不定積分（置換・部分積分）

解説＋ドリル全16問・自動採点つき

問題プリントPDF 解答つきPDF
STEP 1

基本の不定積分 ― まずは公式を体に入れる

数IIで習った整式（\(x^n\)、\(n\)は0以上の整数）の積分に加えて、数IIIでは分数・無理数の指数、\(e^x\)、三角関数の積分公式が新しく増える。まずはこの公式表を丸ごと覚えてしまおう。

\(\displaystyle \int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\)　（\(\alpha \ne -1\) の実数。分数指数・負の指数でも成り立つ）
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)　（\(\alpha=-1\) のときだけこの形になる。上の公式は使えない）
\(\displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C\)　（\(e^x\) は微分しても積分しても形が変わらない特別な関数）
\(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
\(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C\)
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C\)
公式の見分け方　\(x^{\alpha}\) 型は指数に1を足して割るだけ。ただし \(\alpha=-1\)（つまり \(\dfrac{1}{x}\)）のときだけ例外で、答えは \(\ln|x|\) になる（\(x^0/0\) は計算できないため）。\(e^x\)・\(\sin x\)・\(\cos x\) は積分してもほぼ同じ形に戻ってくるので、符号だけ間違えないように注意しよう（\(\sin x\) を積分するとマイナスがつく）。
STEP 2

置換積分 ― 「かたまり」を文字でおきかえる

\(f(g(x))\,g'(x)\) の形（外側の関数の中に別の関数が入っていて、そのすぐ後ろに中身の微分がかけてある形）を見つけたら、中身を \(u\) とおいて積分をラクにできる。合成関数の微分（chain rule）のちょうど逆の発想。

\(\displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\)　（\(u=g(x)\) とおく）
手順1　微分すると係数以外がぴったり出てくる「かたまり」を見つけ、\(u=g(x)\) とおく
↓
手順2　\(u\) を \(x\) で微分して \(du=g'(x)\,dx\) をつくる
↓
手順3　積分の中の式をすべて \(u\) の式に置き換える（\(x\) が残っていたらおきかえ失敗）
↓
手順4　\(u\) のまま積分し、最後に \(u=g(x)\) を代入して \(x\) の式に戻す

例題1　\(\displaystyle \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx\) を求めよ。

解答を見る
\(u=x^3+2\) とおくと \(\dfrac{du}{dx}=3x^2\)、すなわち \(du=3x^2\,dx\)。 積分の中の \(3x^2\,dx\) がちょうど \(du\) に一致するので、そのまま置き換えられる。 \(\displaystyle \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx = \int u^4\,du = \dfrac{u^5}{5}+C\) 最後に \(u=x^3+2\) を戻す。 \(\displaystyle \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx = \dfrac{(x^3+2)^5}{5}+C\)

例題2　\(\displaystyle \int x^2\sqrt{x^3+1}\,dx\) を求めよ。

解答を見る
\(u=x^3+1\) とおくと \(du=3x^2\,dx\)、すなわち \(x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\,du\)。 \(\displaystyle \int x^2\sqrt{x^3+1}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{3}\,du = \dfrac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C = \dfrac{2}{9}u^{3/2}+C\) \(\displaystyle \int x^2\sqrt{x^3+1}\,dx = \dfrac{2}{9}(x^3+1)^{3/2}+C\)
注意　置き換えたあとの式に \(x\) が残っていたら、その置換は失敗している（別の \(u\) を探すか、他の方法を考える）。「係数がぴったりdu」になっているかを必ず確認しよう。
STEP 3

部分積分 ― 積の微分公式を逆から使う

積の微分公式 \((fg)' = f'g + fg'\) を積分の形に直すと、部分積分の公式になる。「かけ算のまま積分できない」ときの主力の手段。

\(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx\)
どちらを \(f(x)\) にするか　\(x\) の累乗（\(x\)、\(x^2\)など）や \(\ln x\) は微分すると次数が下がったり形が簡単になるので \(f(x)\) 側に選ぶ。\(e^x\)・\(\sin x\)・\(\cos x\) は微分しても積分しても複雑さがほぼ変わらないので \(g'(x)\) 側（積分する側）に選ぶとうまくいくことが多い。

