展開の基本―分配法則をおさらいしよう
「展開する」とは、かっこのついた式を、かっこを外してばらばらの項の和になおすこと。すべての土台になるのは中学で習った分配法則 \(a(b+c) = ab + ac\) だ。まずは単項式×多項式で手を慣らそう。
例題1 \(2x(3x^2 - 4x + 1)\) を展開せよ。
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かっこの外の \(2x\) を、かっこの中の3つの項すべてに配る。
\(2x \times 3x^2 = 6x^3\)、\(2x \times (-4x) = -8x^2\)、\(2x \times 1 = 2x\)
\(2x(3x^2-4x+1) = 6x^3 - 8x^2 + 2x\)
では「多項式×多項式」、たとえば \((x+2)(x+5)\) はどう展開するのだろう。これは \((x+2)\) をひとかたまりの数だと思って、分配法則を2回使えばよい。
例題2 \((x+2)(x+5)\) を展開せよ。
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まず \((x+2)\) を1つの数のように扱い、\((x+5)\) の2つの項 \(x\) と \(5\) に配る。
\((x+2)(x+5) = (x+2) \times x + (x+2) \times 5\)
次に、それぞれをさらに展開する。
\((x+2) \times x = x^2 + 2x\)
\((x+2) \times 5 = 5x + 10\)
両方を合わせて同類項をまとめる。
\(x^2 + 2x + 5x + 10 = x^2 + 7x + 10\)
\((x+2)(x+5) = x^2 + 7x + 10\)
多項式×多項式は、結局「前の式の各項」×「後ろの式の各項」の全部の組み合わせを足し合わせたもの。
\((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) という4つの積の和になる。これが展開の一番の基本形。
乗法公式―覚えておくと速くなる4パターン
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) はいつでも使えるが、毎回律義に4つの積を計算するのは大変。よく出てくる形は公式として覚えてしまうと圧倒的に速くなる。ここでは4つの公式を、すべて分配法則から導いて確認しよう。
公式1：\((a+b)^2\) の展開
\((a+b)^2\) を分配法則で展開し、公式を作れ。
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\((a+b)^2\) は \((a+b)(a+b)\) のことなので、STEP1と同じやり方で展開する。
\((a+b)(a+b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^2 + ab + ab + b^2\)
\(ab\) が2つ出てくるので、まとめると \(2ab\) になる。
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
公式1 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ―― 「2乗＋2倍の積＋2乗」。真ん中の項の2倍を忘れないことが最重要。
公式2：\((a-b)^2\) の展開
\((a-b)^2\) を展開せよ。
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\((a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a\times a + a\times(-b) + (-b)\times a + (-b)\times(-b)\)
\(= a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
公式2 \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) ―― 公式1と形は同じだが、真ん中の項がマイナスになるだけ。最後の \(b^2\) はマイナスにならない（2乗だから）ことに注意しよう。
公式3：\((a+b)(a-b)\) の展開
\((a+b)(a-b)\) を展開せよ。
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\((a+b)(a-b) = a\times a + a\times(-b) + b\times a + b\times(-b)\)
\(= a^2 - ab + ab - b^2\)
真ん中の \(-ab\) と \(+ab\) が打ち消し合って消える。
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
公式3 \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) ―― 「和と差の積」は2乗の差になる（＝2次の項が消えるのが最大の特徴）。この公式は数値計算の工夫にもよく使われる。
公式4：\((x+a)(x+b)\) の展開
\((x+a)(x+b)\) を展開せよ。
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\((x+a)(x+b) = x\times x + x\times b + a\times x + a\times b\)
