397\) 整数部分3、小数部分 \(0.3397\)。表より \(\log_{10}2=0.3010 \le 0.3397 < \log_{10}3=0.4771\)。 最高位の数字は2（\(3^7=2187\)）
挑戦（15〜18）
15
対数方程式・領域外の解を除く

\(\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3\) を解け。

\(x=\)
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真数条件：\(x-1>0\) かつ \(x+1>0\) より \(x>1\)。 \(\log_2\{(x-1)(x+1)\}=3\)　→　\(x^2-1=8\)　→　\(x^2=9\)　→　\(x=\pm3\) \(x=-3\) は \(x>1\) を満たさないので除外。 \(x=3\)
16
対数不等式・両側から絞る

\(\log_{\frac{1}{3}}(x-2) \ge -1\) を解け。

解の範囲： \(< x \le\)
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真数条件：\(x-2>0\) より \(x>2\)。 \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3\) より \(-1=\log_{\frac{1}{3}}3\)。底 \(\dfrac{1}{3}\) は減少関数なので向きが逆転：\(x-2 \le 3\)　→　\(x \le 5\) 真数条件とあわせて \(2<x\le5\)
17
桁数・底の分解が必要

\(12^{10}\) の桁数を求めよ。（\(12=4\times3\) と考え、\(\log_{10}4=0.6021\) を使う）

桁
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\(\log_{10}12 = \log_{10}(4\times3) = \log_{10}4+\log_{10}3 = 0.6021+0.4771 = 1.0792\) \(\log_{10}12^{10} = 10\times1.0792 = 10.792\) \(10 \le 10.792 < 11\) なので \(10^{10} \le 12^{10} < 10^{11}\)。 11桁
18
桁数と最高位の数字を同時に

\(2^{50}\) の桁数と最高位の数字を求めよ。

桁数 　最高位の数字
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\(\log_{10}2^{50} = 50\times0.3010 = 15.05\) 整数部分15、小数部分 \(0.05\)。桁数 \(=15+1=16\)桁。 表より \(\log_{10}1=0 \le 0.05 < \log_{10}2=0.3010\) なので最高位の数字は1。 16桁、最高位の数字は1（\(2^{50}=1125899906842624\)）
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。常用対数を道具として使いこなす、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
桁数の条件からnを求める

\(3^n\) が10桁の数となるような自然数 \(n\) をすべて求めよ。（複数ある場合はコンマ区切りで入力）

\(n=\)
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10桁になる条件は \(9 \le \log_{10}3^n < 10\)、つまり \(9 \le 0.4771n < 10\)。 各辺を \(0.4771\) で割ると \(\dfrac{9}{0.4771} \le n < \dfrac{10}{0.4771}\)、すなわち \(18.86\cdots \le n < 20.96\cdots\)。 これを満たす自然数は \(n=19,\ 20\)。 （確認：\(n=19\) のとき \(19\times0.4771=9.0649\)→10桁。\(n=20\) のとき \(20\times0.4771=9.542\)→10桁。\(n=21\) のとき \(21\times0.4771=10.0191\)→11桁になり条件を外れる。） \(n=19,\ 20\)
応2
小数首位の条件からnを求める

\(0.3^n\) の値が初めて \(10^{-5}\) より小さくなるような自然数 \(n\) を求めよ。

\(n=\)
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\(0.3^n < 10^{-5}\)　⇔　\(\log_{10}0.3^n < -5\)　⇔　\(n\log_{10}0.3 < -5\) \(\log_{10}0.3 = \log_{10}3-1 = 0.4771-1 = -0.5229\)（負の数なので、両辺を割ると不等号の向きが逆転する） \(n > \dfrac{-5}{-0.5229} = \dfrac{5}{0.5229} = 9.562\cdots\) これを満たす最小の自然数は \(n=10\)。 （確認：\(n=9\) のとき \(9\times(-0.5229)=-4.7061\)→\(0.3^9\approx10^{-4.71}\approx1.97\times10^{-5}\)（まだ\(10^{-5}\)より大きい）。 \(n=10\) のとき \(10\times(-0.5229)=-5.229\)→\(0.3^{10}\approx10^{-5.229}\approx5.9\times10^{-6}\)（初めて\(10^{-5}\)より小さくなる）。） \(n=10\)
応3
対数方程式の解の個数

方程式 \(\log_3 x + \log_3(x-2) = 1\) の実数解の個数と、その解を求めよ。

解の個数 　個　解 \(x=\)
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真数条件：\(x>0\) かつ \(x-2>0\) より \(x>2\)。 \(\log_3\{x(x-2)\}=1\)　→　\(x(x-2)=3\)　→　\(x^2-2x-3=0\)　→　\((x-3)(x+1)=0\)　→　\(x=3,\ -1\) 2次方程式としては解が2つ見えるが、\(x=-1\) は真数条件 \(x>2\) を満たさないため方程式の解ではない。 真数条件を確認しないと解の個数を1個多く数えてしまうミスが起きやすい。 実数解は1個（\(x=3\)）
応4
常用対数で大小比較

\(5^{100}\) と \(3^{150}\) はどちらが大きいか、常用対数を利用して比較せよ。（大きいほうを　ア：\(5^{100}\)　イ：\(3^{150}\)　で答えよ）

大きいほう
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\(\log_{10}5^{100} = 100\times0.6990 = 69.90\) \(\log_{10}3^{150} = 150\times0.4771 = 71.565\) \(\log_{10}\) は増加関数なので、\(\log_{10}\) の値が大きいほうが元の数も大きい。\(71.565 > 69.90\) より \(3^{150}\) のほうが大きい（イ）
応5
指数法則＋常用対数の複合

\(\dfrac{6^{40}}{2^{30}}\) の桁数を求めよ。

桁
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まず指数法則で式を整理する。\(6^{40}=(2\times3)^{40}=2^{40}\times3^{40}\) なので \(\dfrac{6^{40}}{2^{30}} = \dfrac{2^{40}\times3^{40}}{2^{30}} = 2^{10}\times3^{40}\) \(\log_{10}(2^{10}\times3^{40}) = 10\log_{10}2 + 40\log_{10}3 = 10\times0.3010 + 40\times0.4771 = 3.010+19.084 = 22.094\) \(22 \le 22.094 < 23\) なので \(10^{22} \le \dfrac{6^{40}}{2^{30}} < 10^{23}\)。 23桁