絶対値

絶対値の中身が \(0\) になる境界は \(x=1\) と \(x=2\) の2つ。この2つの境界で数直線が3つの区間に分かれるので、3通りに場合分けする。 (i) \(x<1\) のとき（\(x-1<0\)、\(x-2<0\) なのでどちらも符号を反転） \(-(x-1)-(x-2)=5\) \(-x+1-x+2=5\) \(-2x+3=5\) \(-2x=2\) \(x=-1\) 前提条件 \(x<1\) を満たす。よって適。 (ii) \(1\le x<2\) のとき（\(x-1\ge0\) なのでそのまま、\(x-2<0\) なので符号を反転） \((x-1)-(x-2)=5\) \(x-1-x+2=5\) \(1=5\) これは \(x\) の値に関係なく成り立たない式（矛盾）。よってこの区間には解なし。 (iii) \(x\ge2\) のとき（\(x-1\ge0\)、\(x-2\ge0\) なのでどちらもそのまま） \((x-1)+(x-2)=5\) \(2x-3=5\) \(2x=8\) \(x=4\) 前提条件 \(x\ge2\) を満たす。よって適。 (i)と(iii)が適なので、解は \(x=-1\) と \(x=4\) の2つ。 \(x=-1,\ 4\)

\(|2x-5|\le7\) より \(-7\le2x-5\le7\)。 各辺に \(5\) を足すと \(-2\le2x\le12\)。 各辺を \(2\) で割ると \(-1\le x\le6\)。 この範囲の整数は \(-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\) の8個。 8個

交点の \(x\) 座標は、\(|x+1|=4\) を解けば求められる（グラフ上の高さが \(y=4\) になる \(x\) を求めることと同じ）。 \(x+1=4\) より \(x=3\)。 \(x+1=-4\) より \(x=-5\)。 \(y=|x+1|\) のグラフは点 \((-1,\ 0)\) を頂点とするV字形なので、\(y=4\) の高さでは左右の斜面それぞれと交わり、交点は2つになる。 \(x=3,\ -5\)

絶対値の中身 \(x+2\) が \(0\) になるのは \(x=-2\)。ここを境に場合分けする。 (i) \(x\ge-2\) のとき（\(x+2\ge0\) なのでそのまま外せる） \(x+2\ge3x\) \(2\ge2x\) \(x\le1\) 前提条件 \(x\ge-2\) とあわせると \(-2\le x\le1\)。 (ii) \(x<-2\) のとき（\(x+2<0\) なので符号を反転） \(-(x+2)\ge3x\) \(-x-2\ge3x\) \(-2\ge4x\) \(x\le-\dfrac{1}{2}\) 前提条件 \(x<-2\) とあわせると、\(x<-2\) はすでに \(x\le-\dfrac{1}{2}\) を満たすので、そのまま \(x<-2\) がすべて解になる。 (i)の範囲 \(-2\le x\le1\) と(ii)の範囲 \(x<-2\) をあわせると、\(x<-2\) と \(-2\le x\le1\) はちょうど \(x=-2\) でつながるので、まとめて \(x\le1\)。 \(x\le1\)

\(|x-3|\) は点3から \(x\) までの距離、\(|x+2|\) は点\(-2\)から \(x\) までの距離を表す。つまりこの式は「\(x\) から点3までの距離」と「\(x\) から点\(-2\)までの距離」の合計。 \(x\) が \(-2\) と \(3\) の間（\(-2\le x\le3\)）にあるときは、2つの距離の合計はちょうど \(3\) と \(-2\) の間の距離、つまり \(3-(-2)=5\) になる（間を行き来する分の距離が無駄なく使われる）。 \(x\) が \(-2\) と \(3\) の間から外れると、外れた分だけ遠回りになり、合計の距離は \(5\) より大きくなる。 したがって、合計の距離が最小になるのは \(x\) が \(-2\) 以上 \(3\) 以下のときで、その最小値は \(5\)。 最小値 \(5\)

