曲線とx軸の間の面積
定積分 \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) は、区間で \(f(x)\ge 0\) ならそのまま面積になる。でも \(f(x)\le 0\)（グラフがx軸より下）のときは積分値がマイナスになってしまう。面積は必ず0以上の量なので、マイナスの部分には「−」を付けて（＝絶対値をとって）足し合わせるのがルールだ。
区間 \([a,b]\) で \(f(x)\ge 0\) のとき 面積 \(S=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
区間 \([a,b]\) で \(f(x)\le 0\) のとき 面積 \(S=-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
途中で符号が変わるときは、x軸との交点で区間を分割し、各区間ごとに正負を判定してから絶対値をとって合計する。
区間 \([a,b]\) で \(f(x)\le 0\) のとき 面積 \(S=-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
途中で符号が変わるときは、x軸との交点で区間を分割し、各区間ごとに正負を判定してから絶対値をとって合計する。
例題 \(y=x^2-4\) のグラフとx軸、および直線 \(x=0\)、\(x=3\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答を見る
\(x^2-4=0\) を解くと \(x=\pm2\)。区間 \([0,3]\) の中にある交点は \(x=2\) のみ。
\(x=1\) を代入すると \(1-4=-3<0\)、\(x=2.5\) を代入すると \(6.25-4=2.25>0\) なので、
\([0,2]\) では \(f(x)\le0\)、\([2,3]\) では \(f(x)\ge0\)。よって \(x=2\) で区間を分割する。
\(\displaystyle\int (x^2-4)\,dx = \dfrac{x^3}{3}-4x\)
\([0,2]\)：\(\left[\dfrac{x^3}{3}-4x\right]_0^2 = \left(\dfrac{8}{3}-8\right)-0=-\dfrac{16}{3}\) 符号がマイナスなので面積は \(\dfrac{16}{3}\)。
\([2,3]\)：\(\left[\dfrac{x^3}{3}-4x\right]_2^3 = (9-12)-\left(\dfrac{8}{3}-8\right)=-3+\dfrac{16}{3}=\dfrac{7}{3}\) こちらは符号がプラスなのでそのまま面積 \(\dfrac{7}{3}\)。
面積 \(=\dfrac{16}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{23}{3}\)
2曲線の間の面積
2つの曲線 \(y=f(x)\)、\(y=g(x)\) にはさまれた部分の面積は、区間内でどちらが上かを確認してから（上−下）を積分すればよい。x軸との面積（STEP 1）は、実は \(g(x)=0\)（x軸）の特別な場合と考えることができる。
区間 \([a,b]\) で \(f(x)\ge g(x)\) のとき 面積 \(S=\displaystyle\int_a^b \{f(x)-g(x)\}\,dx\)
手順：1. 2曲線の方程式を連立して交点のx座標を求める 2. 区間内でどちらが上かを1点代入して確認する 3.（上−下）を交点から交点まで積分する
手順：1. 2曲線の方程式を連立して交点のx座標を求める 2. 区間内でどちらが上かを1点代入して確認する 3.（上−下）を交点から交点まで積分する
例題 \(y=x^2\) と \(y=x+2\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
解答を見る
交点：\(x^2=x+2\) より \(x^2-x-2=0\)、\((x-2)(x+1)=0\) なので \(x=-1,\ 2\)。
\(x=0\) を代入すると直線側は \(2\)、放物線側は \(0\) なので、区間内は直線が上。
\(S=\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(x+2)-x^2\}\,dx = \int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}\)
\(x=2\)：\(-\dfrac{8}{3}+2+4=\dfrac{10}{3}\) \(x=-1\)：\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{7}{6}\)
面積 \(=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{20}{6}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}\)
放物線と直線の面積公式（1/6公式）
放物線と直線（またはもう1つの放物線）で囲まれた面積は、実は交点のx座標だけで一発計算できる速算公式がある。毎回積分を計算しなくてよいので、入試では覚えておくと圧倒的に速い。