\(= x^2 + bx + ax + ab\)
\(bx\) と \(ax\) は同類項なので \((a+b)x\) にまとめる。
\((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\)
公式4 \((x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab\) ―― \(x\) の係数は「\(a\)と\(b\)の和」、定数項は「\(a\)と\(b\)の積」。符号のミスが起きやすいので、\(a,b\) の符号込みで代入する意識を持とう。
もう一段レベルアップ―一般形と工夫する展開
公式4は \(x\) の係数が1の場合だった。係数が1でない \((ax+b)(cx+d)\) の形や、項が3つ以上ある式は、公式をそのまま当てはめられない。ここでは一般形の作り方と、計算を楽にする2つの工夫を身につけよう。
\((ax+b)(cx+d)\) の一般形
\((2x+3)(3x-1)\) を展開せよ。
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4つの積を全部作る。
\(2x\times3x = 6x^2\)、\(2x\times(-1) = -2x\)、\(3\times3x = 9x\)、\(3\times(-1) = -3\)
\(x\) の項どうしをまとめる：\(-2x + 9x = 7x\)
\((2x+3)(3x-1) = 6x^2 + 7x - 3\)
一般に \((ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd\)。\(x^2\)の係数は「前どうしの積」、定数項は「後ろどうしの積」、\(x\)の係数は「たすき掛け（外×外＋内×内）」で作られる。丸暗記より、4つの積を毎回書き出す方が確実。
工夫1：共通部分を文字で置き換える
同じかたまりが繰り返し出てくる式は、そのかたまりを1つの文字 \(t\) で置き換えると、公式1・2・4がそのまま使えるようになる。
\((x^2+2x-3)(x^2+2x+5)\) を展開せよ。
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\(x^2+2x\) の形が2か所に共通して出てくるので、\(t = x^2+2x\) と置き換える。
\((x^2+2x-3)(x^2+2x+5) = (t-3)(t+5)\)
公式4の形（\(x\)の代わりに\(t\)）なので \((t-3)(t+5) = t^2 + 2t - 15\)。
ここで \(t\) を元に戻す。\(t^2 = (x^2+2x)^2 = x^4+4x^3+4x^2\)、\(2t = 2x^2+4x\) なので
\(t^2+2t-15 = x^4+4x^3+4x^2+2x^2+4x-15\)
同類項をまとめる。
\((x^2+2x-3)(x^2+2x+5) = x^4+4x^3+6x^2+4x-15\)
置き換えのコツ：2か所以上に同じ形が出てくる部分を探して \(t\) とおく。おきかえた式を先に展開してから、最後に \(t\) を元の式に戻して整理する（戻し忘れに注意）。
工夫2：3項以上の2乗 \((a+b+c)^2\)
\((x+y+2)^2\) を展開せよ。
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\(x+y\) をひとかたまりと見て \(t=x+y\) と置き換える方法でもよいが、ここでは3項の2乗の一般ルールで考える。
\((a+b+c)^2\) は「各項の2乗の和」＋「異なる2項の積の2倍の和」になる。
\((x+y+2)^2 = x^2+y^2+2^2 + 2\cdot x\cdot y + 2\cdot y\cdot2 + 2\cdot x\cdot2\)
\(= x^2+y^2+4+2xy+4y+4x\)
\((x+y+2)^2 = x^2+y^2+2xy+4x+4y+4\)
公式（3項の2乗） \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\) ―― 「各項の2乗3つ」＋「2項の組み合わせ全部（3通り）の積の2倍」。組み合わせを1つ数え漏らすミスが多いので、\(ab,\ bc,\ ca\) の3通りをきちんと確認しよう。
展開の進め方（まとめ）
手順1 展開する式の形を確認する（単項式×多項式か、2つ以上の多項式の積か）
↓
手順2 公式1〜4・一般形 \((ax+b)(cx+d)\) のどれかに当てはまるパターンか見分ける
↓
同じ式の2乗
公式1・2 \((a\pm b)^2\)
符号と真ん中の2倍に注意
公式1・2 \((a\pm b)^2\)
符号と真ん中の2倍に注意
和と差の積
公式3 \((a+b)(a-b)\)
2次の項が消えて差になる
公式3 \((a+b)(a-b)\)
2次の項が消えて差になる
\((x+a)(x+b)\)型・一般形
公式4／\(acx^2+(ad+bc)x+bd\)
公式4／\(acx^2+(ad+bc)x+bd\)
↓
手順3 どの公式にも当てはまらない・項が3つ以上あるときは、共通部分を \(t\) で置き換えるか、分配法則で4つ以上の積を地道に書き出して展開する
↓
手順4 同類項をまとめて、次数の高い順に整理して答えを書く
