複素数の計算

解説＋ドリル全20問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

虚数単位iと複素数―実部・虚部・相等

2乗して \(-1\) になる数はふつうの実数の中には存在しない。そこで \(i^2=-1\) を満たす新しい数 \(i\)（虚数単位）を用意し、実数 \(a,\ b\) を使って \(a+bi\) の形に表した数を複素数と呼ぶ。

複素数 \(z = a+bi\)（\(a,\ b\) は実数）について
\(a\)：\(z\) の実部　\(b\)：\(z\) の虚部
・\(b=0\) のとき \(z\) は実数
・\(b\neq0\) のとき \(z\) は虚数
・\(a=0\) かつ \(b\neq0\) のとき \(z\) は純虚数

複素数どうしが等しいかどうかを判定するルールが「複素数の相等」。方程式の係数を決める問題で頻繁に使う、超重要な考え方。

複素数の相等　\(a,\ b,\ c,\ d\) が実数のとき
\[a+bi = c+di \iff a=c\ \text{かつ}\ b=d\] 特に \(a+bi=0 \iff a=0\ \text{かつ}\ b=0\)（実部・虚部それぞれが \(0\) でないと全体は \(0\) にならない）

例題1　次の複素数の実部・虚部を答えよ。(1) \(3-4i\)　(2) \(-2i\)　(3) \(7\)

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(1) \(3-4i\) は \(a=3,\ b=-4\) の形。実部 \(3\)、虚部 \(-4\)（\(b\neq0\) なので虚数）。 (2) \(-2i = 0+(-2)i\) と考える。実部 \(0\)、虚部 \(-2\)（\(a=0\) かつ \(b\neq0\) なので純虚数）。 (3) \(7 = 7+0i\) と考える。実部 \(7\)、虚部 \(0\)（\(b=0\) なので実数）。 (1) 実部3・虚部−4　(2) 実部0・虚部−2（純虚数）　(3) 実部7・虚部0（実数）

例題2　実数 \(x,\ y\) が \((3x-1)+(y+2)i = 5-3i\) を満たすとき、\(x,\ y\) の値を求めよ。

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両辺とも \(a+bi\) の形なので、相等より実部どうし・虚部どうしがそれぞれ等しい。 実部：\(3x-1=5\) → \(3x=6\) → \(x=2\) 虚部：\(y+2=-3\) → \(y=-5\) \(x=2,\ y=-5\)
STEP 2

複素数の四則計算

加法・減法・乗法は、\(i\) を文字だと思って文字式と同じように計算し、最後に \(i^2=-1\) を代入して整理すればよい。割り算だけは分母に \(i\) が残らないように「共役複素数」という特別な道具を使う。

加法・減法・乗法

加法・減法：実部どうし・虚部どうしをそれぞれ計算する。 \[(a+bi)\pm(c+di) = (a\pm c)+(b\pm d)i\] 乗法：分配法則で展開し、\(i^2=-1\) を使って整理する。

例題1　\((3+2i)+(1-5i)\) と \((3+2i)-(1-5i)\) を計算せよ。

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和：実部 \(3+1=4\)、虚部 \(2+(-5)=-3\) → \(4-3i\) 差：実部 \(3-1=2\)、虚部 \(2-(-5)=7\) → \(2+7i\) 和は \(4-3i\)、差は \(2+7i\)

例題2　\((2-i)(3+4i)\) を計算せよ。

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分配法則で展開する。 \((2-i)(3+4i) = 6+8i-3i-4i^2\) \(i^2=-1\) より \(-4i^2 = 4\) \(= 6+5i+4 = 10+5i\) \(10+5i\)

共役複素数と除法

\(z=a+bi\) に対して、虚部の符号だけを反転させた \(\bar z = a-bi\) を \(z\) の共役複素数という。\(z\) と \(\bar z\) をかけると必ず実数になるのがポイント。

\[z\bar z = (a+bi)(a-bi) = a^2-(bi)^2 = a^2+b^2\] \(z\bar z\) は常に実数（しかも \(0\) 以上）になる。これを利用して、割り算は分母の共役を分母・分子の両方にかけて分母を実数化する。

