実数の分類（有理数・無理数）
これまで扱ってきた整数や分数は、すべて「実数」という大きな仲間の一部。実数は、大きく有理数と無理数の2種類に分けられる。まずはこの分類をはっきりさせておこう。
有理数
整数、または分数 \(\dfrac{a}{b}\)（\(a,\ b\) は整数、\(b \neq 0\)）の形で表せる数。
小数で表すと「有限小数」（途中で終わる）か「循環小数」（同じ並びがずっと繰り返す）のどちらかになる。
整数、または分数 \(\dfrac{a}{b}\)（\(a,\ b\) は整数、\(b \neq 0\)）の形で表せる数。
小数で表すと「有限小数」（途中で終わる）か「循環小数」（同じ並びがずっと繰り返す）のどちらかになる。
無理数
分数の形では表せない数。
小数で表すと、同じ並びが循環せずに無限に続く。
例：\(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5},\ \pi\) など（根号の中が平方数にならない \(\sqrt{\ \ }\) は無理数）。
分数の形では表せない数。
小数で表すと、同じ並びが循環せずに無限に続く。
例：\(\sqrt{2},\ \sqrt{3},\ \sqrt{5},\ \pi\) など（根号の中が平方数にならない \(\sqrt{\ \ }\) は無理数）。
有理数の内訳を整理すると、次のようになる。
整数（\(\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\)）／有限小数（\(0.5,\ 0.125\) など）／循環小数（\(0.333\cdots,\ 0.454545\cdots\) など）――このどれも「分数で表せる」という一点でつながっている。
整数（\(\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\)）／有限小数（\(0.5,\ 0.125\) など）／循環小数（\(0.333\cdots,\ 0.454545\cdots\) など）――このどれも「分数で表せる」という一点でつながっている。
循環小数が本当に分数で表せることを確かめてみよう。コツは「同じ桁数だけずらして引き算し、循環部分を消してしまう」こと。
例題 \(0.\overline{6}\)（\(0.6666\cdots\)）を分数で表せ。
解答を見る
\(x = 0.6666\cdots\) とおく。
循環部分は1桁（6）なので、両辺を10倍する。
\(10x = 6.6666\cdots\)
上の式から下の式（\(x\)）を引くと、循環する小数部分がきれいに消える。
\(10x - x = 6.6666\cdots - 0.6666\cdots\)
\(9x = 6\)
\(x = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
\(0.\overline{6} = \dfrac{2}{3}\)
平方根の計算規則と簡約
根号（√）の計算には、覚えておくべきルールが2つだけある。これさえ押さえれば、どんな根号の式も整理できるようになる。
ルール1（積・商） \(a \ge 0,\ b \ge 0\) のとき \(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}\)、\(\ \sqrt{a}\div\sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\)（\(b>0\)）
ルール2（2乗を外す） \(\sqrt{a^2} = |a|\)（\(a\) がマイナスでも根号を外すと必ずプラスになる）
ルール2（2乗を外す） \(\sqrt{a^2} = |a|\)（\(a\) がマイナスでも根号を外すと必ずプラスになる）
この2つを使うと、根号の中に「平方数（4, 9, 16, 25, …のような2乗の数）」がかくれているとき、外に出して簡約できる。手順は「根号の中を（平方数）×（残りの数）に分解する」だけ。
例題1 \(\sqrt{72}\) を簡約せよ。
解答を見る
\(72\) を（平方数）×（残り）の形に分解する。\(72 = 36 \times 2\)（\(36=6^2\) は平方数）。
\(\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = \sqrt{36}\times\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
例題2 \(\sqrt{20} + \sqrt{45}\) を計算せよ。
解答を見る
それぞれを簡約してから足し算する（根号の中の数がちがうままでは足せない）。
\(\sqrt{20} = \sqrt{4\times 5} = 2\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} = \sqrt{9\times 5} = 3\sqrt{5}\)
根号の中が \(5\) でそろったので、係数どうしを足せる。
\(\sqrt{20}+\sqrt{45} = 2\sqrt{5}+3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
\(\sqrt{20}+\sqrt{45} = 5\sqrt{5}\)
注意 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) は \(\sqrt{a+b}\) にはならない。足し算・引き算ができるのは、簡約したあとで根号の中身が完全に一致しているときだけ。
分母の有理化
分母に根号が残っていると計算しづらいので、分母と分子に同じ数をかけて根号を分母から追い出す。これを「分母の有理化」という。分母の形によって、かける数が変わる。
