標本平均の分布
母集団全部を調べるのは大変なので、一部（標本）を無作為に抽出して、その標本平均から母集団の平均（母平均）を推測する。そのためにはまず「標本平均そのものがどんな散らばり方をするか」を知っておく必要がある。
母平均 \(\mu\)、母標準偏差 \(\sigma\) の母集団から、大きさ \(n\) の標本を無作為抽出したときの標本平均を \(\overline{X}\) とすると、次が成り立つ。
平均：\(E(\overline{X}) = \mu\)（標本平均の平均は、母平均に一致する）
標準偏差：\(\sigma(\overline{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)（標本の大きさ \(n\) が大きいほど散らばりは小さくなる）
さらに、\(n\) が十分大きいとき、\(\overline{X}\) は近似的に正規分布 \(N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\) に従う（中心極限定理）。
この「\(\overline{X}\) の標準偏差 \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)」は、これから学ぶ推定・検定すべての計算の土台になる。まずはここをしっかり押さえよう。
母平均の推定（信頼区間）
標本平均 \(\overline{X}\) は正規分布 \(N\left(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\) に近似的に従うので、標準化すると \(Z = \dfrac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\) は標準正規分布 \(N(0,1)\) に従う。標準正規分布では、\(-1.96 \le Z \le 1.96\) となる確率がちょうど \(0.95\)（95%）であることが分かっている。
この式を \(\mu\) について整理すると、母平均 \(\mu\) を含む範囲（信頼区間）が得られる。
\[ \overline{x} - 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \le\ \mu\ \le\ \overline{x} + 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \] ざっくり言うと「標本平均 ± 1.96×標準誤差」の範囲に、母平均がだいたい入っているはず、という意味。\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) を標準誤差と呼ぶ。
信頼度を変えたいときは、1.96の代わりに次の値を使う（正規分布表からの抜粋）。
| 信頼度 | 90% | 95% | 98% | 99% |
|---|---|---|---|---|
| \(z\) の値 | 1.64 | 1.96 | 2.33 | 2.58 |
例題 母標準偏差12の母集団から、大きさ36の標本を抽出したところ、標本平均が68であった。母平均の95%信頼区間を求めよ。
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母比率の推定
「賛成の割合」「不良品の割合」のような比率（母比率 \(p\)）を推定するときも考え方は同じ。標本の大きさ \(n\)、標本の中で条件に当てはまった個数を \(X\) とすると、標本比率は \(\hat{p} = \dfrac{X}{n}\)。\(n\) が大きいとき \(\hat{p}\) は近似的に正規分布に従い、標準誤差は \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\) で表される。
\[ \hat{p} - 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \ \le\ p\ \le\ \hat{p} + 1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] 母平均の信頼区間の \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) の部分が \(\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\) に置き換わっただけで、式の作り方はまったく同じ。
例題 有権者600人に世論調査を行ったところ、360人がある政策に賛成と回答した。この政策への賛成率（母比率）の95%信頼区間を求めよ。
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仮説検定
仮説検定は「主張したい仮説」をいきなり検証するのではなく、まず否定したい仮説（帰無仮説）を立てて、それが「めったに起こらないほど不自然」なら捨てる、という間接的な論法をとる。流れは次の4手順。
帰無仮説 \(H_0\) を棄却する
→ \(H_1\) が支持される
帰無仮説 \(H_0\) を棄却できない
→ \(H_0\) を否定する根拠が不十分
両側検定（「変化した」のように増減どちらもあり得る場合）では、棄却域は分布の両端に半分ずつ分かれる。
例題 ある工場の部品は、従来平均直径50mm、母標準偏差2mmの分布に従うとされていた。工程変更後、\(n=64\) 個を無作為抽出して測ったところ標本平均は50.6mmであった。工程変更によって平均直径が変化したと言えるか、有意水準5%で（両側）検定せよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。信頼区間は小数第2位まで、検定の結論は「棄却できる」または「棄却できない」で入力しよう。
母標準偏差15の母集団から、大きさ225の標本を抽出したところ、標本平均が82であった。母平均の95%信頼区間を求めよ。
