絶対値

解説＋ドリル全18問・自動採点つき

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STEP 1

絶対値の定義：数直線上の距離

\(|x|\) は、数直線上で原点（\(0\)）から \(x\) までの距離を表す数だ。距離だから、符号は関係ない。プラスの数もマイナスの数も、原点から同じだけ離れていれば同じ絶対値になる。

絶対値の定義
\(x\ge0\) のとき　\(|x|=x\)（そのまま）
\(x<0\) のとき　\(|x|=-x\)（符号を反転）
どちらの場合も、結果は \(0\) 以上になる。

例題1　\(|9|\)、\(|-9|\)、\(|0|\) の値をそれぞれ求めよ。

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\(9\) は \(0\) 以上なので \(|9|=9\)。 \(-9\) は \(0\) 未満なので、符号を反転して \(|-9|=-(-9)=9\)。 \(0\) は定義よりそのまま \(|0|=0\)。 \(|9|=9\)、\(|-9|=9\)、\(|0|=0\)
覚えておきたい性質　\(|a|\ge0\)（絶対値は必ず \(0\) 以上）／\(|a|=0\) となるのは \(a=0\) のときだけ／\(|-a|=|a|\)（符号を変えても絶対値は同じ）。この3つは今後ずっと使う基本性質だ。
STEP 2

絶対値の基本3パターン：\(|x|=a\)・\(|x|<a\)・\(|x|>a\)

絶対値を含む方程式・不等式には、次の3つの基本パターンがある（\(a\) は正の数とする）。「原点からの距離が\(a\)」という読み方をすれば、なぜこの形になるかが見えてくる。

型1　\(|x|=a\)（\(a>0\)）→ \(x=a\) または \(x=-a\)（原点から距離 \(a\) にある2点）
型2　\(|x|<a\)（\(a>0\)）→ \(-a<x<a\)（原点からの距離が \(a\) 未満の範囲）
型3　\(|x|>a\)（\(a>0\)）→ \(x<-a\) または \(a<x\)（原点からの距離が \(a\) より大きい範囲）

例題2　\(|x|=5\) を解け。

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原点からの距離が \(5\) になる点は、\(5\) と \(-5\) の2つ。 \(x=5,\ -5\)

例題3　\(|x|<4\) を解け。

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原点からの距離が \(4\) 未満になる範囲なので、\(-4\) から \(4\) の間（両端はふくまない）。 \(-4<x<4\)

例題4　\(|x|>2\) を解け。

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原点からの距離が \(2\) より大きくなる範囲なので、\(-2\) より左、または \(2\) より右。 \(x<-2\) または \(2<x\)
注意：\(a\) が \(0\) 以下のとき　\(|x|=a\)（\(a<0\)）は解なし（絶対値が負の数になることはない）。\(|x|<a\)（\(a\le0\)）も同じ理由で解なし。逆に \(|x|>a\)（\(a\le0\)）はほとんどの \(x\) で成り立つ（\(a=0\) のときは \(x\ne0\) という意味になる）。
STEP 3

\(|x-a|\) 型：「\(a\) からの距離」で読む

\(|x-a|\) は、数直線上で点 \(a\) から点 \(x\) までの距離を表す。STEP 2 は「原点（\(0\)）からの距離」だったが、それを一般の点 \(a\) からの距離に広げたのがこの型だ。

\(|x-a|=b\)（\(b>0\)）→ \(x-a=b\) または \(x-a=-b\) → \(x=a+b\) または \(x=a-b\)（点 \(a\) から距離 \(b\) の2点）
\(|x-a|<b\)（\(b>0\)）→ \(a-b<x<a+b\)（点 \(a\) からの距離が \(b\) 未満の範囲）
\(|x-a|>b\)（\(b>0\)）→ \(x<a-b\) または \(a+b<x\)（点 \(a\) からの距離が \(b\) より大きい範囲）

例題5　\(|x-2|=5\) を解け。

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\(|x-2|=5\) は「点2から距離5の点」を求める式。 \(x-2=5\) より \(x=7\)、または \(x-2=-5\) より \(x=-3\)。 \(x=7,\ -3\)

