不定積分（置換・部分積分）

STEP 1

基本の不定積分 ― まずは公式を体に入れる

数IIで習った整式（\(x^n\)、\(n\)は0以上の整数）の積分に加えて、数IIIでは分数・無理数の指数、\(e^x\)、三角関数の積分公式が新しく増える。まずはこの公式表を丸ごと覚えてしまおう。

\(\displaystyle \int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\)　（\(\alpha \ne -1\) の実数。分数指数・負の指数でも成り立つ）

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)　（\(\alpha=-1\) のときだけこの形になる。上の公式は使えない）

\(\displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C\)　（\(e^x\) は微分しても積分しても形が変わらない特別な関数）

\(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C\)

\(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C\)

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C\)

公式の見分け方　\(x^{\alpha}\) 型は指数に1を足して割るだけ。ただし \(\alpha=-1\)（つまり \(\dfrac{1}{x}\)）のときだけ例外で、答えは \(\ln|x|\) になる（\(x^0/0\) は計算できないため）。\(e^x\)・\(\sin x\)・\(\cos x\) は積分してもほぼ同じ形に戻ってくるので、符号だけ間違えないように注意しよう（\(\sin x\) を積分するとマイナスがつく）。

STEP 2

置換積分 ― 「かたまり」を文字でおきかえる

\(f(g(x))\,g'(x)\) の形（外側の関数の中に別の関数が入っていて、そのすぐ後ろに中身の微分がかけてある形）を見つけたら、中身を \(u\) とおいて積分をラクにできる。合成関数の微分（chain rule）のちょうど逆の発想。

\(\displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du\)　（\(u=g(x)\) とおく）

手順1　微分すると係数以外がぴったり出てくる「かたまり」を見つけ、\(u=g(x)\) とおく

↓

手順2　\(u\) を \(x\) で微分して \(du=g'(x)\,dx\) をつくる

↓

手順3　積分の中の式をすべて \(u\) の式に置き換える（\(x\) が残っていたらおきかえ失敗）

↓

手順4　\(u\) のまま積分し、最後に \(u=g(x)\) を代入して \(x\) の式に戻す

例題1　\(\displaystyle \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(u=x^3+2\) とおくと \(\dfrac{du}{dx}=3x^2\)、すなわち \(du=3x^2\,dx\)。積分の中の \(3x^2\,dx\) がちょうど \(du\) に一致するので、そのまま置き換えられる。 \(\displaystyle \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx = \int u^4\,du = \dfrac{u^5}{5}+C\) 最後に \(u=x^3+2\) を戻す。 \(\displaystyle \int 3x^2(x^3+2)^4\,dx = \dfrac{(x^3+2)^5}{5}+C\)

例題2　\(\displaystyle \int x^2\sqrt{x^3+1}\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(u=x^3+1\) とおくと \(du=3x^2\,dx\)、すなわち \(x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\,du\)。 \(\displaystyle \int x^2\sqrt{x^3+1}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\dfrac{1}{3}\,du = \dfrac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C = \dfrac{2}{9}u^{3/2}+C\) \(\displaystyle \int x^2\sqrt{x^3+1}\,dx = \dfrac{2}{9}(x^3+1)^{3/2}+C\)

注意　置き換えたあとの式に \(x\) が残っていたら、その置換は失敗している（別の \(u\) を探すか、他の方法を考える）。「係数がぴったりdu」になっているかを必ず確認しよう。

STEP 3

部分積分 ― 積の微分公式を逆から使う

積の微分公式 \((fg)' = f'g + fg'\) を積分の形に直すと、部分積分の公式になる。「かけ算のまま積分できない」ときの主力の手段。

\(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx\)

どちらを \(f(x)\) にするか　\(x\) の累乗（\(x\)、\(x^2\)など）や \(\ln x\) は微分すると次数が下がったり形が簡単になるので \(f(x)\) 側に選ぶ。\(e^x\)・\(\sin x\)・\(\cos x\) は微分しても積分しても複雑さがほぼ変わらないので \(g'(x)\) 側（積分する側）に選ぶとうまくいくことが多い。