2つの曲線の差 \(f(x)-g(x)\) が、交点のx座標 \(\alpha,\ \beta\)（\(\alpha<\beta\)）を使って \(a(x-\alpha)(x-\beta)\) の形に書けるとき、
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}\)
\(a\) は差の2次の項の係数（放物線と直線なら、放物線のほうの \(x^2\) の係数と一致する）。
この公式が成り立つ理由（概略）
\([\alpha,\beta]\) の間では \((x-\alpha)\) と \((x-\beta)\) の符号が逆になるので、積 \((x-\alpha)(x-\beta)\) は常にマイナス。よって面積は
\(S=\displaystyle\int_\alpha^\beta |a(x-\alpha)(x-\beta)|\,dx=|a|\displaystyle\int_\alpha^\beta -(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\)
ここで \(t=x-\alpha\) と置き換えると、\(x-\beta=t-(\beta-\alpha)\)。\(h=\beta-\alpha\) とおいて計算すると
\(\displaystyle\int_0^h -t(t-h)\,dt=\int_0^h(ht-t^2)\,dt=\left[\dfrac{ht^2}{2}-\dfrac{t^3}{3}\right]_0^h=\dfrac{h^3}{2}-\dfrac{h^3}{3}=\dfrac{h^3}{6}\)
したがって \(S=|a|\cdot\dfrac{h^3}{6}=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}\) が成り立つ。
例題 \(y=x^2-2x\) と \(y=x\) の交点を求め、囲まれた面積を公式を使って求めよ。
解答を見る
交点：\(x^2-2x=x\) より \(x^2-3x=0\)、\(x(x-3)=0\) なので \(x=0,\ 3\)（\(\alpha=0,\ \beta=3\)）。
差（直線−放物線）\(=x-(x^2-2x)=-x^2+3x=-(x-0)(x-3)\) 2次の項の係数 \(a=-1\)（\(|a|=1\)）。
公式より \(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=1\times\dfrac{3^3}{6}=\dfrac{27}{6}\)
面積 \(=\dfrac{9}{2}\)
解き方の流れ（まとめ）と3次関数への拡張
手順1 交点（またはx軸との交点）のx座標を求める
↓
手順2 区間内でどちらが上か（またはx軸の上か下か）を1点代入して確認する
↓
符号（上下）が変わらない
そのまま（上−下）を積分するか、1/6公式を使う
そのまま（上−下）を積分するか、1/6公式を使う
途中で符号が変わる
交点で区間を分割し、それぞれ絶対値をとって合計する
交点で区間を分割し、それぞれ絶対値をとって合計する
↓
手順3 実際に積分を計算し（または公式に代入し）、面積を求める
発展：3次関数と接線の面積 3次関数のグラフとその接線で囲まれた面積も、考え方は同じ（差を作って積分するだけ）。ただし接点では2曲線が接する（重解になる）ので、差は \(a(x-p)^2(x-\beta)\) の形になる特徴がある（\(p\)は接点、\(\beta\)はもう一方の交点）。このとき専用の公式 \(S=|a|\dfrac{(\beta-p)^4}{12}\) も使える。この形の問題は応用問題で扱う。
練習問題（全16問）
答えは分数で入力しよう（例：「9/2」）。有限小数になるものは小数でもOK。「採点」ボタンで○×が出るぞ。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
基本（1〜6）
1
曲線とx軸（区間全体で正）
\(y=x^2\) のグラフとx軸、および直線 \(x=0\)、\(x=3\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
区間 \([0,3]\) で \(x^2\ge0\) なのでそのまま積分すればよい。
\(S=\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{27}{3}\)
面積 \(=9\)
2
曲線とx軸（区間全体で正）
\(y=-x^2+4\) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(-x^2+4=0\) より \(x=\pm2\)。この区間で \(-x^2+4\ge0\) なのでそのまま積分。
\(S=\displaystyle\int_{-2}^{2}(-x^2+4)\,dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+4x\right]_{-2}^{2}=\dfrac{16}{3}-\left(-\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{32}{3}\)
面積 \(=\dfrac{32}{3}\)
3
曲線とx軸（区間全体で負・絶対値注意）