分母が根号1つだけのとき
分母と同じ根号を分母・分子にかければよい。\(\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a\) となって根号が消えることを利用する。
例題1 \(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\) を有理化せよ。
解答を見る
分母・分子に \(\sqrt{7}\) をかける。
\(\dfrac{1}{\sqrt{7}} = \dfrac{1\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{7}}{7}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{7}}{7}\)
例題2 \(\dfrac{4}{\sqrt{2}}\) を有理化せよ。
解答を見る
分母・分子に \(\sqrt{2}\) をかける。
\(\dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2}\)
約分すると、
\(\dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\)
分母が2項（根号＋数）のとき
分母が \(\sqrt{a}+b\) のような2項のときは、そのまま \(\sqrt{a}\) をかけても根号は消えない。ここで使うのが因数分解の公式 \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\)。分母に「符号だけ変えた式（共役）」をかけると、2乗の差になって根号が消える。
例題3 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) を有理化せよ。
解答を見る
分母の共役 \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) を分母・分子にかける。
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \dfrac{1\times(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\)
分母は \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) の形なので、
分母 \(= (\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\)
例題4 \(\dfrac{2}{\sqrt{6}+2}\) を有理化せよ。
解答を見る
分母の共役 \(\sqrt{6}-2\) を分母・分子にかける。
\(\dfrac{2}{\sqrt{6}+2} = \dfrac{2(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)}\)
分母 \(= (\sqrt{6})^2-2^2 = 6-4 = 2\)
分子 \(= 2\sqrt{6}-4\)
\(\dfrac{2\sqrt{6}-4}{2}\) を約分すると、
\(\dfrac{2}{\sqrt{6}+2} = \sqrt{6}-2\)
整数部分と小数部分
\(\sqrt{5}\) のような無理数は、電卓なしでは正確な小数値が分からない。でも「どの整数とどの整数の間にあるか」なら、2乗を比べるだけで簡単に分かる。これを利用するのが「整数部分・小数部分」の考え方。
実数 \(x\) に対して、\(n \le x < n+1\) となる整数 \(n\) を \(x\) の整数部分という。
そして \(x\) から整数部分を引いた残り \(x-n\)（必ず \(0\) 以上 \(1\) 未満になる）を小数部分という。
例題 \(\sqrt{5}\) の整数部分と小数部分を求めよ。
解答を見る
近い整数の2乗と根号の中身を比べて、\(\sqrt{5}\) をはさむ2つの整数を探す。
\(2^2 = 4,\ \ 3^2 = 9\) で、\(4 < 5 < 9\) だから、
\(2^2 < (\sqrt{5})^2 < 3^2\)、つまり \(2 < \sqrt{5} < 3\)
よって整数部分は \(2\)。
小数部分は「\(\sqrt{5}\) から整数部分を引いた残り」なので、
小数部分 \(= \sqrt{5} - 2\)
整数部分は \(2\)、小数部分は \(\sqrt{5}-2\)
注意 小数部分は「\(\sqrt{5}\) を小数で書いたときの小数点以下」という意味ではなく、\(\sqrt{5}-2\) という式のままで答える。数値を丸めて近似しないこと。
練習問題（全21問）
答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。根号は「√3」でも「sqrt3」でもOK。
有理化の問題は、結果を \(\dfrac{ア\sqrt{イ}+ウ}{エ}\) の形の4つの欄に分けて入力しよう（整数だけの答えは√の欄に1、＋の欄に0のように入れればよい）。
基本（1〜9）
1
根号の簡約
\(\sqrt{12}\) を簡約せよ。
答え
解説を見る
\(12 = 4\times 3\) と分解する。
\(\sqrt{12} = \sqrt{4\times3} = \sqrt{4}\times\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
2
根号の簡約
\(\sqrt{45}\) を簡約せよ。
答え
解説を見る
\(45 = 9\times 5\) と分解する。
\(\sqrt{45} = \sqrt{9\times5} = \sqrt{9}\times\sqrt{5} = 3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)