例題3　\(\dfrac{1+2i}{3-i}\) を計算せよ。

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分母 \(3-i\) の共役 \(3+i\) を分母・分子にかける。 \(\dfrac{1+2i}{3-i} = \dfrac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}\) 分子：\((1+2i)(3+i) = 3+i+6i+2i^2 = 3+7i-2 = 1+7i\) 分母：\((3-i)(3+i) = 3^2+1^2 = 10\)（\(a^2+b^2\) の形） \(= \dfrac{1+7i}{10} = \dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i\) \(\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i\)
STEP 3

iのn乗の周期性

\(i\) を次々にかけていくと、\(4\) 個ずつのグループで同じ値がぐるぐる巡ってくる。次数が大きい問題では、律儀に \(i\) をかけ続けなくても「\(4\) で割った余り」だけ見ればよい。

\(i^1=i,\ \ i^2=-1,\ \ i^3=-i,\ \ i^4=1,\ \ i^5=i,\ \ i^6=-1,\ \dots\)（\(4\)個で1周期）
ルール：\(n\) を \(4\) で割った余りを \(r\) とすると \(i^n = i^r\)（ただし \(i^0=1\) と約束する）。

例題1　\(i^{13}\) の値を求めよ。

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\(13 \div 4 = 3\) 余り \(1\) \(i^{13} = i^1 = i\) \(i\)

例題2　\(i^{47}\) の値を求めよ。

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\(47 \div 4 = 11\) 余り \(3\) \(i^{47} = i^3 = -i\) \(-i\)
STEP 4

負の数の平方根

根号の中に負の数が来たら、\(a>0\) のとき \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i\) と決める。ここでよくある大きな罠は、根号の中が両方とも負のときに \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) をそのまま使ってしまうミス。

\(a>0\) のとき \[\sqrt{-a} = \sqrt{a}\,i\] 例：\(\sqrt{-3}=\sqrt3\,i\)、\(\sqrt{-9}=3i\)
罠に注意！　\(\sqrt{-2}\ \sqrt{-3}\) を計算せよ。
誤り：\(\sqrt{-2}\ \sqrt{-3} \ne \sqrt{(-2)(-3)}=\sqrt6\)（根号の中が両方負のときはこの公式は使えない）
正しい手順：先に \(a+bi\) の形へ直してから掛ける。 \[\sqrt{-2}\ \sqrt{-3} = (\sqrt2\,i)(\sqrt3\,i) = \sqrt6\,i^2 = -\sqrt6\] 結論：\(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) が使えるのは \(a,\ b\) の少なくとも一方が \(0\) 以上のときだけ。両方が負のときは、先にそれぞれ \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}\,i\) の形に直してから掛け算・割り算をする。

例題1　\(\sqrt{-49}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

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\(\sqrt{-49} = \sqrt{49}\,i = 7i\) \(0+7i\)

例題2　\(\sqrt{-6}\times\sqrt{-24}\) を計算せよ。

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根号の中が両方とも負なので、先にそれぞれ \(a+bi\) の形に直す。 \(\sqrt{-6} = \sqrt6\,i,\ \ \sqrt{-24} = \sqrt{24}\,i\) \(\sqrt{-6}\times\sqrt{-24} = \sqrt6\,i \times \sqrt{24}\,i = \sqrt{6\times24}\,i^2 = \sqrt{144}\times(-1) = 12\times(-1) = -12\) \(-12\)
STEP 5

計算の進め方（まとめ）

手順1　まず \(a+bi\) の形に整理する（実部・虚部をはっきりさせる）
↓
手順2　掛け算・割り算は \(i^2=-1\) で整理。割り算は分母の共役を分母・分子にかけて実数化
↓
手順3　\(i^n\) は \(n\) を \(4\) で割った余りで判断する
↓
手順4　根号の中が負のときは先に \(\sqrt{-a}=\sqrt{a}i\) の形に直す（両方負の積は特に注意）
注意　根号の中が両方とも負の数どうしの積・商は、絶対に \(\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}\) を直接使わない。必ず先に \(i\) の形に直してから計算すること。
練習問題（全20問）

答えは \(a+bi\) の形で、実部と虚部を別々の欄に入力しよう。分数は「-1/2」のように入力。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
加法