例題1　\(\displaystyle \int xe^x\,dx\) を求めよ。

解答を見る
\(x\) は微分すると簡単になるので \(f(x)=x\)、\(e^x\) は積分してもそのままなので \(g'(x)=e^x\) と選ぶ。 \(f(x)=x,\ f'(x)=1,\ g'(x)=e^x,\ g(x)=e^x\) \(\displaystyle \int xe^x\,dx = xe^x - \int 1\cdot e^x\,dx = xe^x - e^x + C\) \(\displaystyle \int xe^x\,dx = (x-1)e^x+C\)

例題2　\(\displaystyle \int \ln x\,dx\) を求めよ。

解答を見る
かけ算の形に見えないが、\(\ln x = \ln x \cdot 1\) と考えて \(f(x)=\ln x\)、\(g'(x)=1\) とおくのがコツ（\(g(x)=x\)）。 \(f(x)=\ln x,\ f'(x)=\dfrac{1}{x},\ g'(x)=1,\ g(x)=x\) \(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C\) \(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C\)
STEP 4

分数関数・三角関数の積分の工夫

公式がそのまま使えない形は、まず「使える形」に変形してから積分する。分母が2次式に因数分解できる分数関数には部分分数分解、\(\sin^2 x\)・\(\cos^2 x\) の形には半角公式が代表的な変形テクニック。

分数関数：部分分数分解

\(\displaystyle \dfrac{1}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x-b}-\dfrac{1}{x-a}\right)\)　（\(a\ne b\)。まず2つの分数の和に分けてから、それぞれ \(\ln\) の公式で積分する）

例題　\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx\) を求めよ。

解答を見る
\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) なので \(\dfrac{1}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}\) とおく。 両辺に \((x-2)(x+2)\) をかけて \(1 = A(x+2)+B(x-2)\)。 \(x=2\) を代入：\(1=4A\) より \(A=\dfrac14\)。　\(x=-2\) を代入：\(1=-4B\) より \(B=-\dfrac14\)。 \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx = \dfrac14\int\dfrac{1}{x-2}\,dx - \dfrac14\int\dfrac{1}{x+2}\,dx = \dfrac14\ln|x-2| - \dfrac14\ln|x+2| + C\) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx = \dfrac14\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right| + C\)

三角関数：半角公式

\(\displaystyle \sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\)、　\(\displaystyle \cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\)　（2乗のままでは積分できないが、角度が\(2x\)の1乗に直せば公式が使える）

例題　\(\displaystyle \int \cos^2 x\,dx\) を求めよ。

解答を見る
半角公式で \(\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\) と変形する。 \(\displaystyle \int \cos^2 x\,dx = \int \dfrac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \dfrac12\int 1\,dx + \dfrac12\int \cos 2x\,dx = \dfrac{x}{2} + \dfrac12\cdot\dfrac{\sin 2x}{2} + C = \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+C\) \(\displaystyle \int \cos^2 x\,dx = \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+C\)
注意　\(\cos 2x\) を積分するときに \(\dfrac12\) を掛け忘れやすい（\(u=2x\) の置換を頭の中で省略しているだけなので、実質は置換積分）。\(\displaystyle\int\cos(kx)\,dx=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C\) の形を覚えておくとミスが減る。
練習問題（全16問）

結果の式の中の空欄（ア・イ）に入る数を答える形式。「-1/2」のように分数もそのまま入力できる。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）
1
x^αの公式

\(\displaystyle \int x^5\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}x^6+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int x^5\,dx = \dfrac{x^6}{6}+C\) ア \(=6\)
2
係数つきx^αの公式

\(\displaystyle \int 6x^2\,dx = \text{ア}\,x^3+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int 6x^2\,dx = 6\cdot\dfrac{x^3}{3}+C = 2x^3+C\) ア \(=2\)
3
負の指数

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^3}\,dx = -\dfrac{1}{\text{ア}x^2}+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int x^{-3}\,dx = \dfrac{x^{-2}}{-2}+C = -\dfrac{1}{2x^2}+C\) ア \(=2\)
4
e^xの公式