3
根号の掛け算
\(\sqrt{8}\times\sqrt{2}\) を計算せよ。
答え
解説を見る
\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) を使って、まず中身どうしをかける。
\(\sqrt{8}\times\sqrt{2} = \sqrt{8\times2} = \sqrt{16} = 4\)
\(\sqrt{8}\times\sqrt{2} = 4\)
4
簡約してから引き算
\(\sqrt{50} - \sqrt{8}\) を計算せよ。
答え
解説を見る
それぞれ簡約する。
\(\sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = 2\sqrt{2}\)
根号の中身がそろったので引き算できる。
\(\sqrt{50}-\sqrt{8} = 5\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50}-\sqrt{8} = 3\sqrt{2}\)
5
有理化（1項）
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) を有理化せよ。
(√+)/
解説を見る
分母・分子に \(\sqrt{3}\) をかける。
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
6
有理化（1項・約分あり）
\(\dfrac{5}{\sqrt{5}}\) を有理化せよ。
(√+)/
解説を見る
分母・分子に \(\sqrt{5}\) をかける。
\(\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}} = \dfrac{5\sqrt{5}}{5}\)
約分すると、
\(\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\)
7
整数部分・小数部分
\(\sqrt{5}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。\(a\) と \(b\) を求めよ。（\(b\) は式のまま入力）
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\(2^2=4,\ 3^2=9\) で \(4 < 5 < 9\) だから \(2 < \sqrt{5} < 3\)。
\(a=2\)、\(b=\sqrt{5}-2\)
8
循環小数→分数
\(0.\overline{3}\)（\(0.3333\cdots\)）を分数で表せ。
答え
解説を見る
\(x=0.3333\cdots\) とおく。循環部分は1桁なので10倍する。
\(10x = 3.3333\cdots\)
\(10x-x = 3.3333\cdots-0.3333\cdots\)
\(9x = 3\)
\(x = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
\(0.\overline{3} = \dfrac{1}{3}\)
9
実数の大小比較(根号)
\(2\sqrt{3}\) と \(3\sqrt{2}\) の大小を、不等号（\(<\) または \(>\)）を用いて比較せよ。
2√3 3√2
解説を見る
\(2\sqrt{3}\) と \(3\sqrt{2}\) はどちらも正の数である。正の数どうしの大小は、2乗した値の大小と一致するので、それぞれを2乗して比べる。
\((2\sqrt{3})^2 = 2^2\times(\sqrt{3})^2 = 4\times3 = 12\)
\((3\sqrt{2})^2 = 3^2\times(\sqrt{2})^2 = 9\times2 = 18\)
\(12 < 18\) であり、もとの数はどちらも正だから、2乗する前の大小関係もそのまま保たれる。よって、
\(2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}\)
標準（10〜17）
10
\(\sqrt{180}\) を簡約せよ。
答え
解説を見る
\(180\) の中の平方数を探す。\(180 = 36\times 5\)（\(36=6^2\)）。
\(\sqrt{180} = \sqrt{36\times5} = 6\sqrt{5}\)
\(\sqrt{180} = 6\sqrt{5}\)
11
\(\sqrt{48} + \sqrt{27}\) を計算せよ。
答え
解説を見る
それぞれ簡約する。
\(\sqrt{48} = \sqrt{16\times3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9\times3} = 3\sqrt{3}\)
根号の中身がそろったので足し算できる。
\(4\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48}+\sqrt{27} = 7\sqrt{3}\)
12
3項の混合計算
\(\sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{8}\) を計算せよ。
答え
解説を見る
それぞれ簡約する。
\(\sqrt{98} = \sqrt{49\times2} = 7\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50} = \sqrt{25\times2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} = \sqrt{4\times2} = 2\sqrt{2}\)