例題1　\(\displaystyle \int xe^x\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(x\) は微分すると簡単になるので \(f(x)=x\)、\(e^x\) は積分してもそのままなので \(g'(x)=e^x\) と選ぶ。 \(f(x)=x,\ f'(x)=1,\ g'(x)=e^x,\ g(x)=e^x\) \(\displaystyle \int xe^x\,dx = xe^x - \int 1\cdot e^x\,dx = xe^x - e^x + C\) \(\displaystyle \int xe^x\,dx = (x-1)e^x+C\)

例題2　\(\displaystyle \int \ln x\,dx\) を求めよ。

解答を見る

かけ算の形に見えないが、\(\ln x = \ln x \cdot 1\) と考えて \(f(x)=\ln x\)、\(g'(x)=1\) とおくのがコツ（\(g(x)=x\)）。 \(f(x)=\ln x,\ f'(x)=\dfrac{1}{x},\ g'(x)=1,\ g(x)=x\) \(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\dfrac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C\) \(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C\)

STEP 4

分数関数・三角関数の積分の工夫

公式がそのまま使えない形は、まず「使える形」に変形してから積分する。分母が2次式に因数分解できる分数関数には部分分数分解、\(\sin^2 x\)・\(\cos^2 x\) の形には半角公式が代表的な変形テクニック。

分数関数：部分分数分解

\(\displaystyle \dfrac{1}{(x-a)(x-b)} = \dfrac{1}{b-a}\left(\dfrac{1}{x-b}-\dfrac{1}{x-a}\right)\)　（\(a\ne b\)。まず2つの分数の和に分けてから、それぞれ \(\ln\) の公式で積分する）

例題　\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) なので \(\dfrac{1}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}\) とおく。両辺に \((x-2)(x+2)\) をかけて \(1 = A(x+2)+B(x-2)\)。 \(x=2\) を代入：\(1=4A\) より \(A=\dfrac14\)。　\(x=-2\) を代入：\(1=-4B\) より \(B=-\dfrac14\)。 \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx = \dfrac14\int\dfrac{1}{x-2}\,dx - \dfrac14\int\dfrac{1}{x+2}\,dx = \dfrac14\ln|x-2| - \dfrac14\ln|x+2| + C\) \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx = \dfrac14\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right| + C\)

三角関数：半角公式

\(\displaystyle \sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\)、　\(\displaystyle \cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\)　（2乗のままでは積分できないが、角度が\(2x\)の1乗に直せば公式が使える）

例題　\(\displaystyle \int \cos^2 x\,dx\) を求めよ。

解答を見る

半角公式で \(\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\) と変形する。 \(\displaystyle \int \cos^2 x\,dx = \int \dfrac{1+\cos 2x}{2}\,dx = \dfrac12\int 1\,dx + \dfrac12\int \cos 2x\,dx = \dfrac{x}{2} + \dfrac12\cdot\dfrac{\sin 2x}{2} + C = \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+C\) \(\displaystyle \int \cos^2 x\,dx = \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}+C\)

注意　\(\cos 2x\) を積分するときに \(\dfrac12\) を掛け忘れやすい（\(u=2x\) の置換を頭の中で省略しているだけなので、実質は置換積分）。\(\displaystyle\int\cos(kx)\,dx=\dfrac{\sin(kx)}{k}+C\) の形を覚えておくとミスが減る。

STEP 5

三角関数のさらなる変形と分数関数の割り算

STEP4で身につけた変形に加えて、もう一歩踏み込んだ4つの工夫を押さえよう。奇数乗の三角関数・積和公式・\(\tan^2 x\)・仮分数の分数関数は、どれも「型を知っていれば一瞬で終わる」タイプの問題だ。

三角関数：奇数乗の分解（\(\sin^3 x\)の積分）

\(\sin^3 x = \sin x(1-\cos^2 x)\)　（奇数乗は1つだけ残し、残りを \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) で書き換えると \(u=\cos x\) の置換に持ち込める）

例題　\(\displaystyle \int \sin^3 x\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(\sin^3 x = \sin x\cdot\sin^2 x = \sin x(1-\cos^2 x)\) と変形する。 \(u=\cos x\) とおくと \(du=-\sin x\,dx\)、すなわち \(\sin x\,dx=-du\)。 \(\displaystyle \int \sin^3 x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\sin x\,dx = \int (1-u^2)(-du) = \int (u^2-1)\,du = \dfrac{u^3}{3}-u+C\) 最後に \(u=\cos x\) を戻す。 \(\displaystyle \int \sin^3 x\,dx = \dfrac{\cos^3 x}{3}-\cos x+C\)