注意 \((a+b)^2 = a^2+b^2\) と真ん中の項を忘れる誤りが最も多い。必ず「2乗＋2倍の積＋2乗」の3項になっているか確認しよう。また \((a+b+c)^2\) では \(ab,\ bc,\ ca\) の3つの組み合わせすべてを2倍する点も見落としやすい。
練習問題（全20問）
展開した結果を「\(x^2\)の係数」「\(x\)の係数」「定数項」のように分けて入力し、「採点」を押そう。式全体でなく数値だけを入力すればOK。
基本（1〜8）
1
単項式×多項式
\(4x(3x-2)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
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\(4x \times 3x = 12x^2\)、\(4x \times (-2) = -8x\)
\(4x(3x-2) = 12x^2 - 8x\)
2
単項式×多項式（係数マイナス）
\(-2x(5x+3)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\(-2x \times 5x = -10x^2\)、\(-2x \times 3 = -6x\)
\(-2x(5x+3) = -10x^2 - 6x\)
3
公式1：\((a+b)^2\)
\((x+4)^2\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
公式1 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を \(a=x,\ b=4\) で使う。
\(x^2 + 2\times x\times4 + 4^2 = x^2+8x+16\)
\((x+4)^2 = x^2+8x+16\)
4
公式2：\((a-b)^2\)
\((x-6)^2\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
公式2 \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) を \(a=x,\ b=6\) で使う。
\(x^2 - 2\times x\times6 + 6^2 = x^2-12x+36\)
\((x-6)^2 = x^2-12x+36\)
5
公式3：\((a+b)(a-b)\)
\((x+7)(x-7)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
公式3 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を \(a=x,\ b=7\) で使う。
\(x^2 - 7^2 = x^2 - 49\)（\(x\)の項は消える）
\((x+7)(x-7) = x^2-49\)
6
公式4：\((x+a)(x+b)\)（両方プラス）
\((x+3)(x+8)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
公式4 \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) を \(a=3,\ b=8\) で使う。
\(x^2 + (3+8)x + 3\times8 = x^2+11x+24\)
\((x+3)(x+8) = x^2+11x+24\)
7
公式4：\((x+a)(x+b)\)（両方マイナス）
\((x-2)(x-9)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\(a=-2,\ b=-9\) として公式4を使う。
\(x^2+(-2-9)x+(-2)\times(-9) = x^2-11x+18\)
\((x-2)(x-9) = x^2-11x+18\)
8
公式4：\((x+a)(x+b)\)（符号が異なる）
\((x+5)(x-3)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\(a=5,\ b=-3\) として公式4を使う。
\(x^2+(5-3)x+5\times(-3) = x^2+2x-15\)
\((x+5)(x-3) = x^2+2x-15\)
標準（9〜16） ※どの公式を使うか自分で判定
9
\((2x+3)(3x+1)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
4つの積を作る：\(2x\times3x=6x^2\)、\(2x\times1=2x\)、\(3\times3x=9x\)、\(3\times1=3\)
\(x\)の項をまとめる：\(2x+9x=11x\)
\((2x+3)(3x+1) = 6x^2+11x+3\)
10
\((3x-2)(2x+5)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\(3x\times2x=6x^2\)、\(3x\times5=15x\)、\(-2\times2x=-4x\)、\(-2\times5=-10\)
\(x\)の項をまとめる：\(15x-4x=11x\)
\((3x-2)(2x+5) = 6x^2+11x-10\)
11
\((5x-1)(2x-3)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\(5x\times2x=10x^2\)、\(5x\times(-3)=-15x\)、\(-1\times2x=-2x\)、\(-1\times(-3)=3\)