根号の中身がすべて \(2\) でそろったので、係数だけ計算する。
\(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}+2\sqrt{2} = (7-5+2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)
\(\sqrt{98}-\sqrt{50}+\sqrt{8} = 4\sqrt{2}\)
13
有理化（1項・分母に係数）
\(\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\) を有理化せよ。
(√+)/
解説を見る
分母・分子に \(\sqrt{3}\) をかける。
\(\dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2\times3} = \dfrac{3\sqrt{3}}{6}\)
約分すると、
\(\dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
14
有理化（2項：√＋整数）
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2}\) を有理化せよ。
(√+)/
解説を見る
分母の共役 \(\sqrt{5}-2\) を分母・分子にかける。
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \dfrac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}\)
分母 \(=(\sqrt{5})^2-2^2=5-4=1\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2} = \sqrt{5}-2\)
15
有理化（2項：整数−√）
\(\dfrac{3}{3-\sqrt{6}}\) を有理化せよ。
(√+)/
解説を見る
分母の共役 \(3+\sqrt{6}\) を分母・分子にかける。
\(\dfrac{3}{3-\sqrt{6}} = \dfrac{3(3+\sqrt{6})}{(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}\)
分母 \(=3^2-(\sqrt{6})^2=9-6=3\)
分子 \(=9+3\sqrt{6}\)
\(\dfrac{9+3\sqrt{6}}{3}\) を約分すると、
\(\dfrac{3}{3-\sqrt{6}} = \sqrt{6}+3\)
16
整数部分・小数部分
\(\sqrt{7}\) の整数部分を \(a\)、小数部分を \(b\) とする。\(a\) と \(b\) を求めよ。
\(a=\) \(b=\)
解説を見る
\(2^2=4,\ 3^2=9\) で \(4 < 7 < 9\) だから \(2 < \sqrt{7} < 3\)。
\(a=2\)、\(b=\sqrt{7}-2\)
17
循環小数→分数
\(0.\overline{45}\)（\(0.454545\cdots\)）を分数で表せ（約分すること）。
答え
解説を見る
\(x=0.454545\cdots\) とおく。循環部分は2桁（45）なので100倍する。
\(100x = 45.454545\cdots\)
\(100x-x = 45.454545\cdots-0.454545\cdots\)
\(99x = 45\)
\(x = \dfrac{45}{99}\)
約分する（分子・分母を9で割る）と、
\(0.\overline{45} = \dfrac{5}{11}\)
挑戦（18〜22）
18
3項の混合計算
\(\sqrt{75} + \sqrt{27} - \sqrt{48}\) を計算せよ。
答え
解説を見る
それぞれ簡約する。
\(\sqrt{75} = \sqrt{25\times3} = 5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9\times3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{16\times3} = 4\sqrt{3}\)
根号の中身がすべて \(3\) でそろったので、係数だけ計算する。
\(5\sqrt{3}+3\sqrt{3}-4\sqrt{3} = (5+3-4)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75}+\sqrt{27}-\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
19
有理化（分子にも根号）
\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) を有理化せよ（約分すること）。
(√+)/
解説を見る
分母の共役 \(\sqrt{6}+\sqrt{2}\) を分母・分子にかける。
\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}\)
分母 \(=(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2=6-2=4\)
分子 \(=\sqrt{2}\times\sqrt{6}+\sqrt{2}\times\sqrt{2}=\sqrt{12}+2=2\sqrt{3}+2\)
\(\dfrac{2\sqrt{3}+2}{4}\) を約分すると、
\(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)
20
整数部分の利用