三角関数：積和公式（\(\sin(mx)\cos(nx)\)の積分）

\(\sin A\cos B = \dfrac12\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}\)　（積のままでは積分できないが、和の形に直せば公式がそのまま使える）

例題　\(\displaystyle \int \sin 3x\cos x\,dx\) を求めよ。

解答を見る

積和公式で \(\sin 3x\cos x = \dfrac12(\sin 4x+\sin 2x)\) と変形する。 \(\displaystyle \int \sin 3x\cos x\,dx = \dfrac12\int \sin 4x\,dx + \dfrac12\int \sin 2x\,dx = \dfrac12\left(-\dfrac{\cos 4x}{4}\right)+\dfrac12\left(-\dfrac{\cos 2x}{2}\right)+C\) \(\displaystyle \int \sin 3x\cos x\,dx = -\dfrac{\cos 4x}{8}-\dfrac{\cos 2x}{4}+C\)

三角関数：\(\tan^2 x\)の積分

\(\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}-1\)　（\(1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\) の恒等式を使うと、STEP1の公式がそのまま使える形になる）

例題　\(\displaystyle \int \tan^2 x\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}-1\) と変形する。 \(\displaystyle \int \tan^2 x\,dx = \int \left(\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\right)dx = \tan x - x + C\) \(\displaystyle \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C\)

分数関数：仮分数形の割り算

分子の次数が分母の次数以上（仮分数形）のときは、先に割り算して「整式＋真分数」の形に直してから積分する（真分数にすれば \(\ln\) の公式や部分分数分解がそのまま使える）。

例題　\(\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx\) を求めよ。

解答を見る

\(x^2\) を \(x-1\) で割ると、\(x^2=(x-1)(x+1)+1\) より \(\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}\)。 \(\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx = \int \left(x+1+\dfrac{1}{x-1}\right)dx = \dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|+C\) \(\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx = \dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|+C\)

練習問題（全20問）

結果の式の中の空欄（ア・イ）に入る数を答える形式。「-1/2」のように分数もそのまま入力できる。
わからないときは「解説を見る」で解き方を確認しよう。

基本（1〜8）

x^αの公式

\(\displaystyle \int x^5\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}x^6+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int x^5\,dx = \dfrac{x^6}{6}+C\) ア \(=6\)

係数つきx^αの公式

\(\displaystyle \int 6x^2\,dx = \text{ア}\,x^3+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int 6x^2\,dx = 6\cdot\dfrac{x^3}{3}+C = 2x^3+C\) ア \(=2\)

負の指数

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^3}\,dx = -\dfrac{1}{\text{ア}x^2}+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int x^{-3}\,dx = \dfrac{x^{-2}}{-2}+C = -\dfrac{1}{2x^2}+C\) ア \(=2\)

e^xの公式

\(\displaystyle \int 4e^x\,dx = \text{ア}\,e^x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(e^x\) の積分は \(e^x\) のまま。係数の4はそのまま前に出る。ア \(=4\)

1/xの公式

\(\displaystyle \int \dfrac{3}{x}\,dx = \text{ア}\ln|x|+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\) なので、係数の3がそのまま前に出る。ア \(=3\)

sinxの公式

\(\displaystyle \int 2\sin x\,dx = -\text{ア}\cos x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x+C\) なので、係数の2がそのまま前に出る。ア \(=2\)

cosxの公式

\(\displaystyle \int 5\cos x\,dx = \text{ア}\sin x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x+C\) なので、係数の5がそのまま前に出る。ア \(=5\)

1/cos²xの公式

\(\displaystyle \int \dfrac{3}{\cos^2 x}\,dx = \text{ア}\tan x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x+C\) なので、係数の3がそのまま前に出る。ア \(=3\)

標準（9〜15）

置換積分（べき乗型）

\(\displaystyle \int 2x(x^2+1)^3\,dx = \dfrac{(x^2+1)^{\text{ア}}}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(u=x^2+1\) とおくと \(du=2x\,dx\)。ちょうど \(2x\,dx\) が式の中にあるので \(\displaystyle \int 2x(x^2+1)^3\,dx = \int u^3\,du = \dfrac{u^4}{4}+C = \dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C\) ア \(=4\)、イ \(=4\)