\((2+3i)+(4-5i)\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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実部：\(2+4=6\)、虚部：\(3+(-5)=-2\) \(6-2i\)
2
減法

\((5-i)-(3+4i)\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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実部：\(5-3=2\)、虚部：\(-1-4=-5\) \(2-5i\)
3
乗法（分配法則）

\((2+i)(3-i)\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\((2+i)(3-i) = 6-2i+3i-i^2 = 6+i+1 = 7+i\) \(7+i\)
4
共役の積（結果は実数）

\((1-2i)(1+2i)\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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共役どうしの積は \(a^2+b^2\) の形になる。 \((1-2i)(1+2i) = 1^2+2^2 = 1+4 = 5\) \(5+0i\)
5
iの累乗（小さい数）

\(i^5\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(5 \div 4 = 1\) 余り \(1\)　→　\(i^5 = i^1 = i\) \(0+i\)
6
iの累乗（4で割る）

\(i^{10}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(10 \div 4 = 2\) 余り \(2\)　→　\(i^{10} = i^2 = -1\) \(-1+0i\)
7
負の数の平方根

\(\sqrt{-9}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(\sqrt{-9} = \sqrt9\,i = 3i\) \(0+3i\)
8
複素数の相等

実数 \(x,\ y\) が \((x-2)+(y+1)i = 3-4i\) を満たすとき、\(x,\ y\) の値を求めよ。

x= 　y=
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実部：\(x-2=3\) → \(x=5\) 虚部：\(y+1=-4\) → \(y=-5\) \(x=5,\ y=-5\)
標準（9〜16）　※パターンは自分で判定
9

\((3+2i)(1-i)\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\((3+2i)(1-i) = 3-3i+2i-2i^2 = 3-i+2 = 5-i\) \(5-i\)
10

\(\dfrac{4-i}{1+i}\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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分母 \(1+i\) の共役 \(1-i\) を分母・分子にかける。 分子：\((4-i)(1-i) = 4-4i-i+i^2 = 4-5i-1 = 3-5i\) 分母：\((1+i)(1-i) = 1^2+1^2 = 2\) \(\dfrac{3-5i}{2} = \dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}i\) \(\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}i\)
11

\(\dfrac{2+3i}{i}\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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分母 \(i\) の共役 \(-i\) を分母・分子にかける（\(i\times(-i) = -i^2 = 1\) で分母が実数化される）。 分子：\((2+3i)(-i) = -2i-3i^2 = -2i+3 = 3-2i\) 分母：\(1\) \(3-2i\)
12

\(i^{37}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(37 \div 4 = 9\) 余り \(1\)　→　\(i^{37} = i^1 = i\) \(0+i\)
13

\(i^{100}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(100 \div 4 = 25\) 余り \(0\)　→　\(i^{100} = i^0 = 1\) \(1+0i\)
14
根号の中が両方負の罠に注意

\(\sqrt{-4}\times\sqrt{-25}\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
解説を見る
根号の中が両方とも負なので、先にそれぞれ \(a+bi\) の形に直す。 \(\sqrt{-4} = 2i,\ \ \sqrt{-25} = 5i\) \(\sqrt{-4}\times\sqrt{-25} = 2i\times5i = 10i^2 = -10\) （もし \(\sqrt{(-4)(-25)}=\sqrt{100}=10\) としてしまうと符号を間違える） \(-10+0i\)
15

\(\sqrt{-8}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(\sqrt{-8} = \sqrt8\,i = \sqrt{4\times2}\,i = 2\sqrt2\,i\) \(0+2\sqrt2\,i\)
16

実数 \(x,\ y\) が \((2x+y)+(x-y)i = 7+2i\) を満たすとき、\(x,\ y\) の値を求めよ。

x= 　y=
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相等より実部・虚部それぞれで方程式を作る。 \(2x+y=7\ \cdots(1)\) \(x-y=2\ \cdots(2)\) (1)＋(2)：\(3x=9\) → \(x=3\)。(2)に代入：\(3-y=2\) → \(y=1\) \(x=3,\ y=1\)
挑戦（17〜20）
17
共役の平方どうしの積