\(\sqrt{15}\) の整数部分を \(a\) とするとき、\(a^2\) の値を求めよ。
答え
解説を見る
\(3^2=9,\ 4^2=16\) で \(9 < 15 < 16\) だから \(3 < \sqrt{15} < 4\)。
よって整数部分 \(a=3\)。
\(a^2 = 3^2 = 9\)
21
循環小数→分数（循環しない部分あり）
\(0.1\overline{6}\)（\(0.16666\cdots\)）を分数で表せ（約分すること）。
答え
解説を見る
\(x=0.16666\cdots\) とおく。循環しない部分（小数第1位の1）を先に整数にそろえるため10倍する。
\(10x = 1.6666\cdots\)
循環部分（6）は1桁なので、さらに10倍する。
\(100x = 16.6666\cdots\)
この2つを引き算すると、循環する小数部分が消える。
\(100x-10x = 16.6666\cdots-1.6666\cdots\)
\(90x = 15\)
\(x = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}\)
\(0.1\overline{6} = \dfrac{1}{6}\)
22
3項の有理化（2段階）
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{2}}\) の分母を有理化せよ。
解説を見る
分母は3つの項からなるので、そのままでは共役をかける相手が決められない。そこで \((1+\sqrt{6})\) を1つのかたまりとみて、分母を \((1+\sqrt{6})-\sqrt{2}\) という2項の形として扱う。
1段階目 分母・分子に \((1+\sqrt{6})+\sqrt{2}\) をかける（公式 \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) を \(x=1+\sqrt{6},\ y=\sqrt{2}\) として使う）。
分母 \(=(1+\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2\)
\((1+\sqrt{6})^2 = 1+2\sqrt{6}+6 = 7+2\sqrt{6}\) なので、
分母 \(= (7+2\sqrt{6})-2 = 5+2\sqrt{6}\)
この時点で
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \dfrac{1+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{5+2\sqrt{6}}\)
となる。分母はまだ根号が1つ残った2項の形――これは既に習った「分母が2項（根号＋数）」の有理化と同じ形なので、もう一段階つづける。
2段階目 分母・分子に共役 \(5-2\sqrt{6}\) をかける。
分母 \(= 5^2-(2\sqrt{6})^2 = 25-24 = 1\)
分母がちょうど1になったので、分子を展開すればそれがそのまま答えになる。
\((1+\sqrt{6}+\sqrt{2})(5-2\sqrt{6})\)
\(= 1\times5+1\times(-2\sqrt{6})+\sqrt{6}\times5+\sqrt{6}\times(-2\sqrt{6})+\sqrt{2}\times5+\sqrt{2}\times(-2\sqrt{6})\)
\(= 5-2\sqrt{6}+5\sqrt{6}-12+5\sqrt{2}-2\sqrt{12}\)
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) と簡約してから、同じ根号どうしをまとめる。
\(= 5-2\sqrt{6}+5\sqrt{6}-12+5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\)
\(= (5-12)+(-2\sqrt{6}+5\sqrt{6})+5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\)
\(= -7+3\sqrt{6}+5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\)
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{6}-\sqrt{2}} = -7+3\sqrt{6}+5\sqrt{2}-4\sqrt{3}\)
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。二重根号や対称式など、入試の基礎レベルに挑戦しよう。
応1
二重根号をはずす
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\) の二重根号をはずして簡単にせよ。
答え
解説を見る
\(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\)（\(a>b>0\)）の形にあてはめる。
\(5+2\sqrt{6}\) を \(a+b+2\sqrt{ab}\) と見ると、和が \(a+b=5\)、積が \(ab=6\) の2数を探せばよい。
\(a,\ b\) は \(t^2-5t+6=0\) の解。左辺を因数分解すると \((t-2)(t-3)=0\) より \(t=2,\ 3\)。
\(a>b\) となるように \(a=3,\ b=2\) とおく（和・積とも条件を満たすことを確認：\(3+2=5\)、\(3\times2=6\)）。
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{3}+\sqrt{2}\)
応2