置換積分（根号型）

\(\displaystyle \int x\sqrt{x^2+3}\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}(x^2+3)^{3/2}+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(u=x^2+3\) とおくと \(du=2x\,dx\)、すなわち \(x\,dx=\dfrac12du\)。 \(\displaystyle \int x\sqrt{x^2+3}\,dx = \dfrac12\int u^{1/2}\,du = \dfrac12\cdot\dfrac23u^{3/2}+C = \dfrac13(x^2+3)^{3/2}+C\) ア \(=3\)

部分積分（x・e^x型）

\(\displaystyle \int xe^x\,dx = (x-\text{ア})e^x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(f(x)=x,\ g'(x)=e^x\) と選ぶと \(\displaystyle \int xe^x\,dx = xe^x-\int e^x\,dx = xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C\) ア \(=1\)

部分積分（係数つき）

\(\displaystyle \int 2xe^x\,dx = \text{ア}(x-\text{イ})e^x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(\displaystyle \int 2xe^x\,dx = 2\int xe^x\,dx = 2(x-1)e^x+C\) ア \(=2\)、イ \(=1\)

部分積分（ln x型）

\(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x-\text{ア}x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(f(x)=\ln x,\ g'(x)=1\) と選ぶと \(\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot\dfrac1x\,dx = x\ln x-x+C\) ア \(=1\)

部分分数分解

\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \dfrac{1}{\text{ア}}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac12\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)\) と分解できるので \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2-1}\,dx = \dfrac12\ln|x-1|-\dfrac12\ln|x+1|+C = \dfrac12\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C\) ア \(=2\)

置換積分（指数関数分数型・t=e^xとおく）

\(\displaystyle \int \dfrac{4e^x}{e^x+3}\,dx = \text{ア}\,\log(e^x+\text{イ})+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

分母が \(e^x+3\) という \(x\) の1次式ではない形をしているので、そのまま \(1/x\) の公式は使えない。分母の \(e^x+3\) を1つのかたまりとみて置換積分を使う。 \(t=e^x+3\) とおくと \(\dfrac{dt}{dx}=e^x\)、すなわち \(dt=e^x\,dx\)。分子の \(4e^x\,dx\) はちょうど \(4\,dt\) の形になっているので \(\displaystyle \int \dfrac{4e^x}{e^x+3}\,dx = \int \dfrac{4\,dt}{t} = 4\int \dfrac{1}{t}\,dt = 4\log|t|+C\) \(t=e^x+3\) は \(e^x>0\) より常に正なので絶対値ははずせて \(\displaystyle = 4\log(e^x+3)+C\) ア \(=4\)、イ \(=3\)

挑戦（16〜21）

半角公式

\(\displaystyle \int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{\text{ア}}-\dfrac{\sin 2x}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

半角公式より \(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\)。 \(\displaystyle \int \sin^2 x\,dx = \int\dfrac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \dfrac{x}{2}-\dfrac12\cdot\dfrac{\sin 2x}{2}+C = \dfrac{x}{2}-\dfrac{\sin 2x}{4}+C\) ア \(=2\)、イ \(=4\)

部分積分を2回使う

\(\displaystyle \int x^2e^x\,dx = (x^2-\text{ア}x+\text{イ})e^x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(f(x)=x^2,\ g'(x)=e^x\) と選ぶと \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx = x^2e^x-\int 2xe^x\,dx\) 問題12の結果 \(\displaystyle \int 2xe^x\,dx=2(x-1)e^x+C\) を使うと \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx = x^2e^x-2(x-1)e^x+C = x^2e^x-2xe^x+2e^x+C = (x^2-2x+2)e^x+C\) ア \(=2\)、イ \(=2\)

tan²xの積分

\(\displaystyle \int \tan^2 x\,dx = \tan x-\text{ア}x+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\) と変形すると \(\displaystyle \int \tan^2 x\,dx = \int\left(\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\right)dx = \tan x-x+C\) ア \(=1\)

sin³xの積分（奇数乗の分解＋置換）

\(\displaystyle \int \sin^3 x\,dx = \dfrac{\cos^3 x}{\text{ア}}-\text{イ}\cos x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(\sin^3 x=\sin x(1-\cos^2 x)\) と変形し、\(u=\cos x\) とおくと \(du=-\sin x\,dx\)。 \(\displaystyle \int \sin^3 x\,dx = \int (1-u^2)(-du) = \dfrac{u^3}{3}-u+C = \dfrac{\cos^3 x}{3}-\cos x+C\) ア \(=3\)、イ \(=1\)