例題6　\(|x-3|<4\) を解け。

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\(|x-3|<4\) は「点3からの距離が4未満」の範囲。 \(-4<x-3<4\) の各辺に \(3\) を足すと \(-4+3<x<4+3\)。 \(-1<x<7\)

例題7　\(|2x-1|=7\) を解け。（絶対値の中がxの1次式で、係数が1でない場合）

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中の式が \(2x-1\) のように \(x\) の1次式でも、考え方は同じ。中身がまるごと \(7\) になるか、\(-7\) になるかの2通り。 \(2x-1=7\) より \(2x=8\)、\(x=4\)。 \(2x-1=-7\) より \(2x=-6\)、\(x=-3\)。 \(x=4,\ -3\)
STEP 4

場合分けによる解法：\(|x-1|=2x\) の型

ここまでの型は、絶対値の中身が \(x\) の式でも、右辺（イコールの反対側）は定数だった。ところが右辺にも \(x\) が入っていると、単純に「中身\(=\)右辺」「中身\(=-\)右辺」の2通りに分けるだけでは足りない。絶対値の中身の符号によって場合分けし、出てきた解が前提条件を満たすかを必ず確認する必要がある。

手順1　絶対値の中身が \(0\) になる境界の値を求め、その前後で場合分けする
↓
手順2　各場合について絶対値記号を外す（中身が \(0\) 以上ならそのまま、\(0\) 未満なら符号を反転させる）
↓
手順3　できた方程式・不等式を解く
↓
手順4　求まった解が、その場合の前提条件（例：\(x\ge1\) など）を満たしているか必ず確認する
↓
手順5　前提条件を満たす解だけを、最終的な答えとして採用する
最重要ポイント　絶対値の中身に \(x\) が混ざっている問題では、手順4の前提条件チェックを絶対に省略しないこと。前提条件を確認せずに答えを出すと、実は成り立たない値を解に含めてしまうミスが起こる。

例題8　\(|x-1|=2x\) を解け。

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絶対値の中身 \(x-1\) が \(0\) になるのは \(x=1\) のとき。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge1\) のとき（中身 \(x-1\ge0\) なので、そのまま外せる） \(x-1=2x\) \(-1=x\) \(x=-1\) これは前提条件 \(x\ge1\) を満たさない（\(-1\) は \(1\) 以上ではない）。よって不適。 (ii) \(x<1\) のとき（中身 \(x-1<0\) なので、符号を反転して外す） \(-(x-1)=2x\) \(-x+1=2x\) \(1=3x\) \(x=\dfrac{1}{3}\) これは前提条件 \(x<1\) を満たす（\(\dfrac{1}{3}\) は \(1\) より小さい）。よって適。 (i)は不適、(ii)は適なので、解は(ii)の \(x=\dfrac{1}{3}\) のみ。 \(x=\dfrac{1}{3}\)

例題9　\(|2x+3|=x+6\) を解け。

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絶対値の中身 \(2x+3\) が \(0\) になるのは \(2x+3=0\)、つまり \(x=-\dfrac{3}{2}\) のとき。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge-\dfrac{3}{2}\) のとき（中身 \(2x+3\ge0\) なので、そのまま外せる） \(2x+3=x+6\) \(x=3\) これは前提条件 \(x\ge-\dfrac{3}{2}\) を満たす（\(3\) は \(-\dfrac{3}{2}\) 以上）。よって適。 (ii) \(x<-\dfrac{3}{2}\) のとき（中身 \(2x+3<0\) なので、符号を反転して外す） \(-(2x+3)=x+6\) \(-2x-3=x+6\) \(-3x=9\) \(x=-3\) これは前提条件 \(x<-\dfrac{3}{2}\) を満たす（\(-3\) は \(-\dfrac{3}{2}\) より小さい）。よって適。 (i)、(ii)ともに適なので、今回は解が2つとも残る（前提条件を満たせば、複数の場合の解がどちらも答えになってよい）。 \(x=3,\ -3\)
練習問題（全18問）

答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。方程式で解が2つあるときは「3,-3」のようにコンマ区切りで入力しよう。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜7）
1
|x|=aの基本形

\(|x|=3\) を解け。

\(x=\)
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原点からの距離が \(3\) になる点は、\(3\) と \(-3\)。 \(x=3,\ -3\)
2
特殊な形（解が1つ）