\(y=x^2-4x\) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(x^2-4x=0\) より \(x=0,\ 4\)。\(x=2\) を代入すると \(4-8=-4<0\) なので、この区間では \(f(x)\le0\)。
面積を求めるにはマイナスを付ける。
\(S=-\displaystyle\int_0^4(x^2-4x)\,dx=-\left[\dfrac{x^3}{3}-2x^2\right]_0^4=-\left(\dfrac{64}{3}-32\right)=-\left(-\dfrac{32}{3}\right)=\dfrac{32}{3}\)
面積 \(=\dfrac{32}{3}\)
4
2曲線（放物線と直線）
\(y=x^2\) と \(y=x+2\)（STEP 2の例題と同じ2曲線）で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
STEP 2の例題と同じ計算になる。交点は \(x=-1,\ 2\)、区間内は直線が上。
面積 \(=\dfrac{9}{2}\)
5
2曲線（放物線どうし）
\(y=-2x^2+6x\) と \(y=x^2\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
交点：\(-2x^2+6x=x^2\) より \(3x^2-6x=0\)、\(3x(x-2)=0\) なので \(x=0,\ 2\)。
\(x=1\) を代入すると \(-2x^2+6x\) 側は \(4\)、\(x^2\) 側は \(1\) なので \(-2x^2+6x\) が上。
\(S=\displaystyle\int_0^2\{(-2x^2+6x)-x^2\}\,dx=\int_0^2(-3x^2+6x)\,dx=\left[-x^3+3x^2\right]_0^2=-8+12\)
面積 \(=4\)
6
曲線とx軸（符号が2回変わる）
\(y=x^2-1\) のグラフとx軸、および直線 \(x=-2\)、\(x=2\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(x^2-1=0\) より \(x=\pm1\)。区間 \([-2,2]\) の中に交点が2つあるので、\([-2,-1]\)、\([-1,1]\)、\([1,2]\) の3つに分割する。
\(x=-1.5\) で \(1.25>0\)、\(x=0\) で \(-1<0\)、\(x=1.5\) で \(1.25>0\)。
\(\displaystyle\int(x^2-1)\,dx=\dfrac{x^3}{3}-x\)
\([-2,-1]\)：\(\left(-\dfrac{1}{3}+1\right)-\left(-\dfrac{8}{3}+2\right)=\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\)（プラスのまま）
\([-1,1]\)：\(\left(\dfrac{1}{3}-1\right)-\left(-\dfrac{1}{3}+1\right)=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{4}{3}\)（マイナスなので面積は \(\dfrac{4}{3}\)）
\([1,2]\)：\(\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-1\right)=\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{4}{3}\)（プラスのまま）
面積 \(=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}=4\)
標準（7〜13） ※パターンは自分で判定
7
\(y=x^2-2x-3\) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を、1/6公式を使って求めよ。
面積
解説を見る
\(x^2-2x-3=0\) より \((x-3)(x+1)=0\)、\(x=-1,\ 3\)（\(\alpha=-1,\ \beta=3\)）。放物線の \(x^2\) の係数 \(a=1\)。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=1\times\dfrac{4^3}{6}=\dfrac{64}{6}\)
面積 \(=\dfrac{32}{3}\)
8
\(y=x^2-3x+2\) と \(y=-x+2\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
交点：\(x^2-3x+2=-x+2\) より \(x^2-2x=0\)、\(x=0,\ 2\)。差（直線−放物線）\(=-x^2+2x=-(x-0)(x-2)\)、\(a=-1\)。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=1\times\dfrac{2^3}{6}=\dfrac{8}{6}\)
面積 \(=\dfrac{4}{3}\)
9