なぜ場合分けが必要か。絶対値の中身 \(x-3\) と \(x+2\) は、\(x\) の値によって正にも負にもなる。絶対値記号を外すには符号を決めなければならないので、符号が切り替わる境界で区間を分ける必要がある。 境界の見つけ方。\(x-3=0\) より \(x=3\)、\(x+2=0\) より \(x=-2\)。この2つの境界で数直線を区切ると、\(x<-2\)／\(-2\le x<3\)／\(x\ge3\) の3つの区間に分かれる。 (i) \(x<-2\) のとき（\(x-3<0\)、\(x+2<0\) なので、どちらも符号を反転させて絶対値を外す） \(-(x-3)-3(x+2)<11\) \(-x+3-3x-6<11\) \(-4x-3<11\) \(-4x<14\) 両辺を \(-4\)（負の数）で割るので、不等号の向きが変わる。 \(x>-\dfrac{7}{2}\) 前提 \(x<-2\) との共通範囲は \(-\dfrac{7}{2}<x<-2\)。 (ii) \(-2\le x<3\) のとき（\(x-3<0\) なので符号を反転、\(x+2\ge0\) なのでそのまま） \(-(x-3)+3(x+2)<11\) \(-x+3+3x+6<11\) \(2x+9<11\) \(2x<2\) 両辺を2（正の数）で割る。向きはそのまま。 \(x<1\) 前提 \(-2\le x<3\) と、いま求めた \(x<1\) の共通範囲をとると \(-2\le x<1\)。 (iii) \(x\ge3\) のとき（\(x-3\ge0\)、\(x+2\ge0\) なので、どちらもそのまま外せる） \((x-3)+3(x+2)<11\) \(x-3+3x+6<11\) \(4x+3<11\) \(4x<8\) 両辺を4（正の数）で割る。向きはそのまま。 \(x<2\) 前提 \(x\ge3\) と、いま求めた \(x<2\) は同時に成り立たない（3以上で2未満の数はない）。だからこの区間には解なし。 3つの場合をつなげる。 (i) \(-\dfrac{7}{2}<x<-2\) (ii) \(-2\le x<1\) (iii) 解なし (i)の右端 \(-2\) と(ii)の左端 \(-2\) がぴったりつながるので、(i)と(ii)を合体させると切れ目のない範囲になる。(iii)は解を持たないので、最終的な範囲を広げない。 \(-\dfrac{7}{2}<x<1\)

まず1つ目の不等式 \(|x+1|<2\) だけを解く。 \(-2<x+1<2\) 各辺から1を引く。 \(-3<x<1\) この範囲にふくまれる整数を数え上げると、\(-2,\ -1,\ 0\) のちょうど3個しかない（\(-3\) 自身と \(1\) 自身は範囲に含まれないことに注意）。 ここが今回のキモ。1つ目の不等式だけで、そもそも整数の候補が \(-2,-1,0\) の3個しかない。2つ目の不等式 \(|x-2|>k\) を組み合わせても、両方を満たす整数の個数はこの3個から減ることはあっても増えることはない。だから「両方を満たす整数がちょうど3個」というのは、「この3個の整数 \(-2,-1,0\) が、そろって2つ目の不等式 \(|x-2|>k\) も満たす」ということと完全に同じ意味になる。 そこで、\(-2,-1,0\) それぞれについて \(|x-2|\)（点2からの距離）を計算してみる。 \(x=-2\) のとき \(|x-2|=|-2-2|=4\) \(x=-1\) のとき \(|x-2|=|-1-2|=3\) \(x=0\) のとき \(|x-2|=|0-2|=2\) 3個ともが \(|x-2|>k\) を満たすには、これら3つの距離のうち一番小さいもの（\(=2\)、\(x=0\) のとき）より \(k\) が小さくなければならない。なぜなら、一番小さい距離でも \(k\) を上回っていれば、残りの大きい距離（3や4）は自動的に \(k\) を上回るから。逆に、もし \(k\) が2以上だと、\(x=0\) のところで \(|x-2|=2\) が \(k\) を上回れなくなり（\(2>k\) が成り立たなくなり）、3個そろわなくなってしまう。 よって \(k<2\)。さらに \(k\) は正の定数と指定されているので \(k>0\)。この2つを合わせて \(0<k<2\)。 確かめてみよう。\(k=1\)（範囲の中の値）のとき、\(|x-2|>1\) を満たすかを \(-2,-1,0\) それぞれ確認すると、距離は4,3,2ですべて1より大きいので3個とも条件を満たす。境界の \(k=2\) では、\(x=0\) の距離2が \(2>2\) を満たさなくなり、条件を満たす整数は \(-2,-1\) の2個に減ってしまう。だから \(k=2\) は範囲に含めない。 \(0<k<2\)