\(|x|=0\) を解け。

\(x=\)
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絶対値が \(0\) になるのは、原点からの距離が \(0\)、つまり原点そのものにいるときだけ。 \(x=0\)
3
解なしのパターン

\(|x|=-4\) を解け。解がない場合は「解なし」と入力すること。

解　
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絶対値は \(0\) 以上の値にしかならない。右辺の \(-4\) は負の数なので、これに等しくなる \(x\) は存在しない。 解なし
4
|x|<aの基本形

\(|x|<3\) を解け。解は \(-\text{ア}<x<\text{ア}\) の形になる。アの値を求めよ。

ア＝
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原点からの距離が \(3\) 未満になる範囲は、\(-3\) と \(3\) の間。 \(-3<x<3\)
5
|x|>aの基本形（等号つき）

\(|x|\ge5\) を解け。解は \(x\le-\text{ア}\) または \(\text{ア}\le x\) の形になる。アの値を求めよ。

ア＝
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原点からの距離が \(5\) 以上になる範囲は、\(-5\) 以下、または \(5\) 以上。 \(x\le-5\) または \(5\le x\)
6
数直線読み取り

次の数直線は、方程式 \(|x|=a\) の解を表している。\(a\) の値を求めよ。

\(a=\)
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数直線上の解は \(-6\) と \(6\)。これは原点からの距離が \(6\) の点を表しているので、\(a=6\)。 \(a=6\)
7
|x-a|型への導入

\(|x-3|=7\) を解け。

\(x=\)
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\(|x-3|=7\) は「点3から距離7の点」を求める式。 \(x-3=7\) より \(x=10\)、または \(x-3=-7\) より \(x=-4\)。 \(x=10,\ -4\)
標準（8〜14）　※場合分けの問題も含む
8

\(|x-4|<6\) を解け。解は \(\text{ア}<x<\text{イ}\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
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\(|x-4|<6\) より \(-6<x-4<6\)。各辺に \(4\) を足すと \(-6+4<x<6+4\)。 \(-2<x<10\)
9

\(|x-2|>3\) を解け。解は \(x<\text{ア}\) または \(\text{イ}<x\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
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\(|x-2|>3\) は「点2からの距離が3より大きい」範囲。 \(x-2<-3\) より \(x<-1\)、または \(x-2>3\) より \(x>5\)。 \(x<-1\) または \(5<x\)
10
係数がある場合

\(|3x-6|=12\) を解け。

\(x=\)
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中身がまるごと \(12\) になるか、\(-12\) になるかの2通り。 \(3x-6=12\) より \(3x=18\)、\(x=6\)。 \(3x-6=-12\) より \(3x=-6\)、\(x=-2\)。 \(x=6,\ -2\)
11

\(|2x+1|<7\) を解け。解は \(\text{ア}<x<\text{イ}\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
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\(|2x+1|<7\) より \(-7<2x+1<7\)。 各辺から \(1\) を引くと \(-8<2x<6\)。 各辺を \(2\) で割ると \(-4<x<3\)。 \(-4<x<3\)
12
数直線読み取り（|x-a|<bの形）

次の数直線は、不等式 \(|x-a|<b\) の解を表している。\(a\)、\(b\) の値を求めよ（\(b>0\)）。

a＝ 　b＝
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数直線の範囲は \(-1<x<9\)。この範囲の中心が \(a\)、中心から端までの距離が \(b\)。 中心は \(\dfrac{-1+9}{2}=4\) なので \(a=4\)。 中心から端までの距離は \(9-4=5\)（または \(4-(-1)=5\)）なので \(b=5\)。 確認：\(|x-4|<5\) を解くと \(-5<x-4<5\)、つまり \(-1<x<9\) となり一致する。 \(a=4,\ b=5\)
13
場合分け：|x-1|=3xの型

\(|x-1|=3x\) を解け。

\(x=\)
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絶対値の中身 \(x-1\) が \(0\) になるのは \(x=1\)。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge1\) のとき \(x-1=3x\) \(-1=2x\) \(x=-\dfrac{1}{2}\) 前提条件 \(x\ge1\) を満たさない。よって不適。 (ii) \(x<1\) のとき \(-(x-1)=3x\) \(-x+1=3x\) \(1=4x\) \(x=\dfrac{1}{4}\) 前提条件 \(x<1\) を満たす。よって適。 (i)は不適、(ii)は適なので、解は \(x=\dfrac{1}{4}\) のみ。 \(x=\dfrac{1}{4}\)
14
場合分け：解が2つとも残る型