\(y=x^3-x\) のグラフとx軸、および直線 \(x=-1\)、\(x=1\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(x^3-x=x(x-1)(x+1)\) より、区間 \([-1,1]\) の中の交点は \(x=0\)。
\(x=-0.5\) で \(0.375>0\)、\(x=0.5\) で \(-0.375<0\) なので \(x=0\) で分割する。
\(\displaystyle\int(x^3-x)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\)
\([-1,0]\)：\(0-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)=0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}\)（プラスのまま）
\([0,1]\)：\(\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)-0=-\dfrac{1}{4}\)（マイナスなので面積は \(\dfrac{1}{4}\)）
面積 \(=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
10
\(y=\dfrac{1}{2}x^2-2\) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(\dfrac{1}{2}x^2-2=0\) より \(x^2=4\)、\(x=\pm2\)。\(a=\dfrac{1}{2}\)。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4^3}{6}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{64}{6}=\dfrac{32}{6}\)
面積 \(=\dfrac{16}{3}\)
11
\(y=-x^2+2x+3\) と \(y=x+1\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
交点：\(-x^2+2x+3=x+1\) より \(x^2-x-2=0\)、\((x-2)(x+1)=0\)、\(x=-1,\ 2\)。
\(x=0\) を代入すると放物線側 \(3\)、直線側 \(1\) なので放物線が上。差 \(=-x^2+x+2=-(x+1)(x-2)\)、\(a=-1\)。
\(S=1\times\dfrac{3^3}{6}=\dfrac{27}{6}\)
面積 \(=\dfrac{9}{2}\)
12
\(y=-x^2+6x\) と \(y=x^2\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
交点：\(-x^2+6x=x^2\) より \(-2x^2+6x=0\)、\(2x(3-x)=0\)、\(x=0,\ 3\)。
差 \(=(-x^2+6x)-x^2=-2x^2+6x=-2x(x-3)\)、\(a=-2\)。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=2\times\dfrac{3^3}{6}=2\times\dfrac{27}{6}=\dfrac{54}{6}\)
面積 \(=9\)
13
\(y=2x^2-8x+6\) のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(2x^2-8x+6=0\) より \(x^2-4x+3=0\)、\((x-1)(x-3)=0\)、\(x=1,\ 3\)。\(a=2\)（2次の係数はそのまま）。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=2\times\dfrac{2^3}{6}=2\times\dfrac{8}{6}\)
面積 \(=\dfrac{8}{3}\)
挑戦（14〜16）
14
交点が区間の途中にある（分割注意）
\(y=x^2-2x\) と \(y=x\) について、\(0\le x\le4\) の範囲で2曲線とで囲まれた部分の面積を求めよ（2曲線は \(x=3\) でも交わるので、区間の途中で上下が入れ替わることに注意）。
面積
解説を見る
交点：\(x^2-2x=x\) より \(x^2-3x=0\)、\(x=0,\ 3\)。区間 \([0,4]\) の中に \(x=3\) があるので、ここで分割する。
\(x=1\) では直線が上（\(1>-1\)）、\(x=3.5\) では放物線が上（\(5.25>3.5\)）。
\([0,3]\)：\(\displaystyle\int_0^3\{x-(x^2-2x)\}\,dx=\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{3x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=13.5-9=\dfrac{9}{2}\)
\([3,4]\)：\(\displaystyle\int_3^4\{(x^2-2x)-x\}\,dx=\int_3^4(x^2-3x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}\right]_3^4=\left(-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-\dfrac{9}{2}\right)=\dfrac{11}{6}\)