なぜ場合分けが必要か。この連立不等式には、\(x\) の係数として \(a\) と \(a-3\) という文字式が入っている。不等式の両辺を数で割るとき、割る数が正なら向きはそのまま、負なら向きが逆になり、0なら「割る」という操作自体ができない。ここでは割る数が \(a\)、\(a-3\) という文字式なので、その符号（正・負・0のどれか）が分からないと、向きが変わるかどうかが決められない。だから、\(a\) の符号と \(a-3\) の符号によって場合分けする必要がある。 境界の見つけ方。場合分けの境界は「係数がちょうど0になる点」で決まる。1つ目の不等式の係数は \(a\)、これが0になるのは \(a=0\)。2つ目の不等式の係数は \(a-3\)、これが0になるのは \(a=3\)。この2つの境界 \(a=0\) と \(a=3\) で数直線を区切ると、\(a\) の範囲は次の5つに分かれる。 (i) \(a<0\) のとき（\(a\) は負、\(a-3\) も負） 1つ目 \(ax<3a(a-3)\) の両辺を \(a\)（負の数）で割るので、不等号の向きが変わる。 \(x>3(a-3)\) 2つ目 \((a-3)x\ge a(a-3)\) の両辺を \(a-3\)（負の数）で割るので、不等号の向きが変わる。 \(x\le a\) 合わせると \(3(a-3)<x\le a\)。これが空でない範囲かどうかを確認する。下端が上端より小さければよい。 \(3(a-3)<a\) \(3a-9<a\) \(2a<9\) \(a<4.5\) いまは \(a<0\) の場合なので、\(a<0\) は \(a<4.5\) を自動的に満たす。だから \(a<0\) では常にこの範囲が存在する。 具体的に \(a=-1\) で確かめると、下端は \(3(-1-3)=-12\)、上端は \(-1\)。解は \(-12<x\le-1\) という、ちゃんとした範囲になる。 \(a<0\) のとき　\(3(a-3)<x\le a\) (ii) \(a=0\) のとき（\(a=0\)、\(a-3=-3\)） \(a=0\) を1つ目の不等式にそのまま代入する。 \(0\times x<3\times0\times(-3)\) 左辺・右辺とも \(0\) になるので、これは \(0<0\) という式になる。左辺はどんな \(x\) を入れても常に \(0\) なので、この式は\(x\)の値によらず常に偽（成り立たない）。 つまり、この時点で1つ目の不等式を満たす \(x\) が1つも存在しない。2つ目の不等式がどうであれ、両方を同時に満たす \(x\) はあり得ない。 \(a=0\) のとき　解なし (iii) \(0<a<3\) のとき（\(a\) は正、\(a-3\) は負） 1つ目の両辺を \(a\)（正の数）で割るので、向きはそのまま。 \(x<3(a-3)\) 2つ目の両辺を \(a-3\)（負の数）で割るので、向きが変わる。 \(x\le a\) 合わせると「\(x<3(a-3)\) かつ \(x\le a\)」。この2つの条件のうち、どちらがより厳しい（範囲を狭める）かを調べるため \(3(a-3)\) と \(a\) の大小を比べる。 \(3(a-3)-a=3a-9-a=2a-9\) いまは \(0<a<3\) なので \(2a<6<9\)、つまり \(2a-9<0\)。だから \(3(a-3)<a\) が常に成り立つ。 \(3(a-3)\) が \(a\) より小さいので、\(x<3(a-3)\) の方が \(x\le a\) より厳しい条件。厳しい方を満たせば、ゆるい方は自動的に満たされる。だから2つを合わせた範囲は \(x<3(a-3)\) だけで決まる。 \(0<a<3\) のとき　\(x<3(a-3)\) (iv) \(a=3\) のとき（\(a=3\)、\(a-3=0\)） \(a=3\) を2つの不等式に代入する。 1つ目：\(3x<3\times3\times0=0\)、つまり \(3x<0\)。両辺を3で割って \(x<0\)。 2つ目：\((3-3)x\ge3\times(3-3)\)、つまり \(0\times x\ge0\)。これは \(0\ge0\) という式になる。左辺はどんな \(x\) を入れても常に \(0\) なので、この式は\(x\)の値によらず常に真（成り立つ）。 つまり2つ目の不等式は \(x\) に何の制限も加えない。だから連立不等式全体の解は、1つ目だけで決まる \(x<0\)。 \(a=3\) のとき　\(x<0\) (v) \(a>3\) のとき（\(a\) は正、\(a-3\) も正） 1つ目の両辺を \(a\)（正の数）で割るので、向きはそのまま。 \(x<3(a-3)\) 2つ目の両辺を \(a-3\)（正の数）で割るので、向きはそのまま。 \(x\ge a\) 合わせると「\(a\le x<3(a-3)\)」。これが空でない範囲かどうかは、下端 \(a\) が上端 \(3(a-3)\) より小さいかどうかで決まる。 \(a<3(a-3)\) \(a<3a-9\) \(9<2a\) \(a>4.5\) つまり \(a>3\) の中でも、\(a\) が4.5より大きいかどうかでさらに結果が変わってしまう。ここでもう一段階、細かく場合分けする必要がある。 (v-a) \(3<a\le4.5\) のとき 下端 \(a\) が上端 \(3(a-3)\) 以上になってしまうので、\(a\le x<3(a-3)\) を満たす \(x\) は存在しない。 具体的に \(a=4\) で確かめると、下端は \(4\)、上端は \(3(4-3)=3\)。\(4\le x<3\) を満たす \(x\) はない（4以上で3未満の数はない）。 \(3<a\le4.5\) のとき　解なし (v-b) \(a>4.5\) のとき 下端 \(a\) が上端 \(3(a-3)\) より真に小さくなるので、\(a\le x<3(a-3)\) という範囲がちゃんと存在する。 具体的に \(a=5\) で確かめると、下端は \(5\)、上端は \(3(5-3)=6\)。\(5\le x<6\) という、ちゃんとした範囲になる。 \(a>4.5\) のとき　\(a\le x<3(a-3)\) すべての場合をまとめる。