積和公式（sin(mx)cos(nx)の積分）

\(\displaystyle \int \sin 3x\cos x\,dx = -\dfrac{\cos 4x}{\text{ア}}-\dfrac{\cos 2x}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

積和公式より \(\sin 3x\cos x = \dfrac12(\sin 4x+\sin 2x)\)。 \(\displaystyle \int \sin 3x\cos x\,dx = \dfrac12\int\sin 4x\,dx+\dfrac12\int\sin 2x\,dx = -\dfrac{\cos 4x}{8}-\dfrac{\cos 2x}{4}+C\) ア \(=8\)、イ \(=4\)

仮分数の分数関数（割り算→分解）

\(\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx = \dfrac{x^2}{\text{ア}}+x+\text{イ}\ln|x-1|+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(x^2=(x-1)(x+1)+1\) より \(\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}\)。 \(\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x-1}\,dx = \int\left(x+1+\dfrac{1}{x-1}\right)dx = \dfrac{x^2}{2}+x+\ln|x-1|+C\) ア \(=2\)、イ \(=1\)

応用問題（プリント限定）

ここから先はPDF限定の腕試し。2回の部分積分・置換と部分積分の組み合わせなど、入試の基礎レベルに挑戦しよう。

応1

部分積分を2回使って同じ式に戻す

\(\displaystyle \int e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{\text{ア}}+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx\) とおく。\(f(x)=\sin x,\ g'(x)=e^x\) で部分積分すると \(I = e^x\sin x - \displaystyle\int e^x\cos x\,dx\) 右辺の \(\displaystyle\int e^x\cos x\,dx\) も同様に \(f(x)=\cos x,\ g'(x)=e^x\) で部分積分すると \(\displaystyle\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \displaystyle\int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I\) これを最初の式に代入すると \(I = e^x\sin x - (e^x\cos x + I) = e^x\sin x - e^x\cos x - I\) \(2I = e^x\sin x - e^x\cos x\) \(I = \dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\) （右辺に同じ \(I\) が出てきたら、方程式として解いて \(I\) を求めるのがこのタイプの決め手） \(\displaystyle \int e^x\sin x\,dx = \dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C\)

応2

tanxを置換積分で求める

\(\displaystyle \int \tan x\,dx = \text{ア}\ln|\cos x|+C\)　のアを求めよ。

ア=

解説を見る

\(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\) なので、まず \(\sin x,\ \cos x\) の分数の形に直す。 \(u=\cos x\) とおくと \(du=-\sin x\,dx\)、すなわち \(\sin x\,dx = -du\)。 \(\displaystyle \int \tan x\,dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = \int \dfrac{-du}{u} = -\ln|u|+C = -\ln|\cos x|+C\) （分母にくる関数を \(u\) とおくのが分数形の置換積分の基本パターン） \(\displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C\)

応3

部分積分をくり返す漸化式的な考え方

問題16の結果 \(\displaystyle \int x^2e^x\,dx=(x^2-2x+2)e^x+C\) を使って、\(\displaystyle \int x^3e^x\,dx = (x^3+\text{ア}x^2+6x+\text{イ})e^x+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(x^ne^x\) の積分は、部分積分を1回行うたびに次数が1つ下がった \(x^{n-1}e^x\) の積分に帰着する（このくり返しの関係を漸化式という）。一般に \(\displaystyle I_n=\int x^ne^x\,dx\) とおくと \(f(x)=x^n,\ g'(x)=e^x\) の部分積分により \(I_n = x^ne^x - n\displaystyle\int x^{n-1}e^x\,dx = x^ne^x - nI_{n-1}\) 今回は \(n=3\)。\(I_2=(x^2-2x+2)e^x+C\)（問題16の結果）を使うと \(I_3 = x^3e^x - 3I_2 = x^3e^x - 3(x^2-2x+2)e^x = x^3e^x-3x^2e^x+6xe^x-6e^x\) \(= (x^3-3x^2+6x-6)e^x+C\) ア \(=-3\)、イ \(=-6\)（このように次数を1つずつ下げてくり返す発想を漸化式的積分という）

