1次不等式

\(x<a\) を満たす正の整数を、小さい方から並べると \(1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) となる。これがちょうど5個、つまり \(\{1,2,3,4,5\}\) だけになるようにしたい。 ・\(5\) は解に含まれてほしいので、\(5<a\) が必要（\(x<a\) は「未満」なので、5が入るには境界 \(a\) が5より大きくなければならない）。 ・\(6\) は解に含まれてはいけないので、\(6\ge a\)、つまり \(a\le6\) が必要（\(a\) が6より大きいと6も解に入ってしまう）。 この2つを合わせると \(5<a\le6\)。（例えば \(a=6\) のとき \(x<6\) の正の整数解は \(1,2,3,4,5\) のちょうど5個で条件を満たす。） \(5<a\le6\)

\(x\) の係数 \(a-2\) の符号によって、割り算をしたときに不等号の向きが変わるかどうかが決まる。3つの場合に分けて考える。 (i) \(a-2>0\)（\(a>2\)）のとき 係数が正の数なので、両辺を \(a-2\) で割っても向きはそのまま。 \(x>\dfrac{3}{a-2}\) (ii) \(a-2<0\)（\(a<2\)）のとき 係数が負の数なので、両辺を \(a-2\) で割ると向きが逆になる。 \(x<\dfrac{3}{a-2}\) (iii) \(a-2=0\)（\(a=2\)）のとき このとき与式は \(0\cdot x>3\)、つまり \(0>3\) となる。これは \(x\) にどんな値を入れても成り立たない（常に偽）。よって解はない。 \(a>2\) のとき \(x>\dfrac{3}{a-2}\)、\(a<2\) のとき \(x<\dfrac{3}{a-2}\)、\(a=2\) のとき解なし

たい焼きの個数を \(x\) 個とする（\(x\) は整数、合わせて20個なのでたこ焼きは \((20-x)\) 個）。 仕入れ総額は \(150x+100(20-x)\) 円で、これが2400円以下。 \(150x+100(20-x)\le2400\) \(150x+2000-100x\le2400\) \(50x\le400\) \(x\le8\) さらに「たい焼きは最低6個」という条件から \(x\ge6\)。合わせて \(6\le x\le8\)。 この範囲でたい焼きを最大にしたいので \(x=8\)。（このとき代金は \(150\times8+100\times12=2400\) 円で、ちょうど2400円以内におさまる。） たい焼きは最大8個仕入れられる

部品Aの個数を \(x\) 個とすると、部品Bは \((30-x)\) 個。 仕入れ総額は \(300x+200(30-x)=300x+6000-200x=100x+6000\)（円）。 これが7000円以上8000円以下なので \(7000\le100x+6000\le8000\) 各辺から6000を引くと \(1000\le100x\le2000\) 各辺を100で割ると（正の数なので向きはそのまま） \(10\le x\le20\) \(10\le x\le20\)

分速 \(x\) mで3600m歩くのにかかる時間は \(\dfrac{3600}{x}\) 分。これが30分以内なので \(\dfrac{3600}{x}\le30\) \(x>0\) なので、両辺に \(x\)（正の数）をかけても向きはそのまま。 \(3600\le30x\) 両辺を30（正の数）で割る。 \(120\le x\) \(x\ge120\)

まず定数だけの不等式を解く。\(2x-5\le3\) より \(2x\le8\)、\(x\le4\)。 よって条件は「\(x\le4\) かつ \(x>b\)」を満たす整数 \(x\) がちょうど3個、という意味になる。\(x\le4\) を満たす整数を大きい方から並べると \(4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 0,\ \ldots\) となる。この中で \(x>b\) を満たすものがちょうど3個（\(4,\ 3,\ 2\) の3個）になるようにしたい。 ・\(2\) は解に含まれてほしいので、\(2>b\)、つまり \(b<2\) が必要（\(b\) が2以上だと \(x>b\) から2が外れてしまう）。 ・\(1\) は解に含まれてはいけないので、\(1\le b\)、つまり \(b\ge1\) が必要（\(b\) が1未満だと \(x>b\) に1も入ってきて4個になってしまう）。 この2つを合わせると \(1\le b<2\)。（例えば \(b=1\) のとき \(x>1\) かつ \(x\le4\) を満たす整数は \(2,3,4\) のちょうど3個で条件を満たす。） \(1\le b<2\)