\(|2x-3|=x+3\) を解け。

\(x=\)
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絶対値の中身 \(2x-3\) が \(0\) になるのは \(x=\dfrac{3}{2}\)。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge\dfrac{3}{2}\) のとき \(2x-3=x+3\) \(x=6\) 前提条件 \(x\ge\dfrac{3}{2}\) を満たす。よって適。 (ii) \(x<\dfrac{3}{2}\) のとき \(-(2x-3)=x+3\) \(-2x+3=x+3\) \(-3x=0\) \(x=0\) 前提条件 \(x<\dfrac{3}{2}\) を満たす。よって適。 (i)、(ii)ともに適なので、解は2つとも残る。 \(x=6,\ 0\)
挑戦（15〜18）
15
場合分け不等式

\(|2x-1|<x+4\) を解け。解は \(\text{ア}<x<\text{イ}\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
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絶対値の中身 \(2x-1\) が \(0\) になるのは \(x=\dfrac{1}{2}\)。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge\dfrac{1}{2}\) のとき \(2x-1<x+4\) \(x<5\) 前提条件 \(x\ge\dfrac{1}{2}\) とあわせると \(\dfrac{1}{2}\le x<5\)。 (ii) \(x<\dfrac{1}{2}\) のとき \(-(2x-1)<x+4\) \(-2x+1<x+4\) \(-3x<3\) \(x>-1\) 前提条件 \(x<\dfrac{1}{2}\) とあわせると \(-1<x<\dfrac{1}{2}\)。 (i)と(ii)の範囲をあわせる（どちらか一方でも成り立てばよい）と、\(-1<x<\dfrac{1}{2}\) と \(\dfrac{1}{2}\le x<5\) はちょうど \(x=\dfrac{1}{2}\) でつながるので、まとめて \(-1<x<5\)。 \(-1<x<5\)
16
整数解の個数

\(|x-3|\le4\) を満たす整数 \(x\) の個数を求めよ。

個数　 個
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\(|x-3|\le4\) より \(-4\le x-3\le4\)。各辺に \(3\) を足すと \(-1\le x\le7\)。 この範囲の整数は \(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7\) の9個。 9個
17
中身の順序が逆

\(|3-2x|>5\) を解け。解は \(x<\text{ア}\) または \(\text{イ}<x\) の形になる。

ア＝ 　イ＝
解説を見る
\(|3-2x|>5\) より、中身が \(5\) より大きいか、\(-5\) より小さいかのどちらか。 \(3-2x>5\) のとき　\(-2x>2\)、両辺を \(-2\) で割ると向きが逆になり \(x<-1\)。 \(3-2x<-5\) のとき　\(-2x<-8\)、両辺を \(-2\) で割ると向きが逆になり \(x>4\)。 \(x<-1\) または \(4<x\)
18
グラフ的な見方

絶対値を使った関数 \(y=|x-2|\) を考える。\(y\) の値が \(3\) となるような \(x\) の値をすべて求めよ。

\(x=\)
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\(y=|x-2|\) のグラフは、点 \((2,\ 0)\) を頂点とするV字形（\(x=2\) の左右で折れ曲がる形）になる。\(y=3\) となる \(x\) を求めるには \(|x-2|=3\) を解けばよい。 \(x-2=3\) より \(x=5\)、または \(x-2=-3\) より \(x=-1\)。 グラフ上では、V字の左右の斜面がそれぞれ \(y=3\) の高さと交わる2点にあたる。 \(x=5,\ -1\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
絶対値2つの和の方程式（3区間の場合分け）