応4

部分分数分解（分子が定数でない）

\(\displaystyle \int \dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac{\text{ア}}{3}\ln|x-1|+\dfrac{\text{イ}}{3}\ln|x+2|+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(\dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\) とおく。両辺に \((x-1)(x+2)\) をかけて \(x+3 = A(x+2)+B(x-1)\) \(x=1\) を代入：\(4=3A\) より \(A=\dfrac43\)。　\(x=-2\) を代入：\(1=-3B\) より \(B=-\dfrac13\)。 \(\displaystyle \int \dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac43\int\dfrac{1}{x-1}\,dx - \dfrac13\int\dfrac{1}{x+2}\,dx = \dfrac43\ln|x-1| - \dfrac13\ln|x+2| + C\) \(\displaystyle \int \dfrac{x+3}{(x-1)(x+2)}\,dx = \dfrac43\ln|x-1|-\dfrac13\ln|x+2|+C\)

応5

部分積分（x・ln x型）

\(\displaystyle \int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{\text{ア}}\ln x-\dfrac{x^2}{\text{イ}}+C\)　のア・イを求めよ。

ア= 　イ=

解説を見る

\(f(x)=\ln x,\ g'(x)=x\) と選ぶと \(f'(x)=\dfrac1x,\ g(x)=\dfrac{x^2}{2}\)。 \(\displaystyle \int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac1x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac12\int x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac12\cdot\dfrac{x^2}{2}+C\) \(\displaystyle \int x\ln x\,dx = \dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C\)

記述チャレンジ

答えだけでなく「なぜそうなるか」を文章と式で書く練習。模範解答と見比べて、書き方の型を身につけよう。

記1

不定積分の公式のうち \(\displaystyle \int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) が \(\alpha=-1\) のときだけ使えず、代わりに \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\) という別の公式が必要になる理由を説明せよ。

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\(\displaystyle \int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) という公式は、右辺の分母に \(\alpha+1\) が現れる。ここで \(\alpha=-1\) を代入すると分母が \(\alpha+1=0\) になり、0で割ることになってしまうため、この公式はそのままでは使えない。そこで、\(\alpha=-1\) のとき、すなわち \(\displaystyle \int \dfrac{1}{x}\,dx\) を求めるにあたっては、別の関数を候補として考える必要がある。ここで \(y=\ln|x|\) を微分してみると、\(x>0\) のとき \(y=\ln x\) より \(y'=\dfrac1x\)、\(x<0\) のとき \(y=\ln(-x)\) より合成関数の微分から \(y'=\dfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x\) となり、\(x\) の符号によらず \(y'=\dfrac1x\) が成り立つ。よって \(\ln|x|\) を微分すると \(\dfrac1x\) に戻るので、\(\displaystyle \int \dfrac1x\,dx=\ln|x|+C\) が成り立つことが確かめられる。 \(x^{\alpha}\) の積分公式は分母に \(\alpha+1\) が現れる形なので \(\alpha=-1\) では0で割ることになり使えない。この場合だけは \(\ln|x|\) を微分すると \(1/x\) に戻ることを使って、別の公式 \(\int(1/x)dx=\ln|x|+C\) で処理する。

記2

\(\displaystyle \int (3x+2)\cos x\,dx\) を求めよ。部分積分でどちらを \(f(x)\)、どちらを \(g'(x)\) にするかの根拠も書きながら、答案として仕上げよ。

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部分積分の公式 \(\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\) を使う。 \(3x+2\) は微分すると定数 \(3\) になって簡単になり、\(\cos x\) は積分しても \(\sin x\) と複雑さが変わらないので、\(f(x)=3x+2\)、\(g'(x)=\cos x\) と選ぶ。このとき \(f'(x)=3\)、\(g(x)=\sin x\)。 \(\displaystyle \int (3x+2)\cos x\,dx = (3x+2)\sin x - \int 3\sin x\,dx\) ここで \(\displaystyle \int 3\sin x\,dx = -3\cos x+C\) なので \(\displaystyle \int (3x+2)\cos x\,dx = (3x+2)\sin x - (-3\cos x) + C = (3x+2)\sin x+3\cos x+C\) \(\displaystyle \int (3x+2)\cos x\,dx = (3x+2)\sin x+3\cos x+C\)