座標で \(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) を定義し直す
これまで \(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) は直角三角形の辺の比として定義してきた。でもそれだと \(\theta\) が鋭角（\(0^\circ<\theta<90^\circ\)）のときしか使えない。図形の問題では三角形の内角が鈍角になることもあるので、\(90^\circ\) を超える角にも対応できるように、定義を座標で書き直そう。
原点 \(O\) を中心とする半径 \(r\) の円をかき、その円周の上半分（\(y \ge 0\) の部分）に点 \(P(x,\ y)\) をとる。\(x\) 軸の正の方向から反時計回りに測った角を \(\theta\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）とすると、次のように定義する。
\(P\) から \(x\) 軸に垂線をおろし、その足を \(H\) とすると直角三角形 \(OHP\) ができる。\(\theta\) が鋭角のときは \(H\) が原点より右側にでき、これは今までの「直角三角形の辺の比」による定義とぴったり一致する。直角三角形の内角の和は \(180^\circ\) だから、\(\angle P = 90^\circ - \theta\) となることも同時にわかる。
\(\theta\) が \(90^\circ\) を超えると、点 \(P\) は \(y\) 軸の左側（\(x<0\)）に移る。\(y\) は \(0\) 以上のままなので、符号は次のようにまとまる。
\(\theta=90^\circ\)（\(x=0\)）→ \(\sin\theta=1,\ \cos\theta=0,\ \tan\theta\) は定義されない
\(90^\circ<\theta<180^\circ\)（\(x<0,\ y>0\)）→ \(\sin\theta>0,\ \cos\theta<0,\ \tan\theta<0\)
例題1 \(\theta=180^\circ\) のとき、\(\sin\theta,\ \cos\theta,\ \tan\theta\) の値を求めよ。
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\(90^\circ-\theta\) と \(180^\circ-\theta\) の公式
STEP1の図をもう一度使うと \(90^\circ-\theta\)（角を \(90^\circ\) から引く）の公式が導ける。さらに、点を \(y\) 軸で折り返す（\(x\) 座標の符号だけ変える）と \(180^\circ-\theta\)（角を \(180^\circ\) から引く）の公式も導ける。
\(90^\circ-\theta\)（同じ直角三角形のもう一方の角）
STEP1の直角三角形 \(OHP\) で \(\angle P = 90^\circ-\theta\) だった。\(\angle P\) から見ると、対辺は \(OH=x\)、隣辺は \(HP=y\)、斜辺は \(OP=r\) になる（\(\angle O\) から見たときと対辺・隣辺が入れ替わる）。
\(180^\circ-\theta\)（\(y\)軸に関して対称な点）
点 \(P(x,\ y)\) を \(y\) 軸で折り返すと点 \(P'(-x,\ y)\) になる。これは角でいうと \(180^\circ-\theta\) の位置にある点で、\(y\) 座標は変わらず \(x\) 座標の符号だけが反転する。たとえば \(\theta=150^\circ\) なら、\(P\) は \(x<0\) の側にあり、直角三角形の中に基準角 \(180^\circ-150^\circ=30^\circ\) が現れる。
2つの公式をまとめると次の表のようになる。
| 変換 | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
| \(90^\circ-\theta\) | \(\cos\theta\) | \(\sin\theta\) | \(\dfrac{1}{\tan\theta}\) |
| \(180^\circ-\theta\) | \(\sin\theta\) | \(-\cos\theta\) | \(-\tan\theta\) |
例題2 \(\sin\theta=\dfrac{2}{3}\) のとき、\(\sin(180^\circ-\theta)\) と \(\cos(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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有名角をぜんぶ求める（\(0^\circ\)〜\(180^\circ\)）
STEP2の公式を使えば \(30^\circ,\ 45^\circ,\ 60^\circ\) の値から \(120^\circ,\ 135^\circ,\ 150^\circ\) の値がすぐに求まる。表全体を眺めて、鈍角では符号だけが変わることを確認しよう。
| \(\theta\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(120^\circ\) | \(135^\circ\) | \(150^\circ\) | \(180^\circ\) |
| \(\sin\theta\) | \(0\) | \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) |
| \(\cos\theta\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac12\) | \(0\) | \(-\dfrac12\) | \(-\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(-\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(-1\) |
| \(\tan\theta\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | なし | \(-\sqrt3\) | \(-1\) | \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(0\) |
例題3 \(\cos135^\circ\) の値を求めよ。
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三角方程式を解く（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）
「\(\sin\theta=\dfrac12\) となる \(\theta\) を求めよ」のような問題を三角方程式という。有名角の表を逆から使い、範囲内の解をもれなく探すのがコツ。
例題4 \(\sin\theta=\dfrac12\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を解け。
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例題5 \(\cos\theta=-\dfrac12\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を解け。
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例題6 \(\tan\theta=-\sqrt3\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ,\ \theta\neq90^\circ\)）を解け。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/2」、負の分数は「-1/2」、根号は「√3/2」または「sqrt3/2」のように入力しよう。方程式の答えが2つあるときは「30,150」のように小さい順にコンマ区切りで、1つのときは「90」のように単独で入力しよう。