面積 \(=\dfrac{9}{2}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{27}{6}+\dfrac{11}{6}=\dfrac{38}{6}=\dfrac{19}{3}\)
15
3次関数とx軸（符号が2回変わる・非対称）
\(y=x^3-4x\) のグラフとx軸、および直線 \(x=-1\)、\(x=3\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(x^3-4x=x(x-2)(x+2)\) より、区間 \([-1,3]\) の中にある交点は \(x=0,\ 2\)（\(x=-2\)は区間の外）。
\(x=-0.5\) で \(1.875>0\)、\(x=1\) で \(-3<0\)、\(x=2.5\) で \(5.625>0\)。3つに分割する。
\(\displaystyle\int(x^3-4x)\,dx=\dfrac{x^4}{4}-2x^2\)
\([-1,0]\)：\(0-\left(-\dfrac{7}{4}\right)=\dfrac{7}{4}\)（プラスのまま）
\([0,2]\)：\((-4)-0=-4\)（マイナスなので面積は\(4\)）
\([2,3]\)：\(\dfrac{9}{4}-(-4)=\dfrac{25}{4}\)（プラスのまま）
面積 \(=\dfrac{7}{4}+4+\dfrac{25}{4}=\dfrac{7}{4}+\dfrac{16}{4}+\dfrac{25}{4}=\dfrac{48}{4}=12\)
16
2曲線が3点で交わる（総合問題）
\(y=x^3\) と \(y=x\) で囲まれた部分の面積を求めよ（2曲線は \(x=-1,\ 0,\ 1\) の3点で交わる）。
面積
解説を見る
交点：\(x^3=x\) より \(x^3-x=0\)、\(x(x-1)(x+1)=0\)、\(x=-1,\ 0,\ 1\)。
\(x=-0.5\) で \(x^3=-0.125\)、\(x=-0.5\) なので \(x^3>x\)（3次関数が上）。
\(x=0.5\) で \(x^3=0.125\)、\(x=0.5\) なので \(x>x^3\)（直線が上）。よって \(x=0\) で分割する。
\([-1,0]\)：\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}=0-\left(-\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{4}\)
\([0,1]\)：\(\displaystyle\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}\)
面積 \(=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}\)
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。1/6公式の応用と、3次関数の接線がからむ入試の基礎レベルに挑戦しよう。
応1
1/6公式の速解
\(y=x^2-1\) と \(y=x+1\) で囲まれた部分の面積を、1/6公式を使って求めよ。
面積
解説を見る
交点：\(x^2-1=x+1\) より \(x^2-x-2=0\)、\((x-2)(x+1)=0\)、\(x=-1,\ 2\)。
差（直線−放物線）\(=(x+1)-(x^2-1)=-x^2+x+2=-(x+1)(x-2)\)、\(a=-1\)（\(|a|=1\)）。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=1\times\dfrac{3^3}{6}=\dfrac{27}{6}\)
面積 \(=\dfrac{9}{2}\)
応2
放物線と2本の接線で囲まれる面積
放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((1,\ 1)\) における接線と、点 \((-1,\ 1)\) における接線を求め、この2本の接線と放物線とで囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
\(y'=2x\)。\(x=1\) での接線：傾き \(2\)、\(y=2(x-1)+1=2x-1\)。\(x=-1\) での接線：傾き \(-2\)、\(y=-2(x+1)+1=-2x-1\)。
2本の接線の交点：\(2x-1=-2x-1\) より \(x=0\)、\(y=-1\)（交点 \((0,-1)\)）。
区間 \([-1,0]\) では放物線が上・左の接線 \(y=-2x-1\) が下。区間 \([0,1]\) では放物線が上・右の接線 \(y=2x-1\) が下。
\([-1,0]\)：\(\displaystyle\int_{-1}^{0}\{x^2-(-2x-1)\}\,dx=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx=\left[\dfrac{(x+1)^3}{3}\right]_{-1}^{0}=\dfrac{1}{3}\)
