集合と要素、部分集合
「1以上10以下の偶数の集まり」のように、範囲がはっきり決まったものの集まりを集合という。集合に含まれている1つ1つのものを、その集合の要素という。集合は \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\) のように、要素を \(\{\ \}\) の中にコンマで並べて書く。
要素と集合、集合と集合の関係を表す記号が2つある。この2つは見た目が少し似ているが、意味はまったく違うので最初にしっかり区別しておこう。
\(a \in A\) は「\(a\) は集合 \(A\) の要素である」という意味。1つのものが集合に入っているかどうかを表す。
\(\subset\)（集合と集合の関係）
\(A \subset B\) は「\(A\) は \(B\) の部分集合である」という意味。\(A\) の要素が全部 \(B\) にも入っているとき、こう書く。集合どうしの関係を表す。
例題 \(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\)、\(B = \{4, 8\}\) について、次の関係が正しいかどうかを判定せよ。
(1) \(4 \in A\) (2) \(B \subset A\) (3) \(A \subset B\)
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また、空集合 \(\varnothing\)（要素が1つもない集合）は、どんな集合の部分集合でもある（\(\varnothing \subset A\) は常に正しい）。そして \(A \subset A\) も常に正しい（自分自身も自分の部分集合）。
共通部分・和集合・補集合
2つの集合を比べるとき、よく使う3つの言葉がある。共通部分（両方に入っている部分）、和集合（どちらか一方にでも入っている部分）、補集合（全体の中でその集合に入っていない部分）。ベン図（円を使った図）で見ると一目でわかる。
共通部分 \(A \cap B\)（エーかつビー）
\(A\) にも \(B\) にも入っている要素だけを集めたもの。
和集合 \(A \cup B\)（エーまたはビー）
\(A\) と \(B\) を合わせて、どちらか一方にでも入っている要素を集めたもの（同じ要素を2回数えない）。
補集合 \(\overline{A}\)（エーバー）
考えている全体の集合を全体集合 \(U\) という。\(U\) の中で \(A\) に入っていない要素を集めたものが、\(A\) の補集合 \(\overline{A}\)。
例題 \(U = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}\) を全体集合とする。\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)、\(B = \{4, 5, 6, 7, 8\}\) のとき、次を求めよ。
(1) \(A \cap B\) (2) \(A \cup B\) (3) \(\overline{A}\)
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ド・モルガンの法則
「和集合の補集合」と「補集合どうしの共通部分」は、実はいつも同じ集合になる。同じように「共通部分の補集合」と「補集合どうしの和集合」も同じになる。これをド・モルガンの法則という。ベン図で塗ってみると、なぜそうなるのか目で見て確かめられる。
\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)（共通部分の補集合 ＝ 補集合どうしの和集合）
1つ目の法則を図で確認
図2で色がついている「円の外側」は、「\(A\) にも入らず、\(B\) にも入らない点」の集まりそのもの。これはまさに \(\overline{A} \cap \overline{B}\)（\(A\) の補集合と \(B\) の補集合の共通部分）と同じ領域。だから \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) が成り立つ。
2つ目の法則を図で確認
図4の色がついた部分（\(\overline{A}\)）と、図5の色がついた部分（\(\overline{B}\)）を合わせると、図3で色がついていない部分（\(A \cap B\) の外側全部）とぴったり重なる。つまり \(\overline{A} \cup \overline{B}\) は \(A \cap B\) の外側全部と一致する。だから \(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\) が成り立つ。
例題 \(U = \{1, 2, \ldots, 10\}\)、\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)、\(B = \{4, 5, 6, 7\}\) のとき、\(\overline{A \cup B}\) と \(\overline{A} \cap \overline{B}\) がそれぞれ求まることを確かめ、ド・モルガンの法則を数で確認せよ。
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集合の要素の個数
集合 \(A\) の要素の個数を \(n(A)\) と書く。\(A \cup B\) の要素の個数を求めるとき、単純に \(n(A) + n(B)\) を計算すると、共通部分 \(A \cap B\) の要素を2回数えてしまうので、その分を1回だけ引く必要がある。
例題 ある高校の1年1組35人にアンケートをとったところ、運動部に入っている生徒は24人、文化部に入っている生徒は13人、両方に入っている生徒（兼部）は5人であった。運動部か文化部のどちらかに入っている生徒は何人か。また、どちらの部にも入っていない生徒は何人か。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。要素を並べる問題は小さい順にコンマ区切りで入力（例：1,2,3）。わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。
\(A = \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)、\(B = \{5, 6, 7, 8, 9\}\) のとき、\(A \cap B\) と \(A \cup B\) をそれぞれ求めよ。
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40人のクラスで、英語が好きな生徒は25人、数学が好きな生徒は18人、両方好きな生徒は10人であった。英語か数学のどちらかが好きな生徒は何人か。また、どちらも好きではない生徒は何人か。
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上のベン図のように、\(n(A) = 15\)、\(n(B) = 12\)、\(n(A \cap B) = 5\) であるとき、\(n(A \cup B)\) を求めよ。
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\(A = \{2, 4, 6, 8, 10\}\)、\(B = \{3, 6, 9\}\) のとき、\(A \cap B\) と \(A \cup B\) をそれぞれ求めよ。
