関数の極限と片側極限
\(x\) が \(a\) に限りなく近づくとき、\(f(x)\) がある値 \(\alpha\) に限りなく近づくならば、これを \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\) と書く。数列の極限と同じ考え方だが、\(x\) は \(a\) に「右から」も「左から」も近づける点が新しい。
\(x\) が \(a\) より大きい値から近づくことを \(x\to a+0\)（右側極限）、\(a\) より小さい値から近づくことを \(x\to a-0\)（左側極限）と書く。右側極限と左側極限が一致するときに限り、極限が存在する。一致しなければ「極限は存在しない（振動または発散）」と結論づける。
手順1 右側極限 \(\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)\) を調べる（\(a\) より大きい値を代入するイメージ）
手順2 左側極限 \(\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)\) を調べる（\(a\) より小さい値を代入するイメージ）
手順3 両者が一致 → その値が \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\)。不一致 → 極限は存在しない
例題1 \(f(x)=\dfrac{1}{x+2}\) について、\(\displaystyle\lim_{x\to-2+0}f(x)\)、\(\displaystyle\lim_{x\to-2-0}f(x)\) をそれぞれ求めよ。
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不定形の処理（約分・有理化）
\(x=a\) をそのまま代入すると \(\dfrac{0}{0}\) の形（不定形）になることがある。この場合、代入する前に式を変形して \(0/0\) の原因になっている因数を消してから極限をとる、というのが鉄則だ。
例題2 \(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}\) を求めよ。（約分）
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例題3 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x}\) を求めよ。（有理化）
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分子・分母が多項式 → 分子を因数分解して、分母と共通の因数を約分する
根号（\(\sqrt{\ }\)）を含む → 共役を掛けて分子または分母を有理化し、根号を消す
どちらも「\(0/0\) を作っている原因の因数」を消してから代入するのが目的
\(x\to\infty\) の極限（分数関数と漸近線）
分数関数で \(x\to\infty\)（または \(x\to-\infty\)）の極限を求めるときは、分母の最高次の項でくくって割るのが基本。割った項の多くが \(0\) に近づくので、式がシンプルになって計算できる。
例題4 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}\) を求めよ。
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分子の次数 \(<\) 分母の次数 → 極限は \(0\)
分子の次数 \(=\) 分母の次数 → 極限は最高次の係数の比（水平漸近線の値と一致）
分子の次数 \(>\) 分母の次数 → 極限は発散（\(+\infty\) または \(-\infty\)。符号は最高次の項の符号で判断）
三角関数の極限（\(\sin x/x\to1\)）
三角関数の極限で最も重要な公式が \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)。これは単位円の面積比較（扇形と三角形の面積を挟み撃ちにする）で証明される公式で、数III全体で繰り返し使う。
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) ← 基本形。「角」と「分母」が完全に一致していることが条件。
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin kx}{x}=\lim_{x\to0}k\cdot\dfrac{\sin kx}{kx}=k\) ← 角をそろえるため \(kx\) をひとかたまりにして考える。
\(1-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2}\) ← 半角公式で書き換えると \(\sin\) の形に持ち込める。
例題5 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}\) を求めよ。
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例題6 \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\) を求めよ。
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答えを入力して「採点」を押すと○×が出るぞ。分数は「1/4」、\(\infty\) は「inf」または「∞」、\(-\infty\) は「-inf」または「-∞」でも正解になる。
\(f(x)=\dfrac{1}{x-2}\) について、次の片側極限を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{x^2-9}{x-3}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2-4}{x+2}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin2x}{x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{4x+5}{2x-1}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x+3}{x^2+1}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3x-2}{x+4}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{\sin2x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+1}{x^2-3x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x+1}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^2+1}{x+1}\) を求めよ。
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\(f(x)=\dfrac{2}{x+1}-1\) について、次の片側極限を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos2x}{x^2}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x^2-1}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\) を求めよ。
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ここから先はPDF限定の腕試し。sinの応用と、極限値の条件から係数を決める問題に挑戦しよう。
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin3x-\sin x}{x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}\) を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2+ax-6}{x-2}\) が有限の値になるように定数 \(a\) の値を定め、そのときの極限値を求めよ。
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\(\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{2x^2+ax+b}{x-1}=3\) が成り立つように定数 \(a,\ b\) の値を定めよ。
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次の2つの極限をそれぞれ求めよ。
(A) \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\)
(B) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)\)