\((1+i)^2(1-i)^2\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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先にそれぞれの2乗を計算する。 \((1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i\) \((1-i)^2 = 1-2i+i^2 = -2i\) \((1+i)^2(1-i)^2 = 2i\times(-2i) = -4i^2 = 4\) \(4+0i\)
18
3乗の展開

\((2-i)^3\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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まず \((2-i)^2\) を計算してから \((2-i)\) をもう一度かける。 \((2-i)^2 = 4-4i+i^2 = 4-4i-1 = 3-4i\) \((2-i)^3 = (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 6-11i-4 = 2-11i\) \(2-11i\)
19
iの累乗（大きい数）

\(i^{123}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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\(123 \div 4 = 30\) 余り \(3\)　→　\(i^{123} = i^3 = -i\) \(0-i\)
20

\(\dfrac{1+2i}{2-i}-\dfrac{1-2i}{2+i}\) を計算し、\(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
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それぞれ分母の共役を分母・分子にかけて実数化する。 \(\dfrac{1+2i}{2-i} = \dfrac{(1+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \dfrac{2+i+4i+2i^2}{4+1} = \dfrac{5i}{5} = i\) \(\dfrac{1-2i}{2+i} = \dfrac{(1-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \dfrac{2-i-4i+2i^2}{4+1} = \dfrac{-5i}{5} = -i\) 差：\(i-(-i) = 2i\) \(0+2i\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
複素数の値の計算

\(x=1+i\) のとき、\(x^2-2x+3\) の値を求めよ。

値
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\(x^2-2x+3 = (x^2-2x+1)+2 = (x-1)^2+2\) と変形すると、\(x-1\) の形が使えて計算が速い。 \(x-1 = (1+i)-1 = i\) \((x-1)^2 = i^2 = -1\) \(x^2-2x+3 = -1+2 = 1\) \(1\)
応2
iの累乗（大きい指数）

\(i^{2026}\) を \(a+bi\) の形で表せ。

a+biの形で　a= 　b=
解説を見る
\(2026 \div 4\) を計算する。\(4\times506=2024\) なので \(2026 = 4\times506+2\)、余りは \(2\)。 \(i^{2026} = i^2 = -1\) \(-1+0i\)
応3
相等条件から係数決定

実数 \(a,\ b\) が \((a+bi)(2-i) = 4+3i\) を満たすとき、\(a,\ b\) の値を求めよ。

a= 　b=
解説を見る
左辺を展開して \(a+bi\) の形に整理する。 \((a+bi)(2-i) = 2a-ai+2bi-bi^2 = 2a-ai+2bi+b = (2a+b)+(2b-a)i\) 右辺 \(4+3i\) と相等より 実部：\(2a+b=4\ \cdots(1)\) 虚部：\(-a+2b=3\ \cdots(2)\) (1)より \(b=4-2a\)。(2)に代入：\(-a+2(4-2a)=3\) → \(-a+8-4a=3\) → \(-5a=-5\) → \(a=1\) このとき \(b=4-2=2\) 検算：\((1+2i)(2-i) = 2-i+4i-2i^2 = 2+3i+2 = 4+3i\)　○ \(a=1,\ b=2\)
応4
iの周期性を利用した和

\(i+i^2+i^3+\cdots+i^{40}\) の値を求めよ。

値
解説を見る
連続する4個の和は必ず打ち消し合って \(0\) になることを利用する。 \(i^1+i^2+i^3+i^4 = i+(-1)+(-i)+1 = 0\) \(i\) から \(i^{40}\) までは \(40\) 個の項があり、\(40 \div 4 = 10\) なので「\(4\)個で\(0\)になる組」がちょうど \(10\) 組ぶん、余りなく並んでいる。 \(0\)
応5
解の公式と負の判別式

2次方程式 \(x^2-2x+5=0\) を解け。（解の公式を用いよ。コンマ区切りで入力）

x=
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解の公式 \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) に \(a=1,\ b=-2,\ c=5\) を代入する。 判別式：\(b^2-4ac = (-2)^2-4\times1\times5 = 4-20 = -16\)（負の数） 判別式が負なので、根号の中を \(a+bi\) の形に直す。 \(\sqrt{-16} = \sqrt{16}\,i = 4i\) \(x = \dfrac{2\pm4i}{2} = 1\pm2i\) \(x=1+2i,\ 1-2i\)