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30人のグループで、紅茶が好きな人は20人、コーヒーが好きな人は15人、両方好きな人は8人であった。紅茶かコーヒーのどちらかが好きな人は何人か。また、どちらも好きではない人は何人か。
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\(A = \{1, 3, 5, 7, 9\}\)、\(B = \{2, 3, 5, 7\}\) のとき、\(A \cap B\) と \(A \cup B\) をそれぞれ求めよ。
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上のベン図の色がついた部分は「\(A\) だけに入っていて \(B\) には入っていない部分」を表す。\(n(A) = 20\)、\(n(B) = 14\)、\(n(A \cap B) = 6\) であるとき、色がついた部分の個数を求めよ。
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\(A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}\)、\(B = \{3, 6, 9\}\) のとき、\(A \cap B\) と \(A \cup B\) をそれぞれ求めよ。
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\(n(A) = 15\)、\(n(B) = 9\)、\(n(A \cup B) = 20\) であるとき、\(n(A \cap B)\) を求めよ。
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上のベン図の色がついた部分は「\(B\) だけに入っていて \(A\) には入っていない部分」を表す。\(n(A) = 18\)、\(n(B) = 25\)、\(n(A \cap B) = 9\) であるとき、色がついた部分の個数を求めよ。
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\(n(A) = 12\)、\(n(A \cap B) = 5\)、\(n(A \cup B) = 23\) であるとき、\(n(B)\) を求めよ。
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\(A\) を \(20\) 以下の \(4\) の倍数全体の集合、\(B\) を \(20\) 以下の \(6\) の倍数全体の集合とする。\(A \cap B\) と \(A \cup B\) をそれぞれ求めよ。
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上のベン図の色がついた部分は「\(A\) にも \(B\) にも入っていない部分」を表す。全体集合 \(U\) について \(n(U) = 50\)、\(n(A) = 22\)、\(n(B) = 19\)、\(n(A \cap B) = 7\) であるとき、色がついた部分の個数を求めよ。
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42人のクラスで、犬を飼っている生徒は18人、犬を飼っているか猫を飼っているかのどちらかである生徒は27人、両方とも飼っている生徒は9人であった。猫を飼っている生徒は何人か。
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\(A\) を \(12\) の正の約数全体の集合、\(B\) を \(18\) の正の約数全体の集合とする。\(A \cap B\) と \(A \cup B\) をそれぞれ求めよ。
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上のベン図の色がついた部分（\(A \cap B\)）の個数を求める問題。全体集合 \(U\) について \(n(U) = 60\)、「\(A\) だけ」の個数が \(25\)、「\(B\) だけ」の個数が \(20\)、「どちらにも入っていない」個数が \(8\) であるとき、\(n(A \cap B)\)、\(n(A)\)、\(n(B)\) をそれぞれ求めよ。
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50人にアンケートをとったところ、サッカーが好きな人は28人、野球が好きな人は24人、どちらも好きではない人は9人であった。サッカーと野球の両方が好きな人は何人か。
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45人のクラスで、数学の宿題を忘れた人は20人、英語の宿題を忘れた人は15人、両方とも忘れなかった人は18人であった。数学と英語の両方とも忘れた人は何人か。
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ここから先はPDF限定の腕試し。部分集合の個数や3つの集合の計算など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
集合 \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) の部分集合（空集合や \(A\) 自身も含む）は全部で何個あるか。また、そのうち要素 \(1\) を必ず含む部分集合は何個あるか。
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あるクラス50人にアンケートをとったところ、犬を飼っている人は30人、猫を飼っている人は25人、鳥を飼っている人は15人、犬と猫の両方を飼っている人は12人、猫と鳥の両方を飼っている人は8人、犬と鳥の両方を飼っている人は7人、犬・猫・鳥のすべてを飼っている人は3人であった。犬・猫・鳥のうち少なくとも1つを飼っている人は何人か。また、どれも飼っていない人は何人か。
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全体集合 \(U = \{1, 2, \ldots, 20\}\) の部分集合として、\(A\) を \(U\) の中の \(3\) の倍数全体、\(B\) を \(U\) の中の \(4\) の倍数全体とする。ド・モルガンの法則 \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\) を用いて、\(3\) の倍数でも \(4\) の倍数でもない数の個数を求めよ。
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全体集合 \(U\) の要素の個数は \(n(U) = 16\) である。集合 \(A, B\) について、「どちらにも属さない要素」の個数が \(4\)、\(n(A \cap B) = 6\)、\(n(A) = n(B)\) であるとき、\(n(A)\) を求めよ。
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50人の生徒に数学と英語のどちらが得意か尋ねたところ、数学が得意な人は32人、英語が得意な人は28人、どちらも苦手な人は6人であった。数学だけが得意（英語は得意ではない）な人は何人か。