\(x\)の項をまとめる：\(-15x-2x=-17x\)
\((5x-1)(2x-3) = 10x^2-17x+3\)
12
公式3の一般形（\(ax\)どうしの和と差）
\((4x+3)(4x-3)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
公式3 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を \(a=4x,\ b=3\) で使う。
\((4x)^2 - 3^2 = 16x^2-9\)
\((4x+3)(4x-3) = 16x^2-9\)
13
2変数：公式1の一般形
\((2a+3b)^2\) を展開せよ。
\(a^2\)の係数 \(ab\)の係数 \(b^2\)の係数
解説を見る
公式1 \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) を \(A=2a,\ B=3b\) で使う。
\((2a)^2 + 2\times(2a)\times(3b) + (3b)^2 = 4a^2+12ab+9b^2\)
\((2a+3b)^2 = 4a^2+12ab+9b^2\)
14
2変数：公式2の一般形
\((3a-2b)^2\) を展開せよ。
\(a^2\)の係数 \(ab\)の係数 \(b^2\)の係数
解説を見る
公式2 \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\) を \(A=3a,\ B=2b\) で使う。
\((3a)^2 - 2\times(3a)\times(2b) + (2b)^2 = 9a^2-12ab+4b^2\)
\((3a-2b)^2 = 9a^2-12ab+4b^2\)
15
2変数：公式3の一般形
\((5a+2b)(5a-2b)\) を展開せよ。
\(a^2\)の係数 \(ab\)の係数 \(b^2\)の係数
解説を見る
公式3 \((A+B)(A-B)=A^2-B^2\) を \(A=5a,\ B=2b\) で使う。
\((5a)^2 - (2b)^2 = 25a^2-4b^2\)（\(ab\)の項は消える）
\((5a+2b)(5a-2b) = 25a^2-4b^2\)
16
2変数：公式4の一般形
\((x+2y)(x+7y)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(xy\)の係数 \(y^2\)の係数
解説を見る
公式4 \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\) を、\(a=2y,\ b=7y\) と見なして使う。
\(x^2+(2y+7y)x+(2y)(7y) = x^2+9xy+14y^2\)
\((x+2y)(x+7y) = x^2+9xy+14y^2\)
挑戦（17〜20）
17
4つの積の組み合わせ・置き換え
\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\) を工夫して展開せよ。（\(x^4\)の係数は1になる。まず \((x+1)(x+4)\) と \((x+2)(x+3)\) をそれぞれ計算し、共通部分を \(t\) とおくと計算が楽になる。）
\(x^3\)の係数 \(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
組み合わせ方を工夫する。\((x+1)(x+4) = x^2+5x+4\)、\((x+2)(x+3) = x^2+5x+6\)
どちらも \(x^2+5x\) の部分が共通なので、\(t = x^2+5x\) とおく。
\((x^2+5x+4)(x^2+5x+6) = (t+4)(t+6) = t^2+10t+24\)（公式4の形）
\(t\) を戻す：\(t^2 = (x^2+5x)^2 = x^4+10x^3+25x^2\)、\(10t = 10x^2+50x\)
\(t^2+10t+24 = x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24 = x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)
\((x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = x^4+10x^3+35x^2+50x+24\)
18
4つの積の組み合わせ・置き換え（マイナス版）
\((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\) を工夫して展開せよ。（\(x^4\)の係数は1になる。組み合わせ方を17と同じように工夫する。）
\(x^3\)の係数 \(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\((x-1)(x-4) = x^2-5x+4\)、\((x-2)(x-3) = x^2-5x+6\)
共通部分 \(t = x^2-5x\) とおく。
\((t+4)(t+6) = t^2+10t+24\)
\(t\) を戻す：\(t^2=(x^2-5x)^2=x^4-10x^3+25x^2\)、\(10t=10x^2-50x\)
\(t^2+10t+24 = x^4-10x^3+25x^2+10x^2-50x+24 = x^4-10x^3+35x^2-50x+24\)