二重根号をはずす（引き算タイプ）
\(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\) の二重根号をはずして簡単にせよ。
答え
解説を見る
\(\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}\)（\(a>b>0\)）の形にあてはめる。
\(7-2\sqrt{10}\) を \(a+b-2\sqrt{ab}\) と見ると、和が \(a+b=7\)、積が \(ab=10\) の2数を探せばよい。
\(a,\ b\) は \(t^2-7t+10=0\) の解。左辺を因数分解すると \((t-2)(t-5)=0\) より \(t=2,\ 5\)。
\(a>b\) となるように \(a=5,\ b=2\) とおく（\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) が正の値になるのは \(a>b\) のときだけなので、ここは順番に注意）。
\(\sqrt{7-2\sqrt{10}} = \sqrt{5}-\sqrt{2}\)
応3
対称式（基本対称式の利用）
\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)、\(y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) のとき、\(x^2+y^2\) と \(x^3+y^3\) の値を求めよ。
\(x^2+y^2=\) \(x^3+y^3=\)
解説を見る
まず \(x+y\) と \(xy\)（基本対称式）を先に計算しておくと、根号のまま計算しなくてよくなる。
\(x+y = (\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}\)
\(xy = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2 = 3-2 = 1\)
\(x^2+y^2\) は \((x+y)^2\) を展開した式から \(2xy\) を引けば作れる。
\(x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (2\sqrt{3})^2-2\times1 = 4\times3-2 = 12-2 = 10\)
\(x^3+y^3\) も同じように \((x+y)^3\) から作る公式 \(x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\) を使う。
\((2\sqrt{3})^3 = 8\times(\sqrt{3})^3 = 8\times3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\)
\(3xy(x+y) = 3\times1\times2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)
\(x^3+y^3 = 24\sqrt{3}-6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}\)
\(x^2+y^2=10\)、\(x^3+y^3=18\sqrt{3}\)
応4
小数部分の計算
\(\sqrt{7}\) の小数部分を \(a\) とするとき、\(a(a+4)\) の値を求めよ。
答え
解説を見る
\(2^2=4,\ 3^2=9\) で \(4 < 7 < 9\) だから \(2 < \sqrt{7} < 3\)。整数部分は \(2\)。
小数部分は \(a=\sqrt{7}-2\)。
これを \(a(a+4)=a^2+4a\) に代入する。
\(a^2 = (\sqrt{7}-2)^2 = (\sqrt{7})^2-2\times\sqrt{7}\times2+2^2 = 7-4\sqrt{7}+4 = 11-4\sqrt{7}\)
\(4a = 4(\sqrt{7}-2) = 4\sqrt{7}-8\)
足し合わせると根号の部分が打ち消し合う。
\(a^2+4a = (11-4\sqrt{7})+(4\sqrt{7}-8) = 11-8 = 3\)
\(a(a+4) = 3\)
応5
小数部分の計算
\(\sqrt{11}\) の小数部分を \(a\) とするとき、\(a^2+6a\) の値を求めよ。
答え
解説を見る
\(3^2=9,\ 4^2=16\) で \(9 < 11 < 16\) だから \(3 < \sqrt{11} < 4\)。整数部分は \(3\)。
小数部分は \(a=\sqrt{11}-3\)。
これを \(a^2+6a\) に代入する。
\(a^2 = (\sqrt{11}-3)^2 = (\sqrt{11})^2-2\times\sqrt{11}\times3+3^2 = 11-6\sqrt{11}+9 = 20-6\sqrt{11}\)
\(6a = 6(\sqrt{11}-3) = 6\sqrt{11}-18\)
足し合わせると根号の部分が打ち消し合う。
\(a^2+6a = (20-6\sqrt{11})+(6\sqrt{11}-18) = 20-18 = 2\)
\(a^2+6a = 2\)
応6
3項の有理化（2段階）
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{14}}\) の分母を有理化せよ。
解説を見る
分母は3つの項からなるので、\((2+\sqrt{3})\) を1つのかたまりとみて、\((2+\sqrt{3})-\sqrt{14}\) という2項の形として扱う。
1段階目 分母・分子に \((2+\sqrt{3})+\sqrt{14}\) をかける。