\(\sin120^\circ\) の値を求めよ。
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\(\cos135^\circ\) の値を求めよ。
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\(\tan150^\circ\) の値を求めよ。
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\(\sin90^\circ\) の値を求めよ。
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\(\cos180^\circ\) の値を求めよ。
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\(\tan0^\circ\) の値を求めよ。
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\(\cos150^\circ\) の値を求めよ。
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\(\cos\theta=\dfrac13\) のとき、\(\cos(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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\(\sin\theta=\dfrac25\) のとき、\(\sin(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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\(\sin\theta=\dfrac34\) のとき、\(\cos(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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\(\tan\theta=2\) のとき、\(\tan(90^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。（コンマ区切りで小さい順に入力）
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\(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。
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\(\tan\theta=\sqrt3\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ,\ \theta\neq90^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。
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座標による定義では、原点 \(O\) を中心とする半径 \(r\) の円周の上半分にとった点 \(\mathrm{P}(x,\ y)\) を用いて \(\tan\theta=\dfrac{y}{x}\)（ただし \(x\neq0\)）と定める。\(\theta=90^\circ\) のとき \(\tan\theta\) が定義されない理由を、点Pの座標を用いて説明せよ。（説明の根拠となる点Pのx座標の値を入力せよ）
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\(\cos\theta=-\dfrac13\) のとき、\(\cos(180^\circ-\theta)+\cos\theta\) の値を求めよ。
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\(\tan\theta=-2\)（\(90^\circ<\theta<180^\circ\)）のとき、\(\tan(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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\(\sin\theta=\dfrac12\) かつ \(\cos\theta<0\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。
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\(\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}\) かつ \(90^\circ<\theta<180^\circ\) を満たすとき、\(\cos\theta\) の値を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。方程式が少し複雑になったり、複数の公式を組み合わせたりする問題に挑戦しよう。
\(\sin\theta=\cos\theta\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\)）を満たす \(\theta\) を求めよ。
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\(\tan^2\theta=3\)（\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ,\ \theta\neq90^\circ\)）を満たす \(\theta\) をすべて求めよ。（コンマ区切りで小さい順に入力）
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\(0^\circ \le \theta \le 180^\circ\) の範囲で、\(\sin\theta \ge \dfrac12\) を満たす \(\theta\) の範囲を求めよ。（不等号の両端の値を入力）
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\(\sin\theta=\dfrac35,\ \cos\theta=\dfrac45\) のとき、\(\sin(90^\circ-\theta)\times\cos(180^\circ-\theta)\) の値を求めよ。
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三角形 \(ABC\) の内角 \(A,\ B,\ C\) について \(A+B+C=180^\circ\) が成り立つ。\(B+C=150^\circ\) のとき、\(\sin A\) の値を求めよ。（\(A=180^\circ-(B+C)\) であることを利用せよ）
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答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
\(90^\circ<\theta<180^\circ\) の範囲で、\(\cos\theta\) が必ず負の値になるのはなぜか。座標を使った定義における点\(P(x,\ y)\)の\(x\)座標に触れながら説明せよ。
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\(\sin\theta=\dfrac{1}{3}\) であり、\(90^\circ<\theta<180^\circ\) であるとき、\(\cos\theta\) と \(\cos(180^\circ-\theta)\) の値を、\(\theta\)の範囲に注意しながら求めよ。