\([0,1]\)：\(\displaystyle\int_{0}^{1}\{x^2-(2x-1)\}\,dx=\int_{0}^{1}(x-1)^2\,dx=\left[\dfrac{(x-1)^3}{3}\right]_{0}^{1}=0-\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\)
面積 \(=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\)（放物線と2接線で囲まれる面積は \(|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{12}=1\times\dfrac{2^3}{12}=\dfrac{2}{3}\) という公式でも確かめられる）
応3
面積二等分
\(y=x^2\) と \(y=2x\) で囲まれた部分の面積を、原点を通り \(x\) 軸に垂直な直線ではなく、直線 \(x=t\)（\(0<t<2\)）で2つの部分に分けたとき、面積が2等分される \(t\) の値を求めよ。
\(t=\)
解説を見る
交点：\(x^2=2x\) より \(x=0,\ 2\)。区間内は \(y=2x\) が上。全体の面積は
\(S=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\left[x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}\)。半分は \(\dfrac{2}{3}\)。
\(x=t\) までの面積：\(\displaystyle\int_0^t(2x-x^2)\,dx=t^2-\dfrac{t^3}{3}\)。これが \(\dfrac{2}{3}\) に等しいとして
\(t^2-\dfrac{t^3}{3}=\dfrac{2}{3}\) 両辺3倍して \(3t^2-t^3=2\) 整理して \(t^3-3t^2+2=0\)
\(t=1\) を代入すると \(1-3+2=0\) で成り立つ。因数分解すると \((t-1)(t^2-2t-2)=0\)。
\(t^2-2t-2=0\) の解は \(t=1\pm\sqrt{3}\) だが、\(1+\sqrt{3}\approx2.73\)、\(1-\sqrt{3}\approx-0.73\) はどちらも \(0<t<2\) の範囲外。
\(t=1\)（差の関数 \(2x-x^2\) が \(x=1\) について対称なことからも納得できる）
応4
3次関数と接線の面積
3次関数 \(y=x^3-3x+2\) について、\(x=1\) における接線を求めよ。また、この接線と曲線とで囲まれた部分の面積を求めよ。
接線の式 \(y=\) 面積
解説を見る
\(f(x)=x^3-3x+2\)、\(f'(x)=3x^2-3\)。\(f(1)=1-3+2=0\)、\(f'(1)=3-3=0\)。
接線：\(y=f(1)+f'(1)(x-1)=0\)（すなわちx軸）。\(f'(1)=0\) なので \(x=1\) は接点であり、曲線は接線（x軸）と \(x=1\) で接する。
もう一方の交点：\(x^3-3x+2=0\) を解くと、\(x=1\) が重解であることを使って因数分解すると \((x-1)^2(x+2)=0\)、よって \(x=-2\)。
\(x=0\) を代入すると \(f(0)=2>0\) なので、区間 \([-2,1]\) では曲線が接線（x軸）より上にある。
\(S=\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3-3x+2)\,dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{3x^2}{2}+2x\right]_{-2}^{1}\)
\(x=1\)：\(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{3}{4}\) \(x=-2\)：\(4-6-4=-6\)
接線は \(y=0\)、面積 \(=\dfrac{3}{4}-(-6)=\dfrac{27}{4}\)（\(=|a|\dfrac{(\beta-p)^4}{12}=1\times\dfrac{3^4}{12}=\dfrac{27}{4}\) の公式でも確認できる）
応5
2つの放物線の面積（1/6公式の応用）
\(y=x^2\) と \(y=-x^2+4x\) で囲まれた部分の面積を求めよ。
面積
解説を見る
交点：\(x^2=-x^2+4x\) より \(2x^2-4x=0\)、\(2x(x-2)=0\)、\(x=0,\ 2\)。
\(x=1\) を代入すると \(-x^2+4x\) 側は \(3\)、\(x^2\) 側は \(1\) なので \(-x^2+4x\) が上。
差 \(=(-x^2+4x)-x^2=-2x^2+4x=-2x(x-2)\)、\(a=-2\)（\(|a|=2\)）。
1/6公式は放物線と直線に限らず、差が \(a(x-\alpha)(x-\beta)\) の形になる2曲線ならいつでも使える。
\(S=|a|\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}=2\times\dfrac{2^3}{6}=2\times\dfrac{8}{6}\)
面積 \(=\dfrac{8}{3}\)