\((2+\sqrt{3})^2 = 4+4\sqrt{3}+3 = 7+4\sqrt{3}\) なので、
分母 \(= (7+4\sqrt{3})-14 = -7+4\sqrt{3}\)
この時点で
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{14}} = \dfrac{2+\sqrt{3}+\sqrt{14}}{-7+4\sqrt{3}}\)
となる。分母はまだ根号が1つ残った2項の形なので、もう一段階つづける。
2段階目 分母・分子に共役 \(-7-4\sqrt{3}\) をかける。
分母 \(= (-7)^2-(4\sqrt{3})^2 = 49-48 = 1\)
分母がちょうど1になったので、分子を展開すればそれがそのまま答えになる。
\((2+\sqrt{3}+\sqrt{14})(-7-4\sqrt{3})\)
\(= 2\times(-7)+2\times(-4\sqrt{3})+\sqrt{3}\times(-7)+\sqrt{3}\times(-4\sqrt{3})+\sqrt{14}\times(-7)+\sqrt{14}\times(-4\sqrt{3})\)
\(= -14-8\sqrt{3}-7\sqrt{3}-12-7\sqrt{14}-4\sqrt{42}\)
\(= (-14-12)+(-8\sqrt{3}-7\sqrt{3})-7\sqrt{14}-4\sqrt{42}\)
\(= -26-15\sqrt{3}-7\sqrt{14}-4\sqrt{42}\)
\(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{14}} = -26-15\sqrt{3}-7\sqrt{14}-4\sqrt{42}\)
記述チャレンジ
答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。
記1
分母が \(\sqrt{a}+b\) のような2項のとき、分母・分子に \(\sqrt{a}\) だけをかけても根号は消えない。分母・分子に共役 \(\sqrt{a}-b\) をかける必要がある理由を、\((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) の公式と関連づけて説明せよ。
模範解答を見る
分母が \(\sqrt{a}+b\) のとき、分母・分子に \(\sqrt{a}\) だけをかけると、分母は
\((\sqrt{a}+b)\times\sqrt{a} = a+b\sqrt{a}\)
となり、根号を含む項 \(b\sqrt{a}\) がそのまま残ってしまう。これでは根号を分母から追い出すという目的が達成できない。
一方、分母・分子に共役 \(\sqrt{a}-b\) をかけると、分母は \((\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b)\) という「和と差の積」の形になる。これは因数分解の公式 \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) で \(x=\sqrt{a}\)、\(y=b\) とした場合にちょうど当てはまる形であり、
\((\sqrt{a}+b)(\sqrt{a}-b) = (\sqrt{a})^2-b^2 = a-b^2\)
となる。この公式の最大の特徴は、途中に出てくるはずの交差項（\(+\sqrt{a}\cdot b\) と \(-\sqrt{a}\cdot b\)）が符号違いで打ち消し合って消えることである。根号がついているのは \((\sqrt{a})^2\) の部分だけなので、これは \(a\) という根号のない数になる。結果として分母全体が \(a-b^2\) という根号を含まない数になり、根号を分母から完全に追い出せる。
つまり、ただの \(\sqrt{a}\) をかけるのではなく符号だけを変えた共役をかけるのは、「和と差の積は2乗の差になり、根号どうしの交差項がちょうど消える」という公式3の性質を利用して、分母の根号を確実に消すためである。
共役をかけると分母が \((\sqrt{a})^2-b^2=a-b^2\) という根号のない数になるが、\(\sqrt{a}\) だけをかけると \(a+b\sqrt{a}\) のように根号を含む項が残ってしまうため、共役をかける必要がある。
記2
\(x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\) とする。\(x\) の整数部分と小数部分を求めよ。
模範解答を見る
まず分母に根号が残っているので、有理化して \(x\) を根号1つだけの簡単な式に直す。分母の共役 \(\sqrt{5}+2\) を分母・分子にかける。
\(x = \dfrac{1\times(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}\)
分母は \((\sqrt{5})^2-2^2 = 5-4 = 1\) になる。
\(x = \dfrac{\sqrt{5}+2}{1} = \sqrt{5}+2\)
次に、\(\sqrt{5}\) がどの整数とどの整数の間にあるかを調べる。\(2^2=4,\ 3^2=9\) で \(4<5<9\) だから \(2<\sqrt{5}<3\)。
この不等式の各辺に \(2\) を足すと、\(x=\sqrt{5}+2\) の範囲がわかる。
\(2+2<\sqrt{5}+2<3+2\)
\(4<x<5\)
よって \(x\) は \(4\) 以上 \(5\) 未満の実数なので、整数部分は \(4\)。
小数部分は「\(x\) から整数部分を引いた残り」なので、
小数部分 \(=x-4=(\sqrt{5}+2)-4=\sqrt{5}-2\)
整数部分は \(4\)、小数部分は \(\sqrt{5}-2\)