行きにかかる時間は \(\dfrac{4800}{80}=60\)（分）。滞在時間は15分。帰りにかかる時間は \(\dfrac{4800}{x}\)（分）。 合計時間は \(60+15+\dfrac{4800}{x}\) 分で、これが100分以内なので \(60+15+\dfrac{4800}{x}\le100\) \(\dfrac{4800}{x}\le25\) \(x>0\) なので、両辺に \(x\)（正の数）をかけても向きはそのまま。 \(4800\le25x\) 両辺を25（正の数）で割る。 \(192\le x\) \(x\ge192\)

まず不等式を整理する。分母の9と6の最小公倍数18を両辺にかけて分数を消す（18は正の数なので不等号の向きは変わらない）。 \(18\times\dfrac{2x-5}{9} > 18\times x-18\times\dfrac{5a+6}{6}\) \(2(2x-5) > 18x-3(5a+6)\) \(4x-10 > 18x-15a-18\) \(x\) の項を左辺に、それ以外を右辺に移項する。 \(4x-18x > -15a-18+10\) \(-14x > -15a-8\) 両辺を \(-14\)（負の数）で割るので、不等号の向きが変わる。 \(x < \dfrac{15a+8}{14}\) 以下、この右辺を \(M\)（\(=\dfrac{15a+8}{14}\)）と呼ぶことにする。つまり、この不等式の意味は「\(x\) は \(M\) より小さい」というだけであり、\(M\) の位置によって、そこに何個の正の整数がおさまるかが変わる。 ここからが本題。正の整数を小さい順に並べると \(1,\ 2,\ 3,\ \ldots\) となる。\(M\) がこの並びのどこにあるかによって、\(x<M\) を満たす正の整数の個数が決まる。「ちょうど1個」にしたいので、その1個は必ず \(x=1\) でなければならない（もし1が条件を満たさなければ、それより大きい2,3,…はもっと条件から遠いので、1個も満たせなくなってしまう）。 考えるべき条件は2つ。 ・\(x=1\) は条件を満たしてほしいので、\(1<M\) が必要（\(M\) が1より大きくなければ、\(x<M\) に1すら入らない）。 ・\(x=2\) は条件を満たしてはいけないので、\(2\ge M\)、つまり \(M\le2\) が必要（もし \(M>2\) なら、\(x<M\) に2も入ってしまい2個以上になる）。 この2つを合わせると \(1<M\le2\)。この範囲にあれば、\(x<M\) を満たす正の整数はちょうど \(x=1\) の1個だけになる。 この不等式に \(M=\dfrac{15a+8}{14}\) を代入して、\(a\) の範囲を求める。 \(1 < \dfrac{15a+8}{14} \le 2\) 左側と右側に分けて解く。 左側：\(1<\dfrac{15a+8}{14}\) \(14<15a+8\) \(6<15a\) \(a>\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\) 右側：\(\dfrac{15a+8}{14}\le2\) \(15a+8\le28\) \(15a\le20\) \(a\le\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}\) 合わせると \(\dfrac{2}{5}<a\le\dfrac{4}{3}\)。 確かめてみよう。範囲の中の値 \(a=1\) のとき、\(M=\dfrac{15\times1+8}{14}=\dfrac{23}{14}=1.64\cdots\)。\(x<1.64\cdots\) を満たす正の整数は \(x=1\) だけで、たしかにちょうど1個になっている。境界の \(a=\dfrac{4}{3}\) のときは \(M=\dfrac{15\times\frac{4}{3}+8}{14}=\dfrac{28}{14}=2\)、\(x<2\) を満たす正の整数はやはり \(x=1\) だけ（\(x=2\) は \(2<2\) が偽なので含まれない）で、こちらもちょうど1個。もし \(a\) がこれより少しでも大きくなると \(M>2\) となり、\(x=2\) も条件を満たしてしまって2個になる。 \(\dfrac{2}{5}<a\le\dfrac{4}{3}\)