\(\displaystyle \int 4e^x\,dx = \text{ア}\,e^x+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(e^x\) の積分は \(e^x\) のまま。係数の4はそのまま前に出る。 ア \(=4\)
5
1/xの公式

\(\displaystyle \int \dfrac{3}{x}\,dx = \text{ア}\ln|x|+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\) なので、係数の3がそのまま前に出る。 ア \(=3\)
6
sinxの公式

\(\displaystyle \int 2\sin x\,dx = -\text{ア}\cos x+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x+C\) なので、係数の2がそのまま前に出る。 ア \(=2\)
7
cosxの公式

\(\displaystyle \int 5\cos x\,dx = \text{ア}\sin x+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x+C\) なので、係数の5がそのまま前に出る。 ア \(=5\)
8
1/cos²xの公式

\(\displaystyle \int \dfrac{3}{\cos^2 x}\,dx = \text{ア}\tan x+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x+C\) なので、係数の3がそのまま前に出る。 ア \(=3\)
標準（9〜14）
9
置換積分（べき乗型）

\(\displaystyle \int 2x(x^2+1)^3\,dx = \dfrac{(x^2+1)^{\text{ア}}}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
\(u=x^2+1\) とおくと \(du=2x\,dx\)。ちょうど \(2x\,dx\) が式の中にあるので \(\displaystyle \int 2x(x^2+1)^3\,dx = \int u^3\,du = \dfrac{u^4}{4}+C = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C\) ア \(=4\)、イ \(=4\)
10
置換積分（根号型）

\(\displaystyle \int x\sqrt{x^2+3}\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}(x^2+3)^{3/2}+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(u=x^2+3\) とおくと \(du=2x\,dx\)、すなわち \(x\,dx=\dfrac12du\)。 \(\displaystyle \int x\sqrt{x^2+3}\,dx = \dfrac12\int u^{1/2}\,du = \dfrac12\cdot\dfrac23u^{3/2}+C = \dfrac13(x^2+3)^{3/2}+C\) ア \(=3\)
11
部分積分（x・e^x型）

\(\displaystyle \int xe^x\,dx = (x-\text{ア})e^x+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(f(x)=x,\ g'(x)=e^x\) と選ぶと \(\displaystyle \int xe^x\,dx = xe^x-\int e^x\,dx = xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C\) ア \(=1\)
12
部分積分（係数つき）

\(\displaystyle \int 2xe^x\,dx = \text{ア}(x-\text{イ})e^x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
\(\displaystyle \int 2xe^x\,dx = 2\int xe^x\,dx = 2(x-1)e^x+C\) ア \(=2\)、イ \(=1\)
13
部分積分（ln x型）

\(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x-\text{ア}x+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(f(x)=\ln x,\ g'(x)=1\) と選ぶと \(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\dfrac1x\,dx = x\ln x-x+C\) ア \(=1\)
14
部分分数分解

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)\) と分解できるので \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \dfrac12\ln|x-1|-\dfrac12\ln|x+1|+C = \dfrac12\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C\) ア \(=2\)
挑戦（15〜16）
15
半角公式

\(\displaystyle \int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{\text{ア}}-\dfrac{\sin 2x}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
半角公式より \(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)。 \(\displaystyle \int \sin^2 x\,dx = \int\dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \dfrac{x}{2}-\dfrac12\cdot\dfrac{\sin 2x}{2}+C = \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+C\) ア \(=2\)、イ \(=4\)
16
部分積分を2回使う

\(\displaystyle \int x^2e^x\,dx = (x^2-\text{ア}x+\text{イ})e^x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
\(f(x)=x^2,\ g'(x)=e^x\) と選ぶと \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx = x^2e^x-\int 2xe^x\,dx\) 問題12の結果 \(\displaystyle \int 2xe^x\,dx=2(x-1)e^x+C\) を使うと \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx = x^2e^x-2(x-1)e^x+C = x^2e^x-2xe^x+2e^x+C = (x^2-2x+2)e^x+C\) ア \(=2\)、イ \(=2\)
応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。2回の部分積分・置換と部分積分の組み合わせなど、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1
部分積分を2回使って同じ式に戻す