\(|x-1|+|x-2|=5\) を解け。

\(x=\)
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絶対値の中身が \(0\) になる境界は \(x=1\) と \(x=2\) の2つ。この2つの境界で数直線が3つの区間に分かれるので、3通りに場合分けする。 (i) \(x<1\) のとき（\(x-1<0\)、\(x-2<0\) なのでどちらも符号を反転） \(-(x-1)-(x-2)=5\) \(-x+1-x+2=5\) \(-2x+3=5\) \(-2x=2\) \(x=-1\) 前提条件 \(x<1\) を満たす。よって適。 (ii) \(1\le x<2\) のとき（\(x-1\ge0\) なのでそのまま、\(x-2<0\) なので符号を反転） \((x-1)-(x-2)=5\) \(x-1-x+2=5\) \(1=5\) これは \(x\) の値に関係なく成り立たない式（矛盾）。よってこの区間には解なし。 (iii) \(x\ge2\) のとき（\(x-1\ge0\)、\(x-2\ge0\) なのでどちらもそのまま） \((x-1)+(x-2)=5\) \(2x-3=5\) \(2x=8\) \(x=4\) 前提条件 \(x\ge2\) を満たす。よって適。 (i)と(iii)が適なので、解は \(x=-1\) と \(x=4\) の2つ。 \(x=-1,\ 4\)
応2
絶対値を含む不等式の整数解の個数

\(|2x-5|\le7\) を満たす整数 \(x\) の個数を求めよ。

個数　 個
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\(|2x-5|\le7\) より \(-7\le2x-5\le7\)。 各辺に \(5\) を足すと \(-2\le2x\le12\)。 各辺を \(2\) で割ると \(-1\le x\le6\)。 この範囲の整数は \(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) の8個。 8個
応3
グラフ的な見方：交点

絶対値を使った関数 \(y=|x+1|\) のグラフと、直線 \(y=4\) の交点の \(x\) 座標をすべて求めよ。

\(x=\)
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交点の \(x\) 座標は、\(|x+1|=4\) を解けば求められる（グラフ上の高さが \(y=4\) になる \(x\) を求めることと同じ）。 \(x+1=4\) より \(x=3\)。 \(x+1=-4\) より \(x=-5\)。 \(y=|x+1|\) のグラフは点 \((-1,\ 0)\) を頂点とするV字形なので、\(y=4\) の高さでは左右の斜面それぞれと交わり、交点は2つになる。 \(x=3,\ -5\)
応4
場合分け不等式（片側だけ範囲が続く型）

\(|x+2|\ge3x\) を解け。解は \(x\le\text{ア}\) の形になる。

ア＝
解説を見る
絶対値の中身 \(x+2\) が \(0\) になるのは \(x=-2\)。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge-2\) のとき（\(x+2\ge0\) なのでそのまま外せる） \(x+2\ge3x\) \(2\ge2x\) \(x\le1\) 前提条件 \(x\ge-2\) とあわせると \(-2\le x\le1\)。 (ii) \(x<-2\) のとき（\(x+2<0\) なので符号を反転） \(-(x+2)\ge3x\) \(-x-2\ge3x\) \(-2\ge4x\) \(x\le-\dfrac{1}{2}\) 前提条件 \(x<-2\) とあわせると、\(x<-2\) はすでに \(x\le-\dfrac{1}{2}\) を満たすので、そのまま \(x<-2\) がすべて解になる。 (i)の範囲 \(-2\le x\le1\) と(ii)の範囲 \(x<-2\) をあわせると、\(x<-2\) と \(-2\le x\le1\) はちょうど \(x=-2\) でつながるので、まとめて \(x\le1\)。 \(x\le1\)
応5
絶対値2つの和の最小値（距離の性質）

\(|x-3|+|x+2|\) の最小値を求めよ。

最小値　
解説を見る
\(|x-3|\) は点3から \(x\) までの距離、\(|x+2|\) は点\(-2\)から \(x\) までの距離を表す。つまりこの式は「\(x\) から点3までの距離」と「\(x\) から点\(-2\)までの距離」の合計。 \(x\) が \(-2\) と \(3\) の間（\(-2\le x\le3\)）にあるときは、2つの距離の合計はちょうど \(3\) と \(-2\) の間の距離、つまり \(3-(-2)=5\) になる（間を行き来する分の距離が無駄なく使われる）。 \(x\) が \(-2\) と \(3\) の間から外れると、外れた分だけ遠回りになり、合計の距離は \(5\) より大きくなる。 したがって、合計の距離が最小になるのは \(x\) が \(-2\) 以上 \(3\) 以下のときで、その最小値は \(5\)。 最小値 \(5\)