\((x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^4-10x^3+35x^2-50x+24\)
19
置き換え展開（かたまりが3か所）
\((x^2-x-1)(x^2-x+3)\) を展開せよ。
\(x^3\)の係数 \(x^2\)の係数 \(x\)の係数 定数項
解説を見る
\(x^2-x\) の部分が共通なので \(t=x^2-x\) とおく。
\((t-1)(t+3) = t^2+2t-3\)（公式4の形）
\(t\) を戻す：\(t^2=(x^2-x)^2=x^4-2x^3+x^2\)、\(2t=2x^2-2x\)
\(t^2+2t-3 = x^4-2x^3+x^2+2x^2-2x-3 = x^4-2x^3+3x^2-2x-3\)
\((x^2-x-1)(x^2-x+3) = x^4-2x^3+3x^2-2x-3\)
20
2変数＋置き換え：\((x+y)^2-1\)型
\((x+y+1)(x+y-1)\) を展開せよ。
\(x^2\)の係数 \(xy\)の係数 \(y^2\)の係数 定数項
解説を見る
\(x+y\) をひとかたまりと見て \(t=x+y\) とおくと、公式3の形になる。
\((t+1)(t-1) = t^2-1\)
\(t\) を戻す：\(t^2=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(t^2-1 = x^2+2xy+y^2-1\)
\((x+y+1)(x+y-1) = x^2+2xy+y^2-1\)
応用問題（プリント限定）
ここから先はPDF限定の腕試し。展開の公式を数値計算や対称式の値に応用してみよう。
応1
数値計算への応用：公式1
\(99^2\) を、\(99 = 100-1\) と見て公式を使い、工夫して計算せよ。
\(99^2 =\)
解説を見る
\(99 = 100-1\) なので、公式2 \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) を \(a=100,\ b=1\) で使う。
\(99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2\times100\times1 + 1^2 = 10000-200+1 = 9801\)
\(99^2 = 9801\)
応2
数値計算への応用：公式3
\(53 \times 47\) を、\(53=50+3,\ 47=50-3\) と見て公式を使い、工夫して計算せよ。
\(53 \times 47 =\)
解説を見る
\(53=50+3,\ 47=50-3\) なので、公式3 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を \(a=50,\ b=3\) で使う。
\(53\times47 = (50+3)(50-3) = 50^2-3^2 = 2500-9 = 2491\)
\(53 \times 47 = 2491\)
応3
\((a+b+c)^2\)の応用
実数 \(a,\ b,\ c\) が \(a+b+c=6\)、\(ab+bc+ca=11\) を満たすとき、\(a^2+b^2+c^2\) の値を求めよ。
\(a^2+b^2+c^2 =\)
解説を見る
STEP3の公式 \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\) を使う。
左辺に \(a+b+c=6\) を代入すると \(6^2 = a^2+b^2+c^2+2\times11\)、つまり \(36 = a^2+b^2+c^2+22\)。
\(a^2+b^2+c^2 = 36-22 = 14\)
応4
対称性の利用
\((x+y)^2-(x-y)^2\) を計算し、\(xy\) だけを使った式で表すと \(k\,xy\) の形になる。この \(k\) の値を求めよ。また、その式を使って \(x=8,\ y=5\) のときの \((x+y)^2-(x-y)^2\) の値を求めよ。
\(k=\) \(x=8,y=5\)のときの値
解説を見る
公式1・公式2で展開する。
\((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\)
\((x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\)
引き算すると \(x^2\) と \(y^2\) が消え合う。
\((x+y)^2-(x-y)^2 = (x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2) = 4xy\)
つまり \(k=4\)。\(x=8,\ y=5\) を代入すると \(4\times8\times5=160\)。
\(k=4\)、\(x=8,\ y=5\)のとき値は\(160\)
応5
対称式の値：公式2の応用
実数 \(a,\ b\) が \(a-b=4\)、\(ab=12\) を満たすとき、\(a^2+b^2\) の値を求めよ。
\(a^2+b^2 =\)
解説を見る
公式2 \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) を変形すると \(a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab\) になる。
\(a-b=4\)、\(ab=12\) を代入する。
\(a^2+b^2 = 4^2+2\times12 = 16+24 = 40\)
\(a^2+b^2 = 40\)