\(\displaystyle \int e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{\text{ア}}+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\) とおく。\(f(x)=\sin x,\ g'(x)=e^x\) で部分積分すると \(I = e^x\sin x - \displaystyle\int e^x\cos x\,dx\) 右辺の \(\displaystyle\int e^x\cos x\,dx\) も同様に \(f(x)=\cos x,\ g'(x)=e^x\) で部分積分すると \(\displaystyle\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \displaystyle\int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I\) これを最初の式に代入すると \(I = e^x\sin x - (e^x\cos x + I) = e^x\sin x - e^x\cos x - I\) \(2I = e^x\sin x - e^x\cos x\) \(I = \dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\) （右辺に同じ \(I\) が出てきたら、方程式として解いて \(I\) を求めるのがこのタイプの決め手） \(\displaystyle \int e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\)
応2
tanxを置換積分で求める

\(\displaystyle \int \tan x\,dx = \text{ア}\ln|\cos x|+C\)　のアを求めよ。

ア=
解説を見る
\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) なので、まず \(\sin x,\ \cos x\) の分数の形に直す。 \(u=\cos x\) とおくと \(du=-\sin x\,dx\)、すなわち \(\sin x\,dx = -du\)。 \(\displaystyle \int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \dfrac{-du}{u} = -\ln|u|+C = -\ln|\cos x|+C\) （分母にくる関数を \(u\) とおくのが分数形の置換積分の基本パターン） \(\displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C\)
応3
部分積分をくり返す漸化式的な考え方

問題16の結果 \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx=(x^2-2x+2)e^x+C\) を使って、\(\displaystyle \int x^3e^x\,dx = (x^3+\text{ア}x^2+6x+\text{イ})e^x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
\(x^ne^x\) の積分は、部分積分を1回行うたびに次数が1つ下がった \(x^{n-1}e^x\) の積分に帰着する（このくり返しの関係を漸化式という）。 一般に \(\displaystyle I_n=\int x^ne^x\,dx\) とおくと \(f(x)=x^n,\ g'(x)=e^x\) の部分積分により \(I_n = x^ne^x - n\displaystyle\int x^{n-1}e^x\,dx = x^ne^x - nI_{n-1}\) 今回は \(n=3\)。\(I_2=(x^2-2x+2)e^x+C\)（問題16の結果）を使うと \(I_3 = x^3e^x - 3I_2 = x^3e^x - 3(x^2-2x+2)e^x = x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x\) \(= (x^3-3x^2+6x-6)e^x+C\) ア \(=-3\)、イ \(=-6\)（このように次数を1つずつ下げてくり返す発想を漸化式的積分という）
応4
部分分数分解（分子が定数でない）

\(\displaystyle \int \dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac{\text{ア}}{3}\ln|x-1|+\dfrac{\text{イ}}{3}\ln|x+2|+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
\(\dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\) とおく。両辺に \((x-1)(x+2)\) をかけて \(x+3 = A(x+2)+B(x-1)\) \(x=1\) を代入：\(4=3A\) より \(A=\dfrac43\)。　\(x=-2\) を代入：\(1=-3B\) より \(B=-\dfrac13\)。 \(\displaystyle \int \dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac43\int\dfrac{1}{x-1}\,dx - \dfrac13\int\dfrac{1}{x+2}\,dx = \dfrac43\ln|x-1| - \dfrac13\ln|x+2| + C\) \(\displaystyle \int \dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac43\ln|x-1|-\dfrac13\ln|x+2|+C\)
応5
部分積分（x・ln x型）

\(\displaystyle \int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{\text{ア}}\ln x-\dfrac{x^2}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=
解説を見る
\(f(x)=\ln x,\ g'(x)=x\) と選ぶと \(f'(x)=\dfrac1x,\ g(x)=\dfrac{x^2}{2}\)。 \(\displaystyle \int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac1x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac12\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac12\cdot\dfrac{x^2}{2}+C\) \(\displaystyle \int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C\)