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母標準偏差12の母集団から、大きさ144の標本を抽出したところ、標本平均が55であった。母平均の95%信頼区間を求めよ。
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母標準偏差25の母集団から、大きさ625の標本を抽出したところ、標本平均が120であった。母平均の90%信頼区間を求めよ。
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400人にアンケートを行ったところ、200人がある商品に満足と回答した。満足率（母比率）の95%信頼区間を求めよ。
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母標準偏差が10と分かっている母集団について、信頼度95%の信頼区間の誤差（\(1.96\sigma/\sqrt{n}\)）を2以下にしたい。必要な標本の大きさの最小値を求めよ（小数点以下切り上げ）。
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母標準偏差8の母集団について、帰無仮説 \(H_0: \mu = 50\) を有意水準5%で両側検定する。大きさ64の標本の標本平均が52.5であったとき、検定統計量 \(z\) と結論を求めよ。
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母標準偏差20の母集団から、大きさ400の標本を抽出したところ、標本平均が200であった。母平均の99%信頼区間を求めよ。
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600人にアンケートを行ったところ、240人がある政策に反対と回答した。反対率（母比率）の95%信頼区間を求めよ。
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母標準偏差12の母集団について、帰無仮説 \(H_0: \mu = 80\) を有意水準5%で両側検定する。大きさ144の標本の標本平均が81.5であったとき、検定統計量 \(z\) と結論を求めよ。
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母標準偏差が18と分かっている母集団について、信頼度95%の信頼区間の誤差を3以下にしたい。必要な標本の大きさの最小値を求めよ（小数点以下切り上げ）。
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母標準偏差20の母集団から、大きさ100の標本をとって母平均の95%信頼区間を求めたところ \([46.08,\ 53.92]\) であった。このときの標本平均 \(\overline{x}\) の値を求めよ。
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ある世論調査で、母比率の95%信頼区間の幅を0.04以下にしたい。標本比率はおよそ0.5と見込まれるとき、必要な標本の大きさの最小値を求めよ。
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母標準偏差40の母集団について、帰無仮説 \(H_0: \mu = 500\) を両側検定する。大きさ100の標本の標本平均が511であったとき、検定統計量 \(z\)、および有意水準5%・1%それぞれでの結論を求めよ。
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ある市の世論調査で、賛成派の母比率を信頼区間の幅0.06以下で推定したい。事前調査により賛成率はおよそ30%と見込まれている。必要な標本の大きさの最小値を求めよ（小数点以下切り上げ）。
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ここから先はPDF限定の腕試し。信頼区間の幅の性質と、片側検定の入り口に挑戦しよう。
母標準偏差 \(\sigma\)、標本の大きさ \(n\) の条件で母平均の95%信頼区間を求めたところ、幅が \(L\) であった。同じ \(\sigma\) ・同じ信頼度のまま、信頼区間の幅を \(\dfrac{L}{2}\)（半分）にするには、標本の大きさを何倍にすればよいか。
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ある母集団から大きさ25の標本をとって母平均の95%信頼区間を求めたところ、幅が20であった。同じ母標準偏差・同じ信頼度のまま標本の大きさを100に増やすと、信頼区間の幅はいくらになるか。
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ある製品の平均重量は従来500gとされていたが、最近軽くなったのではないかと指摘されている。母標準偏差8gの製品から大きさ64の標本を抽出したところ、標本平均は497.4gであった。有意水準5%で「母平均は500gより小さい」と言えるか、片側検定（左側）で判断せよ。
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新しい肥料を使うと収穫量が増えると期待されている。従来の平均収穫量は300kg（母標準偏差15kg）であった。新しい肥料を使った大きさ225の標本の標本平均が303kgであったとき、有意水準5%で「収穫量が増えた」と言えるか、片側検定（右側）で判断せよ。
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母標準偏差10の母集団から大きさ100の標本をとり、母平均の95%信頼区間を求めたところ \([48.04,\ 51.96]\) であった。この結果をもとに、有意水準5%で帰無仮説 \(H_0:\mu=52\) を両側検定で棄却できるかどうかを判断せよ（考え方：\(\mu_0\)が信頼区間に含まれなければ棄却できる）。